Beltrami vektor fält

I vektorkalkyl är ett Beltrami-vektorfält , uppkallat efter Eugenio Beltrami , ett vektorfält i tre dimensioner som är parallellt med sin egen krullning . Det vill säga, F är ett Beltrami-vektorfält förutsatt att

$$\mathbf {F} \times (\nabla \times \mathbf {F} )=0.$$

Således är $\mathbf {F}$ och $\nabla \times \mathbf {F}$ parallella vektorer med andra ord, $\nabla \times \mathbf {F} =\lambda \mathbf {F}$ .

Om $\mathbf {F}$ är solenoidal - det vill säga om $\nabla \cdot \mathbf {F} =0$ som för en inkompressibel vätska eller ett magnetfält, identiteten $\nabla \times (\nabla \times \mathbf {F} )\equiv -\nabla ^{2}\mathbf {F } +\nabla (\nabla \cdot \mathbf {F} )$ blir $\nabla \times (\nabla \times \mathbf {F} )\equiv - \nabla ^{2}\mathbf {F}$ och detta leder till

$$-\nabla ^{2}\mathbf {F} =\nabla \times (\lambda \mathbf {F} )$$

och om vi vidare antar att $\lambda$ är en konstant kommer vi fram till den enkla formen

$$\nabla ^{2}\mathbf {F} =-\lambda ^{2}\mathbf {F} .$$

Beltrami vektorfält med icke-noll krullning motsvarar euklidiska kontaktformulär i tre dimensioner.

Vektorfältet

$$\mathbf {F} =-{\frac {z}{\sqrt {1+z^{2}}}}\mathbf {i } +{\frac {1}{\sqrt {1+z^{2}}}}\mathbf {j}$$

  är en multipel av standardkontaktstrukturen − z i + j , och tillhandahåller ett exempel på ett Beltrami-vektorfält.

Se även

• Beltrami flöde
• Komplexa lamellära vektorfält
• Konservativa vektorfält

•   Aris, Rutherford (1989), Vectors, tensors, and the basic equations of fluid mechanics , Dover, ISBN 0-486-66110-5
•   Lakhtakia, Akhlesh (1994), Beltrami-fält i kirala medier , World Scientific, ISBN 981-02-1403-0
• Etnyre, J.; Ghrist, R. (2000), "Contact topology and hydrodynamics. I. Beltrami fields and the Seifert conjecture", Nonlinearity , 13 (2): 441–448, Bibcode : 2000Nonli..13..441E , doi : 10.9518/10.1088 -7715/13/2/306 .