Kombinatorisk geometri i planet

Kombinatorische Geometrie in der Ebene
Författare	Hugo Hadwiger , Hans Debrunner
Översättare	Victor Klee
Språk	tysk
Ämne	Diskret geometri
Utgivare	Universitetet i Genève
Publiceringsdatum	1960

Combinatorial Geometry in the Plane är en bok i diskret geometri . Den översattes från en tyskspråkig bok, Kombinatorische Geometrie in der Ebene , som dess författare Hugo Hadwiger och Hans Debrunner publicerade genom universitetet i Genève 1960, och utökade en undersökning från 1955 som Hadwiger hade publicerat i L'Enseignement mathématique . Victor Klee översatte den till engelska och lade till ett kapitel med nytt material. Den publicerades 1964 av Holt, Rinehart och Winston och återutgavs 1966 av Dover Publications. En ryskspråkig utgåva, Комбинаторная геометрия плоскости , översatt av IM Jaglom och inklusive en sammanfattning av det nya materialet av Klee, publicerades av Nauka 1965. The Basic Library List Committee of the Mathematical Association of America har rekommenderat att det inkluderas i matematik under graduate. bibliotek.

Ämnen

Den första halvan av boken ger uttalanden av nästan 100 propositioner i det euklidiska planets diskreta geometri , och den andra halvan skisserar deras bevis. Klees tillagda kapitel, som ligger mellan de två halvorna, ger ytterligare 10 förslag, inklusive några generaliseringar till högre dimensioner, och boken avslutas med en detaljerad bibliografi över dess ämnen.

Resultat i diskret geometri som täcks av denna bok inkluderar:

Carathéodorys sats att varje punkt i det konvexa skrovet i en plan uppsättning tillhör en triangel som bestäms av tre punkter i mängden, och Steinitz sats att varje punkt inuti det konvexa skrovet är inuti det konvexa skrovet av fyra punkter i mängden.
Erdős –Anning-satsen , att om en oändlig uppsättning punkter i planet har ett heltalsavstånd mellan varannan punkt, så måste alla de givna punkterna ligga på en enda linje.
Hellys teorem , att om en familj av kompakta konvexa mängder har en icke-tom skärningspunkt för varje trippel av mängder, så har hela familjen en icke-tom skärningspunkt.
En Helly-liknande egenskap för synlighet relaterad till konstgallerisatsen : om var tredje punkt i en polygon är synlig från någon gemensam punkt inom polygonen, så finns det en punkt från vilken hela polygonen är synlig. I detta fall måste polygonen vara en stjärnformad polygon .
Omöjligheten att täcka ett slutet parallellogram med tre översatta kopior av dess inre, och det faktum att varannan kompakt konvex uppsättning kan täckas på detta sätt.
Jungs sats , att (för mängder i planet $1/{\sqrt {3}}$ radien för den minsta omslutande cirkeln är högst gånger diametern Denna gräns är snäv för den liksidiga triangeln .
Paradoxer av uppsättningsupplösning till mindre uppsättningar, relaterade till Banach-Tarski-paradoxen .
Radons teorem att var fjärde punkt i planet kan delas upp i två delmängder med korsande konvexa skrov.
Sperners lemma om färgningar av triangulering.
Sylvester –Gallais sats , i form av att om en ändlig uppsättning punkter i planet har egenskapen att varje linje genom två av punkterna innehåller en tredje punkt från mängden, så måste de givna punkterna alla ligga på en enda linje.
Tarskis plankproblem , i form av att när två oändliga remsor tillsammans täcker en kompakt konvex uppsättning, är deras totala bredd minst lika stor som bredden på den smalaste remsan som täcker uppsättningen av sig själv.
Närhelst en linje täcks av två slutna delmängder, så har åtminstone en av de två delmängderna punkterpar på alla möjliga avstånd.

Den innehåller också några ämnen som hör till kombinatorik men som inte är geometriska i sig, inklusive:

Halls äktenskapsteorem som kännetecknar de tvådelade graferna som har en perfekt matchning .
Ramseys sats att om $k$ -tuplarna av punkter från en oändlig uppsättning punkter tilldelas ändligt många färger, så har en oändlig delmängd $k$ -tuplar av endast en färg.

Publik och mottagning

Boken är skriven på en nivå som är lämplig för studenter på grundnivå i matematik, och förutsätter en bakgrundskunskap i verklig analys och geometri på grundnivå. Ett mål med boken är att utsätta elever på denna nivå för problem på forskningsnivå i matematik vars påstående är lättillgängligt.