Konkurrensjämvikt

Konkurrensjämvikt (även kallat: Walrasian equilibrium ) är ett koncept för ekonomisk jämvikt som introducerades av Kenneth Arrow och Gérard Debreu 1951 lämpligt för analys av råvarumarknader med flexibla priser och många handlare, och fungerar som riktmärke för effektivitet i ekonomisk analys. Det förlitar sig avgörande på antagandet om en konkurrensutsatt miljö där varje handlare bestämmer sig för en kvantitet som är så liten jämfört med den totala kvantiteten som handlas på marknaden att deras individuella transaktioner inte har någon inverkan på priserna. Konkurrensutsatta marknader är en idealisk standard för utvärdering av andra marknadsstrukturer.

Definitioner

En konkurrenskraftig jämvikt (CE) består av två element:

• En prisfunktion $P$ . Den tar som argument en vektor som representerar en bunt av varor och returnerar ett positivt reellt tal som representerar dess pris. Vanligtvis är prisfunktionen linjär - den representeras som en vektor av priser, ett pris för varje varutyp.
• En allokeringsmatris $X$ . För varje $i\in 1,\dots ,n$ , är $X_{i}$ vektorn av varor som tilldelats agent $i$ .

Dessa element bör uppfylla följande krav:

• Tillfredsställelse ( avundslöshet på marknaden ): Varje agent föredrar svagt sitt paket framför alla andra prisvärda paket:

$\forall i\in 1,\dots ,n$ , om $P(Y)\leq P(X_{i})$ sedan $Y\preceq _{i}X_{i}$ .

Ofta finns det en initial tilldelningsmatris $E$ : för varje $i\in 1,\dots ,n$ , är $E_{i}$ initial tilldelning av agent $i$ . Sedan bör en CE uppfylla några ytterligare krav:

• Market Clearance : efterfrågan är lika med utbudet, inga föremål skapas eller förstörs:

$\sum _{i=1}^{n}X_{i} =\summa _{i=1}^{n}E_{i}$ .

• Individuell rationalitet : alla agenter har det bättre efter affären än före affären:

$\forall i\in 1,\dots ,n:X_{i }\succeq _{i}E_{i}$ .

• Budgetsaldo : alla agenter har råd med sin tilldelning givet deras anslag:

$\forall i\in 1,\dots ,n:P( X_{i})\leq P(E_{i})$ .

Definition 2

Denna definition tillåter uttryckligen möjligheten att det kan finnas flera varuuppsättningar som är lika tilltalande. Också till nollpriser. En alternativ definition bygger på begreppet efterfrågeuppsättning . Givet en prisfunktion P och en agent med en nyttofunktion U, finns ett visst varupaket x i agentens efterfrågeuppsättning om: $U(x)-P(x)\geq U(y)-P(y)$ för vartannat paket y. En konkurrenskraftig jämvikt är en prisfunktion P och en allokeringsmatris X så att:

• Paketet som tilldelas av X till varje agent är i den agentens efterfrågeuppsättning för prisvektorn P;
• Varje vara som har ett positivt pris är fullt allokerad (dvs. varje oallokerad artikel har pris 0).

Ungefärlig jämvikt

I vissa fall är det användbart att definiera en jämvikt där rationalitetsvillkoret är avslappnat. Givet ett positivt värde $\epsilon$ (mätt i monetära enheter, t.ex. dollar), en prisvektor $P$ och en bunt $x$ , definierar $P_{ \epsilon }^{x}$ som en prisvektor där alla artiklar i x har samma pris som de har i P, och alla artiklar som inte är i x är prissatta $\epsilon$ mer än deras pris i P.

I en $\epsilon$ -competitive-equilibrium bör paketet x som tilldelats en agent vara i agentens efterfrågeuppsättning för den modifierade prisvektorn, $P_{\epsilon }^{x}$ .

Denna uppskattning är realistisk när det finns köp-/säljprovisioner. Anta till exempel att en agent måste betala $\epsilon$ dollar för att köpa en enhet av en vara, utöver artikelns pris. Den agenten kommer att behålla sitt nuvarande paket så länge det är i efterfrågeuppsättningen för prisvektor $P_{\epsilon }^{x}$ . Detta gör att jämvikten blir mer stabil.

Exempel

Delbara resurser

Den nya lösningsmetoden (Riley [2022] är att lösa inte för en enda utkomst utan för alla möjliga utfall.

Lösning för grafen över jämviktsutfall.

VAL

Preferenser representeras av en individs marginala substitutionsgrad MRS(X,Y). Detta är den marginella viljan att byta bort y mot x.

Alex har en MRS av Ay(a)/x(a). Bevs MRS är By(b)/x(b). Nedan fallet där (A,B) = (2.1) är löst.

EFTERFRÅGAN

Givet ett pris p för varan x och 1 för varan y väljer Alex och Bev till konsument där MRS(X,Y) =p

Det walrasiska jämvikts-WE-prisförhållandet P är prisförhållandet som rengör marknaden

Maximera ekvationer

p = 2y(a)/x(a) = y(b)/x(b).

TILLFÖRSEL

Definiera enheter så att det totala utbudet av varje vara är 1.

Då är x(b) = 1 - x(a) och y(b) = 1 - x(a).

Gå in i maximeringsekvationerna

P = 2Y/X (*) och P = (1 -Y)/(1-X) (**) Korsmultiplicering och omarrangering ger följande resultat (X-2)(Y+1) = -2.

Då PX =2Y och P-PX = 1-Y Lägga till dessa ekvationer, P=1-Y. Därför Y=P-1. Från (*) PX=2Y =2(P-1)

RESULTAT

UTGIFTSEKVATIONER

PX = 2(P-1). Y=P-1,

BUDGETEKVATION: PX+Y= 3P - 3

och WE-resultaten ligger på grafen för hyperbeln

(X-2)(Y+1)=-2

BUDGETEKVATION.

PX + 1Y = 3P - 3 = P(3) + 1(-3)

Ekonomin har därför en mycket speciell fixpunkt F = (3, -3).

ALLA VALRASIAN EQ-BUDGETRADER GÅR GENOM DEN FAST PUNKT.

LÖSNINGEN

Välj eventuella donationer. Till exempel, (1,1) Priserna är P och 1. Värdet på donationen är därför

P ( 1/2 ) +1 ( 1/2 ) =P(3) + 1(-3)

Då 2P = 4 och så P = 7/5..

Från utgiftsekvationerna kan du lösa WE-utfallet.

Om anslaget är (0,1) visa att WE-prisförhållandet är 3/2

INLEDANDE EXEMPEL

Följande exempel handlar om en bytesekonomi med två agenter, Jane och Kelvin, två varor t.ex. bananer (x) och äpplen (y), och inga pengar.

1. Grafiskt exempel : Antag att den initiala allokeringen är vid punkt X, där Jane har fler äpplen än Kelvin och Kelvin har fler bananer än vad Jane har.

Genom att titta på deras indifferenskurvor $J_{1}$ för Jane och $K_{1}$ för Kelvin kan vi se att detta inte är en jämvikt - båda agenterna är villiga att handla med var och en annat till priserna $P_{x}$ och $P_{y}$ . Efter handeln går både Jane och Kelvin till en likgiltighetskurva som visar en högre nivå av användbarhet, $J_{2}$ och $K_{2}$ . De nya indifferenskurvorna skär varandra i punkt E. Lutningen på tangenten för båda kurvorna är lika med - $P_{x}/P_{y}$ .

Och $MRS_{Jane}=P_{x}/P_{y}$ ; $MRS_{Kelvin}=P_{x}/P_{y}$ . Den marginala substitutionsgraden (MRS) för Jane är lika med den för Kelvin. Därför når samhället med två individer Pareto-effektivitet , där det inte finns något sätt att göra Jane eller Kelvin bättre utan att göra den andra sämre.

2. Aritmetiskt exempel: anta att båda agenterna har Cobb–Douglas-verktyg :

$u_{J}(x,y)=x^{a}y^{1-a}$

$u_{K}(x,y)=x^{b}y^{1-b}$

där $a,b$ är konstanter.

Antag att den initiala begåvningen är $E=[(1,0),(0,1)]$ .

Efterfrågefunktionen för Jane för x är:

$x_{J}(p_{x},p_{y}, I_{J})={\frac {a\cdot I_{J}}{p_{x}}}={\frac {a\cdot (1\cdot p_{x})}{p_{x}}} =a$

Behovsfunktionen för Kelvin för x är:

$x_{K}(p_{x},p_{y},I_{K})= {\frac {b\cdot I_{K}}{p_{x}}}={\frac {b\cdot p_{y}}{p_{x}}}$

Villkoret för marknadsgodkännande för x är:

$x_{J}+x_{K}=E_{J,x}+E_{K,x}=1$

Denna ekvation ger jämviktsprisförhållandet:

${\frac {p_{2}}{p_{1}}}={\frac {1-a}{b}}$

Vi skulle kunna göra en liknande beräkning för y, men detta behövs inte, eftersom Walras lag garanterar att resultaten blir desamma. Observera att i CE bestäms endast relativa priser; vi kan normalisera priserna, t.ex. genom att kräva att $p_{1}+p_{2}=1$ . Då får vi $p_{1}={\frac {b}{1+ba}},p_{1}= {\frac {1-a}{1+ba}}$ . Men all annan normalisering kommer också att fungera.

3. Exempel på icke-existens: Anta att agenternas verktyg är:

$u_{J}(x,y)=u_{K}(x,y)=\max(x, y)$

och den initiala begåvningen är [(2,1),(2,1)]. I CE måste varje agent ha antingen bara x eller bara y (den andra produkten bidrar inte med något till nyttan så agenten vill byta bort den). Följaktligen är de enda möjliga CE-allokeringarna [(4,0),(0,2)] och [(0,2),(4,0)]. Eftersom ombuden har samma inkomst, måste nödvändigtvis $p_{y}=2p_{x}$ . Men då kommer agenten som har 2 enheter av y att vilja byta ut dem mot 4 enheter av x.

4. För existens- och icke-existensexempel som involverar linjära verktyg, se Linjärt verktyg#Exempel .

Odelbara föremål

När det finns odelbara poster i ekonomin är det vanligt att anta att det också finns pengar, som är delbara. Agenterna har kvasilinjära nyttofunktioner : deras nytta är summan pengar de har plus nyttan från paketet med föremål de har.

A. Enstaka föremål: Alice har en bil som hon värderar till 10. Bob har ingen bil, och han värderar Alices bil som 20. En möjlig CE är: priset på bilen är 15, Bob får bilen och betalar 15 till Alice . Detta är en jämvikt eftersom marknaden är rensad och båda agenterna föredrar sitt slutliga paket framför sitt ursprungliga paket. Faktum är att varje pris mellan 10 och 20 kommer att vara ett CE-pris, med samma tilldelning. Samma situation gäller när bilen initialt inte innehas av Alice utan snarare i en auktion där både Alice och Bob är köpare: bilen kommer att gå till Bob och priset kommer att ligga någonstans mellan 10 och 20.

Å andra sidan är vilket pris som helst under 10 inte ett jämviktspris eftersom det finns en överefterfrågan (både Alice och Bob vill ha bilen till det priset), och alla priser över 20 är inte ett jämviktspris eftersom det finns ett överutbud ( varken Alice eller Bob vill ha bilen till det priset).

Detta exempel är ett specialfall av en dubbelauktion .

B. Ersättare: En bil och en häst säljs på en auktion. Alice bryr sig bara om transport, så för henne är dessa perfekta substitut: hon får nytta 8 från hästen, 9 från bilen, och om hon har båda så använder hon bara bilen så hennes nytta är 9. Bob får nytta av 5 från hästen och 7 från bilen, men om han har båda så är hans nytta 11 eftersom han också gillar hästen som husdjur. I det här fallet är det svårare att hitta en jämvikt (se nedan ). En möjlig jämvikt är att Alice köper hästen för 5 och Bob köper bilen för 7. Detta är en jämvikt eftersom Bob inte skulle vilja betala 5 för hästen vilket ger honom endast 4 extra nytta, och Alice skulle inte gilla att betala 7 för bilen vilket ger henne bara 1 extra nytta.

C. Kompletteringar : En häst och en vagn säljs på en auktion. Det finns två potentiella köpare: AND och OR. OCH vill bara ha hästen och vagnen tillsammans - hon får en nytta av $v_{and}$ från att hålla dem båda men en nytta på 0 för att hålla bara en av dem. ELLER vill ha antingen hästen eller vagnen men behöver inte båda - han får en nytta av $v_{or}$ från att hålla en av dem och samma nytta för att hålla båda. Här, när $v_{and}<2v_{or}$ , existerar INTE en konkurrenskraftig jämvikt, dvs inget pris kommer att rensa marknaden. Bevis : överväg följande alternativ för summan av priserna (hästpris + vagnpris):

• Summan är mindre än $v_{and}$ . Sedan, AND vill ha båda objekten. Eftersom priset på minst en vara är lägre än ${\displaystyle v_{or}} ,$ OR vill ha den varan, så det finns en överflödig efterfrågan.
• Summan är exakt $v_{and}$ . Sedan är AND likgiltig mellan att köpa båda föremålen och att inte köpa någon vara. Men OR vill fortfarande ha exakt en vara, så det finns antingen överskottsefterfrågan eller överutbud.
• Summan är mer än $v_{and}$ . Sedan, AND vill inte ha någon vara och OR vill fortfarande ha högst en enda vara, så det finns ett överskott.

D. Enhetsefterfrågan konsumenter: Det finns n konsumenter. Varje konsument har ett index $i=1,...,n$ . Det finns en enda typ av goda. Varje konsument $i$ vill ha högst en enda enhet av varan, vilket ger honom nyttan av $u(i)$ . Konsumenterna är ordnade så att $u$ är en svagt ökande funktion av $i$ . Om utbudet är $k\leq n$ enheter, då alla pris $p$ som uppfyller $u(nk) )\leq p\leq u(n-k+1)$ är ett jämviktspris, eftersom det finns k konsumenter som antingen vill köpa produkten eller är likgiltiga mellan att köpa och inte köpa den. Observera att ett ökat utbud leder till att priset sjunker.

Förekomsten av en konkurrenskraftig jämvikt

Delbara resurser

Arrow –Debreu-modellen visar att ett CE finns i varje bytesekonomi med delbara varor som uppfyller följande villkor:

• Alla agenter har strikt konvexa preferenser ;
• Alla varor är önskvärda. Detta betyder att om någon bra $j$ ges gratis ( $p_{j}=0$ ), så vill alla agenter ha så mycket som möjligt av den varan.

Beviset fortsätter i flera steg.

A. För att vara konkret, antag att det finns $n$ agenter och $k$ delbara varor. Normalisera priserna så att deras summa är 1: $\sum _{j=1}^{k}p_{j}=1$ . Då är utrymmet för alla möjliga priser den $k-1$ -dimensionella enheten simplex i $\mathbb {R} ^{k}$ . Vi kallar detta simplex för pris simplex .

B. Låt $z$ vara funktionen för efterfrågeöverskott . Detta är en funktion av prisvektorn $p$ när den initiala tilldelningen $E$ hålls konstant:

$z(p)=\summa _{i=1}^{n}{x_{i}(p ,p\cdot E_{i})-E_{i}}$

Det är känt att, när agenterna har strikt konvexa preferenser , är den marshallska efterfrågefunktionen kontinuerlig. Därför $z$ också en kontinuerlig funktion av $p$ .

C. Definiera följande funktion från prissimplexet till sig själv:

$g_{i} (p)={\frac {p_{i}+\max(0,z_{i}(p))}{1+\summa _{j=1}^{k}\max(0,z_{j }(p))}},\forall i\in 1,\dots ,k$

Detta är en kontinuerlig funktion, så enligt Brouwers fixpunktssats finns det en prisvektor $p^{*}$ så att:

$p^{*}=g(p^{*})$

så,

$p_{i}^{ *}={\frac {p_{i}+\max(0,z_{i}(p))}{1+\summa _{j=1}^{k}\max(0,z_{j} (p))}},\forall i\in 1,\dots ,k$

D. Med hjälp av Walras lag och viss algebra är det möjligt att visa att det för denna prisvektor inte finns någon överskottsefterfrågan på någon produkt, dvs.

$z_{j}(p^{*})\leq 0,\forall j\in 1,\dots ,k$

E. Det önskvärda antagandet innebär att alla produkter har strikt positiva priser:

$p_{j}>0,\forall j\in 1,\dots ,k$

Enligt Walras lag , $p^{*}\cdot z(p^{*})=0$ . Men detta innebär att ojämlikheten ovan måste vara en jämlikhet:

$z_{j}(p^{*})=0,\forall j\in 1,\dots ,k$

Detta betyder att $p^{*}$ är en prisvektor för en konkurrenskraftig jämvikt.

Observera att linjära verktyg endast är svagt konvexa, så de kvalificerar sig inte för Arrow–Debreu-modellen . David Gale bevisade dock att ett CE existerar i varje linjär börsekonomi som uppfyller vissa villkor. För detaljer se Linjära verktyg#Förekomst av konkurrenskraftig jämvikt .

Algoritmer för att beräkna marknadsjämvikten beskrivs i Market equilibrium computation .

Odelbara föremål

I exemplen ovan existerade en konkurrensmässig jämvikt när objekten var substitut men inte när objekten var komplement. Detta är ingen slump.

Givet en nyttofunktion på två varor X och Y , säg att varorna är svagt bruttosubstitut (GS) om de antingen är oberoende varor eller bruttoersättningsvaror , men inte Kompletterande varor . Detta betyder att ${\frac {\Delta {\text{efterfrågan}}(X)}{\Delta {\text{pris}}(Y)}}\ geq 0$ . Dvs om priset på Y ökar, så förblir efterfrågan på X antingen konstant eller ökar, men minskar inte .

En nyttofunktion kallas GS om, enligt denna nyttofunktion, alla par av olika varor är GS. Med en GS-verktygsfunktion, om en agent har en efterfrågeuppsättning till en given prisvektor, och priserna på vissa artiklar ökar, har agenten en efterfrågeuppsättning som inkluderar alla artiklar vars pris förblev konstant. Han kan bestämma sig för att han inte vill ha en vara som har blivit dyrare; han kan också bestämma att han vill ha ett annat föremål istället (en ersättare); men han kanske inte bestämmer sig för att han inte vill ha en tredje vara vars pris inte har ändrats.

När nyttofunktionerna för alla agenter är GS finns alltid en konkurrenskraftig jämvikt.

Dessutom är uppsättningen av GS-värderingar den största uppsättningen som innehåller enhetsefterfrågevärderingar för vilka förekomsten av konkurrenskraftig jämvikt är garanterad: för alla icke-GS-värderingar finns det enhetsefterfrågevärderingar så att en konkurrenskraftig jämvikt inte existerar för dessa enhets- efterfrågevärderingar tillsammans med den givna icke-GS-värderingen.

För beräkningsproblemet att hitta en konkurrensmässig jämvikt på en speciell typ av marknad, se Fisher market#odelbar .

Konkurrensjämvikten och allokativ effektivitet

Enligt välfärdsekonomins grundläggande satser är varje CE-tilldelning Pareto-effektiv , och varje effektiv tilldelning kan vara hållbar genom en konkurrenskraftig jämvikt. Dessutom, enligt Varians satser , är en CE-allokering där alla agenter har samma inkomst också avundsfri .

I den konkurrensmässiga jämvikten är det värde samhället sätter på en vara likvärdigt med värdet av de resurser som avstår för att producera den ( marginalnytta är lika med marginalkostnad ). Detta säkerställer allokativ effektivitet : det mervärde som samhället sätter på en annan enhet av godan är lika med vad samhället måste avstå i resurser för att producera det.

Observera att mikroekonomisk analys inte förutsätter additiv nytta, och inte heller förutsätter den några interpersonella nyttoavvägningar. Effektivitet hänvisar därför till frånvaron av Pareto-förbättringar . Den har inte på något sätt åsikter om huruvida fördelningen är rättvis (i betydelsen fördelningsrättvisa eller rättvisa ). En effektiv jämvikt kan vara en där en spelare har alla gods och andra spelare inte har några (i ett extremt exempel), vilket är effektivt i den meningen att man kanske inte kan hitta en Pareto-förbättring - vilket gör att alla spelare (inklusive en med allt i det här fallet) bättre (för en strikt Pareto-förbättring), eller inte sämre.

Välfärdsteorem för odelbar artikeluppgift

När det gäller odelbara föremål har vi följande starka versioner av de två välfärdssatserna :

1. Varje konkurrensmässig jämvikt maximerar den sociala välfärden (summan av nyttigheter), inte bara över alla realistiska tilldelningar av objekt, utan också över alla fraktionerade tilldelningar av objekt. Dvs, även om vi skulle kunna tilldela bråkdelar av ett objekt till olika personer, skulle vi inte kunna göra det bättre än en konkurrenskraftig jämvikt där bara hela objekt tilldelas.
2. Om det finns ett integrerat uppdrag (utan deluppdrag) som maximerar den sociala välfärden, så finns det en konkurrensmässig jämvikt med det uppdraget.

Att hitta en jämvikt

I fallet med odelbar föremålstilldelning, när alla agenters nyttofunktioner är GS ( och därmed en jämvikt finns ), är det möjligt att hitta en konkurrenskraftig jämvikt med hjälp av en stigande auktion . I en stigande auktion publicerar auktionsförrättaren en prisvektor, initialt noll, och köparna deklarerar sitt favoritpaket under dessa priser. Om varje föremål önskas av högst en enda budgivare, delas föremålen upp och auktionen är avslutad. Om det finns en överflödig efterfrågan på en eller flera föremål, höjer auktionsförrättaren priset på en efterfrågad föremål med ett litet belopp (t.ex. en dollar), och köparna bjuder igen.

Flera olika mekanismer för stigande auktion har föreslagits i litteraturen. Sådana mekanismer kallas ofta Walrasian auktion , Walrasian tâtonnement eller engelsk auktion .

Se även

• Avundsfri prissättning - en uppmjukning av den walrasiska jämvikten där vissa föremål kan förbli ofördelade.
• Fisher market - en förenklad marknadsmodell, med en enda säljare och många köpare, där ett CE kan beräknas effektivt.
• Allokativ effektivitet
• Ekonomisk jämvikt
• Allmän jämviktsteori
• Walrasian auktion

•   Richter, MK; Wong, KC (1999). "Icke-beräknebarhet av konkurrenskraftig jämvikt". Ekonomisk teori . 14 : 1–27. doi : 10.1007/s001990050281 . S2CID 121248813 .

externa länkar

• Konkurrensjämvikt, Walrasian-jämvikt och Walrasian-auktion i Economics Stack Exchange.