Titchmarsh faltningssats

Titchmarsh faltningssatsen beskriver egenskaperna hos stödet för faltningen av två funktioner. Det bevisades av Edward Charles Titchmarsh 1926.

Titchmarsh faltningssats

Om ${\textstyle \varphi (t)\,}$ och ${\textstyle \psi (t)}$ är integrerbara funktioner, så att

$\varphi *\psi =\int _{0}^{x}\varphi (t)\psi (xt)\, dt=0$

nästan överallt i intervallet ${\displaystyle 0<x<\kappa \,} ,$ då finns det $\lambda \geq 0$ och $\mu \geq 0$ som uppfyller $\lambda +\mu \geq \kappa$ så att $\varphi (t)=0\,$ nästan överallt i $0<t <\lambda$ och $\psi (t)=0\,$ nästan överallt i $0<t<\mu .$

Som en följd av detta, om integralen ovan är 0 för alla ${\textstyle x>0,}$ så är antingen ${\textstyle \varphi \,}$ eller ${\textstyle \psi }$ nästan överallt 0 i intervallet ${\textstyle [0,+\infty ).}$ Således kan faltningen av två funktioner på ${\textstyle [0,+\infty )}$ inte vara identiskt noll om inte minst en av de två funktionerna är identiskt noll .

Som en annan följd, om $\varphi *\psi (x)=0$ för alla $x\in [0,\kappa ]$ och en av funktionen $\varphi$ eller $\psi$$[0,\kappa ]$ nästan överallt inte null i detta intervall, då måste den andra funktionen vara null nästan överallt i .

Teoremet kan omformuleras i följande form:

Låt $\varphi ,\psi \in L^{1}(\mathbb {R} )$ . Sedan $\inf \operatörsnamn {supp} \varphi \ast \psi =\inf \operatörsnamn {supp} \varphi +\inf \operatörsnamn {supp } \psi$ om den vänstra sidan är ändlig. På liknande sätt, $\sup \operatörsnamn {supp} \varphi \ast \psi =\sup \operatörsnamn {supp} \varphi +\sup \operatörsnamn { supp} \psi$ om den högra sidan är finit.

Ovan anger $\operatorname {supp}$ stödet för en funktion och $\inf$ och $\sup$ anger infimum och supremum . Denna sats säger i huvudsak att den välkända inklusionsuppsättningen $\displaystyle \operatörsnamn {supp} \varphi \ast \psi \subset \operatornamn {supp} \varphi +\operatörsnamn supp} \psi }$ är skarp vid gränsen.

Den högre dimensionella generaliseringen i termer av det konvexa skrovet på stöden bevisades av Jacques-Louis Lions 1951:

Om ${\displaystyle \varphi ,\psi \in {\mathcal {E}}'(\mathbb {R} ^{n})} ,$ då $\operatörsnamn {ch} \operatörsnamn {supp} \varphi \ast \psi =\operatörsnamn {ch} \operatörsnamn {supp} \varphi +\operatörsnamn {ch} \operatörsnamn {supp} \psi$

Ovan, $\operatorname {ch}$ betecknar uppsättningens konvexa skrov och ${\mathcal {E}}'(\mathbb {R} ^{n})$ anger utrymmet för distributioner med kompakt stöd .

Det ursprungliga beviset av Titchmarsh använder komplexa-variabla tekniker och är baserat på Phragmén-Lindelöf-principen , Jensens ojämlikhet , Carlemans teorem och Valirons teorem . Teoremet har sedan dess bevisats flera gånger, vanligtvis med hjälp av antingen realvariabel eller komplexvariabel metoder. Gian-Carlo Rota har sagt att inga bevis ännu adresserar satsens underliggande kombinatoriska struktur, som han anser är nödvändig för fullständig förståelse.