Fisher marknad

Fisher market är en ekonomisk modell som tillskrivs Irving Fisher . Den har följande ingredienser:

En uppsättning $m$ delbara produkter med fördefinierade leveranser (vanligtvis normaliserade så att tillgången på varje vara är 1).
En uppsättning av $n$ köpare.
För varje köpare $i=1,\dots ,n$ finns det en fördefinierad monetär budget $B_{i}$ .

Varje produkt $j$ har ett pris $p_{j}$ ; priserna bestäms med metoder som beskrivs nedan. Priset på ett paket med produkter är summan av priserna på produkterna i paketet. En bunt representeras av en vektor $x=x_{1},\dots ,x_{m}$ , där $x_{j}$ är kvantiteten av produkt $j$ . Så priset för ett paket $x$ är $p(x)=\summa _{j=1}^{m}p_{ j}\cdot x_{j}$ .

Ett paket är överkomligt för en köpare om priset på det paketet som mest är köparens budget. Dvs ett paket $x$ är överkomligt för köparen $i$ om $p(x)\leq B_{i}$ .

Varje köpare har en preferensrelation framför buntar, som kan representeras av en hjälpfunktion. Verktygsfunktionen för köpare $i$ betecknas med $u_{i}$ . En köpares efterfrågeuppsättning är uppsättningen av prisvärda paket som maximerar köparens användbarhet bland alla prisvärda paket, dvs.

${\text{Demand}}_{i}(p):=\arg \max _{p(x) )\leq B_{i}}u_{i}(x)$ .

En konkurrenskraftig jämvikt (CE) är en prisvektor $p_{1},\dots ,p_{m}$ där det är möjligt att tilldela varje agent en bunt från hans efterfråge-set, så att den totala allokeringen exakt motsvarar utbudet av produkter. Motsvarande priser kallas marknadsclearingpriser . Den största utmaningen med att analysera Fishers marknader är att hitta ett CE.

Relaterade modeller

i Fisher-marknadsmodellen har budgeten inget egenvärde - den är endast användbar för att köpa produkter. Detta står i motsats till en walrasisk marknad med agenter med kvasilinjära verktyg , där pengar i sig är en produkt och har ett eget värde.
Arrow –Debreu-marknaden är en generalisering av Fisher-modellen, där varje agent kan vara både en köpare och en säljare. Dvs varje agent kommer med ett paket med produkter, istället för bara med pengar.
Eisenberg-Gale-marknaderna är en annan generalisering av den linjära Fisher-marknaden.

Fisher market med delbara föremål

När alla artiklar på marknaden är delbara finns det alltid ett CE. Detta kan bevisas med det berömda Sperners lemma .

Antag att kvantiteterna är normaliserade så att det är 1 enhet per produkt, och budgetarna är normaliserade så att deras summa är 1. Antag också att alla produkter är bra, dvs en agent föredrar alltid strikt sett att ha mer av varje produkt, om han har råd med det.

Betrakta standardsimplexet med m hörn. Varje punkt i denna simplex motsvarar en prisvektor, där summan av alla priser är 1; därför är priset på alla varor tillsammans 1.

I varje prisvektor p kan vi hitta en efterfrågad uppsättning av varje agent, sedan beräkna summan av alla efterfrågade uppsättningar och sedan hitta det totala priset för denna aggregerade efterfrågan. Eftersom priset för varje efterfrågad uppsättning som mest är agentens budget, och summan av budgetar är högst 1, är priset på den sammanlagda efterfrågan högst 1. Därför finns det för varje p , minst en produkt för vilken total efterfrågan är högst 1. Låt oss kalla en sådan produkt en "dyr produkt" i sid.

Triangulera m -vertex simplex, och märk varje triangulerings-vertex p med ett index av en godtycklig dyr produkt i p . I varje sida av simplexen kostar vissa produkter 0. Eftersom alla produkter är bra är efterfrågan från varje agent på en produkt som kostar 0 alltid 1; därför kan en produkt som kostar 0 aldrig anses vara dyr. Följaktligen uppfyller ovanstående märkning Sperners gränsvillkor.

Enligt Sperners lemma finns det en baby-simplex vars hörn är märkta med m olika etiketter. Eftersom efterfrågefunktionen är kontinuerlig hittar vi genom att ta finare och finare trianguleringar en enda prisvektor p *, där alla produkter är dyra, dvs den sammanlagda efterfrågan för varje produkt är högst 1.

Men eftersom summan av alla budgetar är 1, måste den aggregerade efterfrågan för varje produkt i p * vara exakt 1. Därför är p * en vektor för marknadsrensande priser.

Även om Sperners lemma kan användas för att hitta ett CE, är det mycket ineffektivt beräkningsmässigt. Det finns mer effektiva metoder: se Marknadsjämviktsberäkning .

Fiskarmarknader med odelbara föremål

När artiklarna på marknaden är odelbara är det inte garanterat att ett CE existerar. Att avgöra om en CE existerar är ett beräkningssvårt problem.

Deng et al studerade en marknad till vilken varje agent kommer med en initial donation (snarare än en initial inkomst) och alla värderingar är additiva. De visade att det är NP-svårt att avgöra om CE existerar även med 3 medel. De presenterade en approximationsalgoritm som mildrar CE-villkoren på två sätt: (1) Bunten som tilldelats varje agent värderas minst 1 epsilon av det optimala givet priserna, och (2) efterfrågan är minst 1 epsilon gånger utbudet.

Bouveret och Lemaitre studerade CE-from-equal-incomes (CEEI) som en regel för rättvis fördelning av poster. De kopplade det till fyra andra skälighetskriterier förutsatt att alla agenter har additiv värderingsfunktioner. De frågade vad det är för beräkningskomplexitet att avgöra om CEEI existerar.

Denna fråga besvarades strax efteråt av Aziz, som bevisade att problemet är svagt NP-hårt när det finns två agenter och m objekt, och starkt NP-hårt när det finns n agenter och 3 n objekt. Han presenterade också ett starkare tillstånd som kallas CEEI-FRAC som är, intressant nog, lättare att verifiera --- det kan verifieras i polynomtid. Miltersen, Hosseini och Branzei bevisade att även att verifiera om en given tilldelning är CEEI är co-NP-hårt. De studerade CEEI också för målmedvetna agenter. I det här fallet är verifieringen av om en given allokering är CEEI polynom, men att kontrollera om CEEI existerar är co-NP-komplett.

Heinen et al utökade Bouverets och Lemaitres arbete från additiva till k-additiva hjälpfunktioner, där varje agent rapporterar ett värde för buntar som innehåller högst k artiklar, och värdena för större buntar bestäms genom att addera och subtrahera värdena för grundläggande buntar.

Budish studerade den mest allmänna miljön där agenter kan ha godtyckliga preferensrelationer framför buntar. Han uppfann mekanismen Approximate Competitive Equilibrium from Equal Incomes , som lättar på CEEI-villkoren på två sätt: (1) Agenternas inkomster är inte exakt lika, och (2) ett litet antal poster kan förbli otilldelade. Han bevisade att en ungefärlig CEEI alltid existerar (även om Othman et al nyligen bevisade att beräkningen av ungefärlig CEEI är PPAD komplett ).

Barman och Krishnamurthy studerar Fisher-marknader där alla agenter har tillsatsverktyg. De visar att en fraktionell CE (där vissa varor är uppdelade) alltid kan avrundas till en integral CE (där varor förblir odelbara), genom att ändra agenternas budgetar. Förändringen i varje budget kan vara så hög som det största priset på en vara i bråkdelen CE.

Babaioff, Nisan och Talgam-Cohen studerade om CE existerar när inkomsterna är generiska , dvs inte uppfyller en begränsad uppsättning jämlikheter. Med andra ord: om det finns ett CE för nästan alla inkomstvektorer. De bevisade existens för tre varor, och för fyra varor och två agenter. De bevisade icke-existens för fem varor och två agenter. Senare har det visat sig att med fyra varor och tre ombud kanske CE inte existerar när värderingarna är icke-additiva, men alltid existerar när värderingarna är additiva.

Se även

Allmän jämvikt