I sannolikhetsteori och statistik är en komplex slumpmässig vektor typiskt en tupel av komplexa slumpmässiga variabler och är i allmänhet en slumpmässig variabel som tar värden i ett vektorutrymme över fältet av komplexa tal. Om
Z
1
, … ,
Z
n
{\displaystyle Z_{1},\ldots ,Z_{n}}
n -tuppeln
(
Z
1
, … ,
Z
n
)
{\displaystyle \left (Z_{1},\ldots ,Z_{n}\right)}
Vissa begrepp av verkliga slumpmässiga vektorer har en enkel generalisering till komplexa slumpmässiga vektorer. Till exempel definitionen av medelvärdet för en komplex slumpmässig vektor. Andra begrepp är unika för komplexa slumpmässiga vektorer.
Tillämpningar av komplexa slumpmässiga vektorer finns i digital signalbehandling .
Definition
En komplex slumpmässig vektor
Z
= (
Z
1
, … ,
Z
n
)
T
{\displaystyle \mathbf {Z} =(Z_{1},\ldots ,Z_{n})^{T}}
sannolikhetsutrymmet
( Ω ,
F
, P )
{\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}
funktion
Z
: Ω →
C
n
{\displaystyle \mathbf {Z} \colon \Omega \rightarrow \mathbb {C } ^{n}}
( ℜ
(
Z
1
)
, ℑ
(
Z
1
)
, … , ℜ
(
Z
n
)
, ℑ
(
Z
n
)
)
T
{\displaystyle (\Re {(Z_{1} )},\Im {(Z_{1})},\ldots ,\Re {(Z_{n})},\Im {(Z_{n})})^{T}} är en verklig
vektor på
( Ω ,
F
, P )
{\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}
ℜ
( z )
{\displaystyle \Re {(z)}}
z
{\displaystyle z}
ℑ
( z )
{\displaystyle \Im {(z)}}
z
{\displaystyle z}
Kumulativ fördelningsfunktion
Generaliseringen av den kumulativa fördelningsfunktionen från reella till komplexa slumpvariabler är inte uppenbar eftersom uttryck av formen
P ( Z ≤ 1 + 3 i )
{\displaystyle P(Z\leq 1+3i)} är
P ( ℜ
( Z )
≤ 1 , ℑ
( Z )
≤ 3 )
{\displaystyle P(\Re {(Z)}\leq 1,\Im {(Z)}\leq 3)}
0
F
Z
:
C
n
↦ [ , 1 ]
{\displaystyle F_{\mathbf {Z} }:\mathbb {C} ^{n}\mapsto [0,1]}
Z
= (
Z
1
, . . . ,
Z
n
)
T
{\displaystyle \mathbf {Z} =(Z_{1},...,Z_{n})^{T}}
F
Z
(
z
) = P ( ℜ
(
Z1
z1
)
≤ℜ
(
Z1
)
)
, ℑ
(
z1
,
)
≤ℑ (
(
Zn
,
)
… ℜ ( ) ≤ℜ
(
ℑ
_
_
zn Z , _
_
_
_
_
_
_
_
n
)
≤ ℑ
(
z
n
)
)
{\displaystyle F_{\mathbf {Z} }(\mathbf {z} )=\operatörsnamn {P} (\Re {(Z_{1})}\leq \Re {( z_{1})},\Im {(Z_{1})}\leq \Im {(z_{1})},\ldots ,\Re {(Z_{n})}\leq \Re {(z_ {n})},\Im {(Z_{n})}\leq \Im {(z_{n})})}
()
där
z
= (
z
1
, . . . ,
z
n
)
T
{\displaystyle \mathbf {z} =(z_{1},...,z_{n})^{T}}
Förväntan
Som i det verkliga fallet tas förväntan (även kallat förväntat värde ) för en komplex slumpmässig vektor komponentvis.
E [
Z
] = ( E [
Z
1
] , … , E [
Z
n
]
)
T
{\displaystyle \operatörsnamn {E} [\mathbf {Z} ]=(\operatörsnamn {E} [Z_{1 }],\ldots ,\operatörsnamn {E} [Z_{n}])^{T}}
()
Kovariansmatris och pseudo-kovariansmatris
Kovariansmatrisen (även kallad andra centrala moment )
K
Z
Z {\displaystyle \operatorname {
} _{\mathbf {Z} \mathbf {Z} }}
K
n × 1
{\displaystyle n\times 1}
n × n
{\displaystyle n\times n}
matris vars
( i , j )
{\displaystyle (i,j)}:
e elementet är kovariansen mellan den i: te och den j :te slumpvariablen . Till skillnad från i fallet med verkliga slumpvariabler, involverar kovariansen mellan två slumpvariabler det komplexa konjugatet av en av de två. Således är kovariansmatrisen en hermitisk matris .
K
Z
Z
= cov [
Z
,
Z
] = E [ (
Z
− E [
Z
] )
(
Z
− E [
Z
] )
H
] = E [
Z
Z
H
] − E [
Z
] E [
Z
H
]
{\displaystyle {\begin{aligned}&\operatörsnamn {K} _{\mathbf {Z} \mathbf {Z} }=\operatörsnamn {cov} [\mathbf {Z} ,\mathbf {Z } ]=\operatörsnamn {E} [(\mathbf {Z} -\operatörsnamn {E} [\mathbf {Z} ]){(\mathbf {Z} -\operatörsnamn {E} [\mathbf {Z} ]) }^{H}]=\operatörsnamn {E} [\mathbf {Z} \mathbf {Z} ^{H}]-\operatörsnamn {E} [\mathbf {Z} ]\operatörsnamn {E} [\mathbf { Z} ^{H}]\\[12pt]\end{aligned}}}
()
K
Z
Z
=
[
E
[ (
Z
1
− E [
Z
1
] )
(
Z
1
− E [
Z
1
] )
¯
]
E
[ (
Z
1
− E [
Z
1
] )
(
Z
2
− E [
Z
2
] )
¯
]
⋯
E
[ (
Z
1
− E [
Z
1
] )
(
Z
n
− E [
Z
n
] )
¯
]
E
[ (
Z
2
− E [
Z
2
] )
(
Z
1
− E [
Z
1
] )
¯
]
E
[ (
Z
2
− E [
Z
2
] )
(
Z
2
− E [
Z
2
] )
¯
]
⋯
E
[ (
Z
2
− E [
Z
2
] )
(
Z
n
− E [
Z
n
] )
¯
]
⋮
⋮
⋱
⋮
E
[ (
Z
n
− E [
Z
n
] )
(
Z
1
− E [
Z
1
] )
¯
]
E
[ (
Z
n
− E [
Zn
]
)
[
]
(
Z2
−
E [
Z2
¯
] )
(
] ⋯
E
[
(
Zn
)
− E
)
Zn
{
− E
]
_
]
\ displaystyle _ _
_
[
Zn
Zn
] ¯ ] _
_
_ \operatörsnamn {K} _{\mathbf {Z} \mathbf {Z} }={\begin{bmatrix}\mathrm {E} [(Z_{1}-\operatörsnamn {E} [Z_{1}]){ \overline {(Z_{1}-\operatörsnamn {E} [Z_{1}])}}]&\mathrm {E} [(Z_{1}-\operatörsnamn {E} [Z_{1}]){ \overline {(Z_{2}-\operatörsnamn {E} [Z_{2}])}}]&\cdots &\mathrm {E} [(Z_{1}-\operatörsnamn {E} [Z_{1} ]){\overline {(Z_{n}-\operatörsnamn {E} [Z_{n}])}}]\\\\\mathrm {E} [(Z_{2}-\operatörsnamn {E} [Z_ {2}]){\overline {(Z_{1}-\operatörsnamn {E} [Z_{1}])}}]&\mathrm {E} [(Z_{2}-\operatörsnamn {E} [Z_ {2}]){\overline {(Z_{2}-\operatörsnamn {E} [Z_{2}])}}]&\cdots &\mathrm {E} [(Z_{2}-\operatörsnamn {E } [Z_{2}]){\overline {(Z_{n}-\operatörsnamn {E} [Z_{n}])}}]\\\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\ \\\mathrm {E} [(Z_{n}-\operatörsnamn {E} [Z_{n}]){\overline {(Z_{1}-\operatörsnamn {E} [Z_{1}])}} ]&\mathrm {E} [(Z_{n}-\operatörsnamn {E} [Z_{n}]){\overline {(Z_{2}-\operatörsnamn {E} [Z_{2}])}} ]&\cdots &\mathrm {E} [(Z_{n}-\operatörsnamn {E} [Z_{n}]){\overline {(Z_{n}-\operatörsnamn {E} [Z_{n}] )}}]\end{bmatrix}}}
Pseudo -kovariansmatrisen relationsmatris ) definieras och ersätter hermitisk transponering med transponering i definitionen ovan.
J
Z
Z
= cov [
Z
,
Z
¯
] = E [ (
Z
− E [
Z
] )
(
Z
− E [
Z
] )
T
] = E [
Z
Z
T
] − E [
Z
] E [
Z
T
]
{\displaystyle \operatorname {J} _{\mathbf {Z} \mathbf {Z} }=\operatörsnamn {cov} [\mathbf {Z} ,{\overline {\mathbf {Z} } }]=\operatörsnamn {E} [(\mathbf {Z} -\operatörsnamn {E} [\mathbf {Z} ]){(\mathbf {Z} -\operatörsnamn {E} [\mathbf {Z} ]) }^{T}]=\operatörsnamn {E} [\mathbf {Z} \mathbf {Z} ^{T}]-\operatörsnamn {E} [\mathbf {Z} ]\operatörsnamn {E} [\mathbf { Z} ^{T}]}
()
J
Z
Z
=
[
E
[ (
Z
1
− E [
Z
1
] ) (
Z
1
− E [
Z
1
] ) ]
E
[ (
Z
1
− E [
Z
1
] ) (
Z
2
− E [
Z
2
] ) ]
⋯
E
[ (
Z
1
− E [
Z
1
] ) (
Z
n
− E [
Z
n
] ) ]
E
[ (
Z
2
− E [
Z
2
] ) (
Z
1
− E [
Z
1
] ) ]
E
[ (
Z
2
− E [
Z
2
] ) (
Z
2
− E [
Z
2
] ) ]
⋯
E
[ (
Z
2
− E [
Z
2
] ) (
Z
n
− E [
Zn
]
) ]
E
⋮
⋮
⋱
⋮
−
[
]
E
[ (
Zn
]
− E [
Zn
]
) (
Z1
(
− E [
Z1
)
) ]
[
(
Zn
E
_
_
_
_ _ _
Zn
_
_ _ _
Z
2
− E [
Z
2
] ) ]
⋯
E
[ (
Z
n
− E [
Z
n
] ) (
Z
n
− E [
Z
n
] ) ]
]
{\displaystyle \operatörsnamn {J} _{\mathbf {Z} \mathbf {Z} }={\begin{bmatrix}\mathrm {E} [(Z_{1}-\operatörsnamn {E} [Z_{1}])(Z_{1}-\operatörsnamn {E } [Z_{1}])]&\mathrm {E} [(Z_{1}-\operatörsnamn {E} [Z_{1}])(Z_{2}-\operatörsnamn {E} [Z_{2} ])]&\cdots &\mathrm {E} [(Z_{1}-\operatörsnamn {E} [Z_{1}])(Z_{n}-\operatörsnamn {E} [Z_{n}])] \\\\\mathrm {E} [(Z_{2}-\operatörsnamn {E} [Z_{2}])(Z_{1}-\operatörsnamn {E} [Z_{1}])]&\mathrm {E} [(Z_{2}-\operatörsnamn {E} [Z_{2}])(Z_{2}-\operatörsnamn {E} [Z_{2}])]&\cdots &\mathrm {E} [(Z_{2}-\operatörsnamn {E} [Z_{2}])(Z_{n}-\operatörsnamn {E} [Z_{n}])]\\\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\\\mathrm {E} [(Z_{n}-\operatörsnamn {E} [Z_{n}])(Z_{1}-\operatörsnamn {E} [Z_{1}])] &\mathrm {E} [(Z_{n}-\operatörsnamn {E} [Z_{n}])(Z_{2}-\operatörsnamn {E} [Z_{2}])]&\cdots &\mathrm {E} [(Z_{n}-\operatörsnamn {E} [Z_{n}])(Z_{n}-\operatörsnamn {E} [Z_{n}])]\end{bmatrix}}}
Egenskaper Kovariansmatrisen är en hermitisk matris , dvs
K
Z
Z
H
=
K
Z
Z
{\displaystyle \operatörsnamn {K} _{\mathbf {Z} \mathbf {Z} }^{H}=\operatörsnamn {K} _{\mathbf {Z} \mathbf {Z } }}
Pseudo-kovariansmatrisen är en symmetrisk matris , dvs
J
Z
Z
T
=
J
Z
Z
{\displaystyle \operatörsnamn {J} _{\mathbf {Z} \mathbf {Z} }^{T}=\operatörsnamn {J} _{\mathbf {Z} \mathbf {Z } }}
Kovariansmatrisen är en positiv semidefinit matris , dvs
0
a
H
K
Z
Z
a
≥
för alla
a
∈
C
n
{\displaystyle \mathbf {a} ^{H}\operatörsnamn {K} _{\mathbf {Z} \mathbf {Z} }\mathbf {a} \ geq 0\quad {\text{för alla }}\mathbf {a} \in \mathbb {C} ^{n}}
Kovariansmatriser av verkliga och imaginära delar
Genom att dekomponera den slumpmässiga vektorn
Z
{\displaystyle \mathbf {Z} }
X
= ℜ
(
Z
)
{\displaystyle \mathbf {X} =\Re {(\mathbf {Z} )}}
Y
= ℑ
(
Z
)
{\displaystyle \mathbf {Y} =\Im {(\mathbf {Z} )}}
Z
=
X
+ i
Y
{\displaystyle \mathbf {Z} =\mathbf {X} +i \mathbf {Y} }
(
X
,
Y
)
{\displaystyle (\mathbf {X} ,\mathbf {Y} )}
kovariansmatris av formen:
[
K
X
X
K
Y
X
K
X
Y
K
Y
Y
]
{\displaystyle {\begin{bmatrix}\operatörsnamn {K} _{\mathbf {X} \mathbf {X} }&\operatörsnamn {K} _{\ mathbf {Y} \mathbf {X} }\\\operatörsnamn {K} _{\mathbf {X} \mathbf {Y} }&\operatörsnamn {K} _{\mathbf {Y} \mathbf {Y} }\ slut{bmatrix}}}
Matriserna
K
Z
Z
{\displaystyle \operatorname {K} _{\mathbf {Z} \mathbf {Z} }}
J
Z
Z
{\displaystyle \operatorname {J} _{\mathbf {Z} \mathbf {Z } }}
X
{\displaystyle \mathbf {X} }
Y
{\displaystyle \mathbf {Y} }
K
X
X
= E [ (
X
− E [
X
] ) (
X
− E [
X
]
)
T
] =
1 2
Re (
K
Z
Z
+
J
Z
Z
)
K
Y
Y
= E [ (
Y
− E [
Y
] ) (
Y
− E [
Y
]
)
T
] =
1 2
Re (
K
Z
Z
−
J
Z
Z
)
K
Y
X
= E [ (
Y
− E [
Y
] ) (
X
− E [
X
]
)
T
] =
1 2
Im (
J
Z
Z
+
K
Z
Z
)
K
X
Y
= E [ (
X
− E [
X
] ) (
Y
− E [
Y
]
)
T
] =
1 2
Im (
J
Z
Z
−
K
Z
Z
)
{\displaystyle {\begin{aligned}&\operatörsnamn {K} _{\mathbf {X} \mathbf {X} }=\operatörsnamn {E} [( \mathbf {X} -\operatörsnamn {E} [\mathbf {X} ])(\mathbf {X} -\operatörsnamn {E} [\mathbf {X} ])^{\mathrm {T} }]={ \tfrac {1}{2}}\operatörsnamn {Re} (\operatörsnamn {K} _{\mathbf {Z} \mathbf {Z} }+\operatörsnamn {J} _{\mathbf {Z} \mathbf {Z } })\\&\operatörsnamn {K} _{\mathbf {Y} \mathbf {Y} }=\operatörsnamn {E} [(\mathbf {Y} -\operatörsnamn {E} [\mathbf {Y} ] )(\mathbf {Y} -\operatörsnamn {E} [\mathbf {Y} ])^{\mathrm {T} }]={\tfrac {1}{2}}\operatörsnamn {Re} (\operatörsnamn { K} _{\mathbf {Z} \mathbf {Z} }-\operatörsnamn {J} _{\mathbf {Z} \mathbf {Z} })\\&\operatörsnamn {K} _{\mathbf {Y} \mathbf {X} }=\operatörsnamn {E} [(\mathbf {Y} -\operatörsnamn {E} [\mathbf {Y} ])(\mathbf {X} -\operatörsnamn {E} [\mathbf {X } ])^{\mathrm {T} }]={\tfrac {1}{2}}\operatörsnamn {Im} (\operatörsnamn {J} _{\mathbf {Z} \mathbf {Z} }+\operatörsnamn {K} _{\mathbf {Z} \mathbf {Z} })\\&\operatörsnamn {K} _{\mathbf {X} \mathbf {Y} }=\operatörsnamn {E} [(\mathbf {X } -\operatörsnamn {E} [\mathbf {X} ])(\mathbf {Y} -\operatörsnamn {E} [\mathbf {Y} ])^{\mathrm {T} }]={\tfrac {1 }{2}}\operatörsnamn {Im} (\operatörsnamn {J} _{\mathbf {Z} \mathbf {Z} }-\operatörsnamn {K} _{\mathbf {Z} \mathbf {Z} })\ \\end{aligned}}}
Omvänt:
K
Z
Z
=
K
X
X
+
K
Y
Y
+ i (
K
Y
X
−
K
X
Y
)
J
Z
Z
=
K
X
X
−
K
Y
Y
+ i (
K
Y
X
+
K
X
Y
)
{\displaystyle {\begin {aligned}&\operatörsnamn {K} _{\mathbf {Z} \mathbf {Z} }=\operatörsnamn {K} _{\mathbf {X} \mathbf {X} }+\operatörsnamn {K} _{\ mathbf {Y} \mathbf {Y} }+i(\operatörsnamn {K} _{\mathbf {Y} \mathbf {X} }-\operatörsnamn {K} _{\mathbf {X} \mathbf {Y} } )\\&\operatörsnamn {J} _{\mathbf {Z} \mathbf {Z} }=\operatörsnamn {K} _{\mathbf {X} \mathbf {X} }-\operatörsnamn {K} _{\ mathbf {Y} \mathbf {Y} }+i(\operatörsnamn {K} _{\mathbf {Y} \mathbf {X} }+\operatörsnamn {K} _{\mathbf {X} \mathbf {Y} } )\end{aligned}}}
Korskovariansmatris och pseudokorskovariansmatris
Korskovariansmatrisen mellan två komplexa slumpmässiga vektorer
Z
,
W {\displaystyle \mathbf {Z} ,\mathbf
W} }
{ definieras som:
K
Z
W
= cov [
Z
,
W
] = E [ (
Z
− E [
Z
] )
(
W
− E [
W
] )
H
] = E [
Z
W
H
] − E [
Z
] E [
W
H
]
{\displaystyle \operatörsnamn {K} _{\mathbf {Z} \mathbf {W} }=\operatörsnamn {cov} [\mathbf {Z} ,\mathbf {W} ]=\operatörsnamn {E } [(\mathbf {Z} -\operatörsnamn {E} [\mathbf {Z} ]){(\mathbf {W} -\operatörsnamn {E} [\mathbf {W} ])}^{H}]= \operatörsnamn {E} [\mathbf {Z} \mathbf {W} ^{H}]-\operatörsnamn {E} [\mathbf {Z} ]\operatörsnamn {E} [\mathbf {W} ^{H}] }
()
K
Z
W
=
[
E
[ (
Z
1
− E [
Z
1
] )
(
W
1
− E [
W
1
] )
¯
]
E
[ (
Z
1
− E [
Z
1
] )
(
W
2
− E [
W
2
] )
¯
]
⋯
[
E
[ (
Z1
¯
− E [
Z1
E
] )
]
(
Wn
E
− E [
Wn
]
)
(
]
[
(
Z2
)
−
W1 _ _ _ _
Z2
_
_ _
_
_
_
− E [
W
1
] )
¯
]
E
[ (
Z
2
− E [
Z
2
] )
(
W
2
− E [
W
2
] )
¯
]
⋯
E
[ (
Z
2
− E [
Z
2
] )
(
W
n
− E [
W
n
] )
¯
]
⋮
⋮
⋱
⋮
E
[ (
Z
n
− E [
Z
n
] )
(
W
1
− E [
W
1
] )
¯
]
E
[ (
Z
n
− E [
Z
n
] )
(
W
2
− E [
W
2
] )
¯
]
⋯
E
[ (
Z
n
− E [
Z
n
] )
(
W
n
− E [
W
n
] )
¯
]
]
{\displaystyle \operatörsnamn {K} _{\mathbf {Z} \mathbf {W} }={\begin{bmatrix}\mathrm {E} [(Z_{1}-\operatörsnamn {E} [Z_{1}]){ \overline {(W_{1}-\operatörsnamn {E} [W_{1}])}}]&\mathrm {E} [(Z_{1}-\operatörsnamn {E} [Z_{1}]){ \overline {(W_{2}-\operatörsnamn {E} [W_{2}])}}]&\cdots &\mathrm {E} [(Z_{1}-\operatörsnamn {E} [Z_{1} ]){\overline {(W_{n}-\operatörsnamn {E} [W_{n}])}}]\\\\\mathrm {E} [(Z_{2}-\operatörsnamn {E} [Z_ {2}]){\overline {(W_{1}-\operatörsnamn {E} [W_{1}])}}]&\mathrm {E} [(Z_{2}-\operatörsnamn {E} [Z_ {2}]){\overline {(W_{2}-\operatörsnamn {E} [W_{2}])}}]&\cdots &\mathrm {E} [(Z_{2}-\operatörsnamn {E } [Z_{2}]){\overline {(W_{n}-\operatörsnamn {E} [W_{n}])}}]\\\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\ \\\mathrm {E} [(Z_{n}-\operatörsnamn {E} [Z_{n}]){\overline {(W_{1}-\operatörsnamn {E} [W_{1}])}} ]&\mathrm {E} [(Z_{n}-\operatörsnamn {E} [Z_{n}]){\overline {(W_{2}-\operatörsnamn {E} [W_{2}])}} ]&\cdots &\mathrm {E} [(Z_{n}-\operatörsnamn {E} [Z_{n}]){\overline {(W_{n}-\operatörsnamn {E} [W_{n}] )}}]\end{bmatrix}}}
Och pseudo-kors-kovariansmatrisen definieras som:
J
Z
W
= cov [
Z
,
W
¯
] = E [ (
Z
− E [
Z
] )
(
W
− E [
W
] )
T
] = E [
Z
W
T
] − E [
Z
] E [
W
T
]
{\displaystyle \operatorname {J} _{\mathbf {Z} \mathbf {W} }=\operatörsnamn {cov} [\mathbf {Z} ,{\overline {\mathbf {W} } }]=\operatörsnamn {E} [(\mathbf {Z} -\operatörsnamn {E} [\mathbf {Z} ]){(\mathbf {W} -\operatörsnamn {E} [\mathbf {W} ]) }^{T}]=\operatörsnamn {E} [\mathbf {Z} \mathbf {W} ^{T}]-\operatörsnamn {E} [\mathbf {Z} ]\operatörsnamn {E} [\mathbf { W} ^{T}]}
()
J
Z
W
=
[
E
[ (
Z
1
− E [
Z
1
] ) (
W
1
− E [
W
1
] ) ]
E
[ (
Z
1
− E [
Z
1
] ) (
W
2
− E [
W
2
] ) ]
⋯
E
[ (
Z
1
− E [
Z
1
] ) (
W
n
− E [
W
n
] ) ]
E
[ (
Z
2
− E [
Z
2
] ) (
W
1
− E [
W
1
] ) ]
E
[ (
Z
2
− E [
Z
2
] ) (
W
2
− E [
W
2
] ) ]
⋯
E
[ (
Z
2
− E [
Z
2
] ) (
W
n
− E [
W
n
] ) ]
⋮
⋮
⋱
⋮
(
E
[ (
Zn
]
− E [
Z
n
] ) (
W
1
− E [
W
1
) ]
E
[ (
Zn
)
− E [
Z
n
]
_ _
W
2
− E [
W
2
] ) ]
⋯
E
[ (
Z
n
− E [
Z
n
] ) (
W
n
− E [
W
n
] ) ]
]
{\displaystyle \operatörsnamn {J} _{\mathbf {Z} \mathbf {W} }={\begin{bmatrix}\mathrm {E} [(Z_{1}-\operatörsnamn {E} [Z_{1}])(W_{1}-\operatörsnamn {E } [W_{1}])]&\mathrm {E} [(Z_{1}-\operatörsnamn {E} [Z_{1}])(W_{2}-\operatörsnamn {E} [W_{2} ])]&\cdots &\mathrm {E} [(Z_{1}-\operatörsnamn {E} [Z_{1}])(W_{n}-\operatörsnamn {E} [W_{n}])] \\\\\mathrm {E} [(Z_{2}-\operatörsnamn {E} [Z_{2}])(W_{1}-\operatörsnamn {E} [W_{1}])]&\mathrm {E} [(Z_{2}-\operatörsnamn {E} [Z_{2}])(W_{2}-\operatörsnamn {E} [W_{2}])]&\cdots &\mathrm {E} [(Z_{2}-\operatörsnamn {E} [Z_{2}])(W_{n}-\operatörsnamn {E} [W_{n}])]\\\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\\\mathrm {E} [(Z_{n}-\operatörsnamn {E} [Z_{n}])(W_{1}-\operatörsnamn {E} [W_{1}])] &\mathrm {E} [(Z_{n}-\operatörsnamn {E} [Z_{n}])(W_{2}-\operatörsnamn {E} [W_{2}])]&\cdots &\mathrm {E} [(Z_{n}-\operatörsnamn {E} [Z_{n}])(W_{n}-\operatörsnamn {E} [W_{n}])]\end{bmatrix}}}
Två komplexa slumpmässiga vektorer
Z
{\displaystyle \mathbf {Z} }
W
{\displaystyle \mathbf {W} }
okorrelerade om
K
Z
W
=
J
Z
W
=
0
{\displaystyle \operatörsnamn {K} _{\mathbf {Z} \mathbf {W} }=\operatörsnamn {J} _{\mathbf {Z} \mathbf {W} }=0 }
Oberoende
Två komplexa slumpmässiga vektorer
Z
= (
Z
1
, . . . . ,
Z
m
)
T
{\displaystyle \mathbf {Z} =(Z_{1},...,Z_{m})^{T}}
W
= (
W
1
, . . . ,
W
n
)
T
{\displaystyle \mathbf {W} =(W_{1},...,W_{n})^{T}}
oberoende om
F
Z , W
(
z , w
) =
F
Z
(
z
) ⋅
F
W
(
w
)
för alla
z
,
w
{\displaystyle F_{\mathbf {Z,W} }(\mathbf {z,w} )=F_ {\mathbf {Z} }(\mathbf {z} )\cdot F_{\mathbf {W} }(\mathbf {w} )\quad {\text{för alla }}\mathbf {z} ,\mathbf { w} }
()
där
F
Z
(
z
)
{\displaystyle F_{\mathbf {Z} }(\mathbf {z} )}
F
W
(
w
)
{\displaystyle F_{\mathbf {W} }(\mathbf {w} )}
Z
{\displaystyle \mathbf {Z} }
W
{\displaystyle \mathbf {W} }
ekv.1
F
Z , W
(
z , w
)
{\displaystyle F_{\mathbf {Z,W} }(\mathbf {z,w} )}
Z
{\displaystyle \mathbf {Z} }
W
{\displaystyle \mathbf {W} }
Z
⊥ ⊥
W
{\displaystyle \mathbf {Z} \perp \!\!\!\perp \ mathbf {W} }
Z
{\displaystyle \mathbf {Z} }
W
{\displaystyle \mathbf {W} } oberoende om
F
Z
1
, … ,
Zm
)
,
W
1
, … ,
W
n
(
z
1
, … ,
zm
,
,
w
1
, … ,
w
n
=
F
Z
1
, Zm (
z
,
…
1
_
… ,
zm
_
_ _ ) ⋅
F
W
1
, … ,
W
n
(
w
1
, … ,
w
n
)
för alla
z
1
, … ,
z
m
,
w
1
, … ,
w
n
{\displaystyle F_{Z_{1},\ldots ,Z_ {m},W_{1},\ldots ,W_{n}}(z_{1},\ldots,z_{m},w_{1},\ldots,w_{n})=F_{Z_{1 },\ldots ,Z_{m}}(z_{1},\ldots ,z_{m})\cdot F_{W_{1},\ldots ,W_{n}}(w_{1},\ldots, w_{n})\quad {\text{för alla }}z_{1},\ldots ,z_{m},w_{1},\ldots ,w_{n}}
Cirkulär symmetri
En komplex slumpmässig vektor
Z
{\displaystyle \mathbf {Z} }
φ ∈ [ − π , π )
{\displaystyle \varphi \in [-\pi ,\pi )}
e
i
φ
Z
{\displaystyle e^{\mathrm {i} \varphi }\mathbf {Z} }
Z
{\displaystyle \mathbf {Z} }
Egenskaper
Förväntningen på en cirkulärt symmetrisk komplex slumpmässig vektor är antingen noll eller så är den inte definierad.
Pseudo-kovariansmatrisen för en cirkulärt symmetrisk komplex slumpmässig vektor är noll.
Korrekt komplexa slumpmässiga vektorer
En komplex slumpmässig vektor
Z
{\displaystyle \mathbf {Z} }
korrekt om följande tre villkor alla är uppfyllda:
E [
Z
] =
0
{\displaystyle \operatörsnamn {E} [\mathbf {Z} ]=0}
var [
Z
1
] < ∞ , … , var [
Z
n
] < ∞
{\displaystyle \operatorname {var} [Z_{1}]<\infty ,\ldots ,\operatörsnamn {var} [Z_{n} ]<\infty }
E [
Z
Z
T
] =
0
{\displaystyle \operatörsnamn {E} [\mathbf {Z} \mathbf {Z} ^{T}]=0}
Två komplexa slumpmässiga vektorer
Z
,
W
{\displaystyle \mathbf {Z} ,\mathbf {W} }
gemensamt korrekta är den sammansatta slumpmässiga vektorn
(
Z
1
,
Z
2
, … ,
Z
m
,
W
1
,
W
2
, … ,
W
n
)
T
{\displaystyle (Z_{1},Z_{2},\ldots ,Z_{m},W_{1},W_{2},\ldots ,W_{n})^{T}}
Egenskaper
En komplex slumpmässig vektor
Z
{\displaystyle \mathbf {Z} }
c
∈
C
n
{\displaystyle \mathbf {c} \in \mathbb {C} ^{n }}
c
T
Z
{\displaystyle \mathbf {c} ^{T}\mathbf {Z} }
Linjära transformationer av korrekta komplexa slumpmässiga vektorer är korrekta, dvs om
Z
{\displaystyle \mathbf {Z} }
n
{\displaystyle n}
A
{\displaystyle A}
m × n
{\ displaystyle m\times n}
A
Z
{\displaystyle A\mathbf {Z} }
Varje cirkulärt symmetrisk komplex slumpmässig vektor med ändlig varians av alla dess komponenter är korrekt.
Det finns rätt komplexa slumpmässiga vektorer som inte är cirkulärt symmetriska.
En verklig slumpmässig vektor är korrekt om och endast om den är konstant.
Två gemensamt korrekta komplexa slumpmässiga vektorer är okorrelerade om och endast om deras kovariansmatris är noll, dvs om
K
Z
W
=
0
{\displaystyle \operatornamn {K} _{\mathbf {Z} \mathbf {W} }=0}
Cauchy-Schwarz ojämlikhet
Cauchy -Schwarz-olikheten för komplexa slumpmässiga vektorer är
|
_
_
E [
ZHW
_
]
|
2
≤ E [
ZH
Z
] E [
|
_
W
H
W
|
]
{\displaystyle \left|\operatörsnamn {E} [\mathbf {Z} ^{H}\mathbf {W} ]\right|^{2}\leq \operatörsnamn {E} [\mathbf {Z} ^{ H}\mathbf {Z} ]\operatörsnamn {E} [|\mathbf {W} ^{H}\mathbf {W} |]}
Karakteristisk funktion
Den karakteristiska funktionen för en komplex slumpmässig vektor
Z
{\displaystyle \mathbf {Z} }
n
{\displaystyle n}
C
n
→
C
{\displaystyle \mathbb {C} ^{n}\to \mathbb { C} }
φ
Z
(
ω
) = E
[
e
i ℜ
(
ω
H
Z
)
]
= E
[
e
i ( ℜ
(
ω
1
)
ℜ
(
Z
1
)
+ ℑ
(
ω
1
)
ℑ
(
Z
1
)
+ ✋ + .
(
ω
n
)
ℜ
(
Z
n
)
+ ℑ
(
ω
n
)
ℑ
(
Z
n
)
)
]
{\displaystyle \varphi _{\mathbf {Z} }(\mathbf {\omega } )=\operatörsnamn {E} \ vänster[e^{i\Re {(\mathbf {\omega} ^{H}\mathbf {Z} )}}\right]=\operatörsnamn {E} \left[e^{i(\Re {(\ omega _{1})}\Re {(Z_{1})}+\Im {(\omega _{1})}\Im {(Z_{1})}+\cdots +\Re {(\omega _{n})}\Re {(Z_{n})}+\Im {(\omega _{n})}\Im {(Z_{n})})}\right]}
Se även
![{\displaystyle F_{\mathbf {Z} }:\mathbb {C} ^{n}\mapsto [0,1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8661e6d29a4d779324e5c3978506838f8c244b65)
![{\displaystyle \operatorname {E} [\mathbf {Z} ]=(\operatorname {E} [Z_{1}],\ldots ,\operatorname {E} [Z_{n}])^{T}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9bad8687a134b34189596765316018f79fdca495)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\operatorname {K} _{\mathbf {Z} \mathbf {Z} }=\operatorname {cov} [\mathbf {Z} ,\mathbf {Z} ]=\operatorname {E} [(\mathbf {Z} -\operatorname {E} [\mathbf {Z} ]){(\mathbf {Z} -\operatorname {E} [\mathbf {Z} ])}^{H}]=\operatorname {E} [\mathbf {Z} \mathbf {Z} ^{H}]-\operatorname {E} [\mathbf {Z} ]\operatorname {E} [\mathbf {Z} ^{H}]\\[12pt]\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ebd5472da7a2129480754c26bf1527c36e0e1aef)
![{\displaystyle \operatorname {K} _{\mathbf {Z} \mathbf {Z} }={\begin{bmatrix}\mathrm {E} [(Z_{1}-\operatorname {E} [Z_{1}]){\overline {(Z_{1}-\operatorname {E} [Z_{1}])}}]&\mathrm {E} [(Z_{1}-\operatorname {E} [Z_{1}]){\overline {(Z_{2}-\operatorname {E} [Z_{2}])}}]&\cdots &\mathrm {E} [(Z_{1}-\operatorname {E} [Z_{1}]){\overline {(Z_{n}-\operatorname {E} [Z_{n}])}}]\\\\\mathrm {E} [(Z_{2}-\operatorname {E} [Z_{2}]){\overline {(Z_{1}-\operatorname {E} [Z_{1}])}}]&\mathrm {E} [(Z_{2}-\operatorname {E} [Z_{2}]){\overline {(Z_{2}-\operatorname {E} [Z_{2}])}}]&\cdots &\mathrm {E} [(Z_{2}-\operatorname {E} [Z_{2}]){\overline {(Z_{n}-\operatorname {E} [Z_{n}])}}]\\\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\\\mathrm {E} [(Z_{n}-\operatorname {E} [Z_{n}]){\overline {(Z_{1}-\operatorname {E} [Z_{1}])}}]&\mathrm {E} [(Z_{n}-\operatorname {E} [Z_{n}]){\overline {(Z_{2}-\operatorname {E} [Z_{2}])}}]&\cdots &\mathrm {E} [(Z_{n}-\operatorname {E} [Z_{n}]){\overline {(Z_{n}-\operatorname {E} [Z_{n}])}}]\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/445eafa0ab8d1d761c1c34d3bb993b4598ec4b15)
![{\displaystyle \operatorname {J} _{\mathbf {Z} \mathbf {Z} }=\operatorname {cov} [\mathbf {Z} ,{\overline {\mathbf {Z} }}]=\operatorname {E} [(\mathbf {Z} -\operatorname {E} [\mathbf {Z} ]){(\mathbf {Z} -\operatorname {E} [\mathbf {Z} ])}^{T}]=\operatorname {E} [\mathbf {Z} \mathbf {Z} ^{T}]-\operatorname {E} [\mathbf {Z} ]\operatorname {E} [\mathbf {Z} ^{T}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/073e290548d019170600567c2a29b7feaaf98a51)
![{\displaystyle \operatorname {J} _{\mathbf {Z} \mathbf {Z} }={\begin{bmatrix}\mathrm {E} [(Z_{1}-\operatorname {E} [Z_{1}])(Z_{1}-\operatorname {E} [Z_{1}])]&\mathrm {E} [(Z_{1}-\operatorname {E} [Z_{1}])(Z_{2}-\operatorname {E} [Z_{2}])]&\cdots &\mathrm {E} [(Z_{1}-\operatorname {E} [Z_{1}])(Z_{n}-\operatorname {E} [Z_{n}])]\\\\\mathrm {E} [(Z_{2}-\operatorname {E} [Z_{2}])(Z_{1}-\operatorname {E} [Z_{1}])]&\mathrm {E} [(Z_{2}-\operatorname {E} [Z_{2}])(Z_{2}-\operatorname {E} [Z_{2}])]&\cdots &\mathrm {E} [(Z_{2}-\operatorname {E} [Z_{2}])(Z_{n}-\operatorname {E} [Z_{n}])]\\\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\\\mathrm {E} [(Z_{n}-\operatorname {E} [Z_{n}])(Z_{1}-\operatorname {E} [Z_{1}])]&\mathrm {E} [(Z_{n}-\operatorname {E} [Z_{n}])(Z_{2}-\operatorname {E} [Z_{2}])]&\cdots &\mathrm {E} [(Z_{n}-\operatorname {E} [Z_{n}])(Z_{n}-\operatorname {E} [Z_{n}])]\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/50248ec68758163e693b5fa474537f0d953110ee)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\operatorname {K} _{\mathbf {X} \mathbf {X} }=\operatorname {E} [(\mathbf {X} -\operatorname {E} [\mathbf {X} ])(\mathbf {X} -\operatorname {E} [\mathbf {X} ])^{\mathrm {T} }]={\tfrac {1}{2}}\operatorname {Re} (\operatorname {K} _{\mathbf {Z} \mathbf {Z} }+\operatorname {J} _{\mathbf {Z} \mathbf {Z} })\\&\operatorname {K} _{\mathbf {Y} \mathbf {Y} }=\operatorname {E} [(\mathbf {Y} -\operatorname {E} [\mathbf {Y} ])(\mathbf {Y} -\operatorname {E} [\mathbf {Y} ])^{\mathrm {T} }]={\tfrac {1}{2}}\operatorname {Re} (\operatorname {K} _{\mathbf {Z} \mathbf {Z} }-\operatorname {J} _{\mathbf {Z} \mathbf {Z} })\\&\operatorname {K} _{\mathbf {Y} \mathbf {X} }=\operatorname {E} [(\mathbf {Y} -\operatorname {E} [\mathbf {Y} ])(\mathbf {X} -\operatorname {E} [\mathbf {X} ])^{\mathrm {T} }]={\tfrac {1}{2}}\operatorname {Im} (\operatorname {J} _{\mathbf {Z} \mathbf {Z} }+\operatorname {K} _{\mathbf {Z} \mathbf {Z} })\\&\operatorname {K} _{\mathbf {X} \mathbf {Y} }=\operatorname {E} [(\mathbf {X} -\operatorname {E} [\mathbf {X} ])(\mathbf {Y} -\operatorname {E} [\mathbf {Y} ])^{\mathrm {T} }]={\tfrac {1}{2}}\operatorname {Im} (\operatorname {J} _{\mathbf {Z} \mathbf {Z} }-\operatorname {K} _{\mathbf {Z} \mathbf {Z} })\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/02b2d81c9eb40be718176122b197e7384c6ca81c)
![{\displaystyle \operatorname {K} _{\mathbf {Z} \mathbf {W} }=\operatorname {cov} [\mathbf {Z} ,\mathbf {W} ]=\operatorname {E} [(\mathbf {Z} -\operatorname {E} [\mathbf {Z} ]){(\mathbf {W} -\operatorname {E} [\mathbf {W} ])}^{H}]=\operatorname {E} [\mathbf {Z} \mathbf {W} ^{H}]-\operatorname {E} [\mathbf {Z} ]\operatorname {E} [\mathbf {W} ^{H}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9844313bcca0b6e7e67e2c61bae3559a8714b4e4)
![{\displaystyle \operatorname {K} _{\mathbf {Z} \mathbf {W} }={\begin{bmatrix}\mathrm {E} [(Z_{1}-\operatorname {E} [Z_{1}]){\overline {(W_{1}-\operatorname {E} [W_{1}])}}]&\mathrm {E} [(Z_{1}-\operatorname {E} [Z_{1}]){\overline {(W_{2}-\operatorname {E} [W_{2}])}}]&\cdots &\mathrm {E} [(Z_{1}-\operatorname {E} [Z_{1}]){\overline {(W_{n}-\operatorname {E} [W_{n}])}}]\\\\\mathrm {E} [(Z_{2}-\operatorname {E} [Z_{2}]){\overline {(W_{1}-\operatorname {E} [W_{1}])}}]&\mathrm {E} [(Z_{2}-\operatorname {E} [Z_{2}]){\overline {(W_{2}-\operatorname {E} [W_{2}])}}]&\cdots &\mathrm {E} [(Z_{2}-\operatorname {E} [Z_{2}]){\overline {(W_{n}-\operatorname {E} [W_{n}])}}]\\\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\\\mathrm {E} [(Z_{n}-\operatorname {E} [Z_{n}]){\overline {(W_{1}-\operatorname {E} [W_{1}])}}]&\mathrm {E} [(Z_{n}-\operatorname {E} [Z_{n}]){\overline {(W_{2}-\operatorname {E} [W_{2}])}}]&\cdots &\mathrm {E} [(Z_{n}-\operatorname {E} [Z_{n}]){\overline {(W_{n}-\operatorname {E} [W_{n}])}}]\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9941690a38b08ff9f3b9be4bd1de0bb2fb9a67b5)
![{\displaystyle \operatorname {J} _{\mathbf {Z} \mathbf {W} }=\operatorname {cov} [\mathbf {Z} ,{\overline {\mathbf {W} }}]=\operatorname {E} [(\mathbf {Z} -\operatorname {E} [\mathbf {Z} ]){(\mathbf {W} -\operatorname {E} [\mathbf {W} ])}^{T}]=\operatorname {E} [\mathbf {Z} \mathbf {W} ^{T}]-\operatorname {E} [\mathbf {Z} ]\operatorname {E} [\mathbf {W} ^{T}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e6a151a8db17da379cb32babce0e737bca9a8b9)
![{\displaystyle \operatorname {J} _{\mathbf {Z} \mathbf {W} }={\begin{bmatrix}\mathrm {E} [(Z_{1}-\operatorname {E} [Z_{1}])(W_{1}-\operatorname {E} [W_{1}])]&\mathrm {E} [(Z_{1}-\operatorname {E} [Z_{1}])(W_{2}-\operatorname {E} [W_{2}])]&\cdots &\mathrm {E} [(Z_{1}-\operatorname {E} [Z_{1}])(W_{n}-\operatorname {E} [W_{n}])]\\\\\mathrm {E} [(Z_{2}-\operatorname {E} [Z_{2}])(W_{1}-\operatorname {E} [W_{1}])]&\mathrm {E} [(Z_{2}-\operatorname {E} [Z_{2}])(W_{2}-\operatorname {E} [W_{2}])]&\cdots &\mathrm {E} [(Z_{2}-\operatorname {E} [Z_{2}])(W_{n}-\operatorname {E} [W_{n}])]\\\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\\\mathrm {E} [(Z_{n}-\operatorname {E} [Z_{n}])(W_{1}-\operatorname {E} [W_{1}])]&\mathrm {E} [(Z_{n}-\operatorname {E} [Z_{n}])(W_{2}-\operatorname {E} [W_{2}])]&\cdots &\mathrm {E} [(Z_{n}-\operatorname {E} [Z_{n}])(W_{n}-\operatorname {E} [W_{n}])]\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/240fc2c9717f84911d95a271d7ca87595b185cc5)
![{\displaystyle \operatorname {E} [\mathbf {Z} ]=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d136e6dc4d72ba213940846421b1f8c00160bc8d)
![{\displaystyle \operatorname {var} [Z_{1}]<\infty ,\ldots ,\operatorname {var} [Z_{n}]<\infty }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca262a1fa11c0e897e89da432119076df0575dc4)
![{\displaystyle \operatorname {E} [\mathbf {Z} \mathbf {Z} ^{T}]=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e567ff4fa3785973cc8d53106ec6a0e075d969e9)
![{\displaystyle \left|\operatorname {E} [\mathbf {Z} ^{H}\mathbf {W} ]\right|^{2}\leq \operatorname {E} [\mathbf {Z} ^{H}\mathbf {Z} ]\operatorname {E} [|\mathbf {W} ^{H}\mathbf {W} |]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e6675b4efe08db65ef119042110564db71520472)
![{\displaystyle \varphi _{\mathbf {Z} }(\mathbf {\omega } )=\operatorname {E} \left[e^{i\Re {(\mathbf {\omega } ^{H}\mathbf {Z} )}}\right]=\operatorname {E} \left[e^{i(\Re {(\omega _{1})}\Re {(Z_{1})}+\Im {(\omega _{1})}\Im {(Z_{1})}+\cdots +\Re {(\omega _{n})}\Re {(Z_{n})}+\Im {(\omega _{n})}\Im {(Z_{n})})}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/55ef4b68890cb6b51eea0081d9a757a4c9f88849)