Konvolutionskvot

Inom matematiken är en faltningskvot till driften av faltning som en kvot av heltal är till multiplikation . Konvolutionskvotienter introducerades av Mikusiński ( 1949 ), och deras teori kallas ibland för Mikusińskis operationella kalkyl .

Den typ av faltning ${\textstyle (f,g)\mapsto f*g}$ som denna teori handlar om definieras av

$(f*g)(x)=\int _{0}^{x}f(u)g(xu)\,du.$

Det följer av Titchmarsh faltningssatsen att om faltningen ${\textstyle f*g}$$) {\textstyle [0,+ \infty )}$ två funktioner ${\textstyle f,g}$ som är kontinuerliga på är lika med 0 överallt på det intervallet, då är minst en av ${\textstyle f,g}$ 0 överallt på det intervallet. En konsekvens är att om ${\textstyle f,g,h}$ är kontinuerliga på ${\textstyle [0,+\infty )}$ så är ${\textstyle h *f=h*g}$ endast om ${\textstyle f=g.}$ Detta faktum gör det möjligt att definiera faltningskvotienter genom att säga att för två funktioner ƒ , g , har paret ( ƒ , g ) samma faltningskvot som paret ( h * ƒ , h * g ) ).

Konvolutionskvoter används för att göra Diracs deltafunktion och andra generaliserade funktioner logiskt rigorösa .

•   Mikusiński, Jan G. (1949), "Sur les fondements du calcul opératoire", Studia Math. , 11 : 41-70, MR 0036949
•   Mikusiński, Jan (1959) [1953], Operational calculus , International Series of Monographs on Pure and Applied Mathematics, vol. 8, New York-London-Paris-Los Angeles: Pergamon Press, MR 0105594