Konformt platt grenrör

Det övre grenröret är platt. Den nedre är det inte, men den är konform med den första

Ett ( pseudo- ) Riemann-grenrör är konformt platt om varje punkt har ett område som kan mappas till platt utrymme genom en konform transformation .

I praktiken måste metriska $g$ för grenröret $M$ vara överensstämmande med det platta måttet ${\displaystyle \eta } ,$ dvs geodesiken bibehålls i alla punkter i $M$ vinklarna genom att flytta från den ena till den andra, samt att hålla nollgeodesiken oförändrad, det betyder att det finns en funktion $\lambda (x)$ så att ${\displaystyle g(x)=\lambda ^{2}(x)\,\eta } ,$ där $\lambda (x)$ är känd som den konforma faktorn och $x$ är en punkt på grenröret.

Mer formellt, låt $(M,g)$ vara ett pseudo-riemannskt mångfald. Då $(M,g)$ konformt platt om det för varje punkt $x$ i $M$ finns en grannskap $U$ av ${\ displaystyle x}$ och en jämn funktion $f$ definierad på $U$ så att $(U,e^{2f}g)$ är platt (dvs. krökning av $e^{2f}g$ försvinner på $U$ ). Funktionen $f$ behöver inte definieras på alla $M$ .

Vissa författare använder definitionen av lokalt konformt platt när det bara hänvisas till någon punkt $x$ på $M$ och reserverar definitionen av conformally flat för det fall där relationen är giltig för alla $x$ på $M$ .

Exempel

Varje grenrör med konstant tvärsnittskurvatur är konformt platt.
Varje 2-dimensionell pseudo-Riemann-grenrör är konformt platt.
- Linjeelementet för de tvådimensionella sfäriska koordinaterna, som det som används i det geografiska koordinatsystemet , d
$\displaystyle ds^{2}=d\theta ^{2 }+\sin ^{2}\theta \,d\phi ^{2}\,}$ , har metrisk tensor $g_{ik}={\begin{ bmatrix}1&0\\0&sin^{2}\theta \end{bmatrix}}$ och är inte platt men kan med den stereografiska projektionen mappas till ett platt utrymme med hjälp av den konforma faktorn $2 \over (1+r^{2})$ , där $r$ är avståndet från det platta utrymmets ursprung, vilket ger

$ds^{2}=d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \,d\phi ^{2}\ ,={\frac {4}{(1+r^{2})^{2}}}(dx^{2}+dy^{2})$ .
Ett 3-dimensionellt pseudo-Riemann-grenrör är konformt platt om och bara om bomullstensorn försvinner .
Ett n -dimensionellt pseudo-Riemann-grenrör för n ≥ 4 är konformt platt om och endast om Weyl-tensorn försvinner.
Varje kompakt , enkelt ansluten , konformt euklidiskt Riemann-grenrör är konformt likvärdigt med den runda sfären .

Den stereografiska projektionen tillhandahåller ett koordinatsystem för sfären där konform planhet är explicit, eftersom metriken är proportionell mot den platta.

I allmän relativitetsteori kan konformt platta grenrör ofta användas, till exempel för att beskriva Friedmann–Lemaître–Robertson–Walker-metriska . Men det visades också att det inte finns några konformt platta skivor av Kerr-rumtiden .

Till exempel har Kruskal-Szekeres-koordinaterna linjeelement