Tarskis plankproblem

Inom matematik är Tarskis plankproblem en fråga om täckning av konvexa regioner i n -dimensionell euklidisk rymd av "plankor": regioner mellan två hyperplan. Tarski frågade om summan av bredderna på plankorna måste vara åtminstone den minsta bredden på det konvexa området. Frågan besvarades jakande av Thøger Bang ( 1950 , 1951 ).

Påstående

Givet en konvex kropp C i R ⁿ och ett hyperplan H , är bredden på C parallell med H , w ( C , H ), avståndet mellan de två stödjande hyperplanen i C som är parallella med H . Det minsta avståndet (dvs. infimum över alla möjliga hyperplan) kallas den minimala bredden av C , w ( C ).

Den (slutna) uppsättningen av punkter P mellan två distinkta, parallella hyperplan i R ⁿ kallas en planka, och avståndet mellan de två hyperplanen kallas plankans bredd, w ( P ). Tarski antog att om en konvex kropp C med minimal bredd w ( C ) täcktes av en samling plankor, så måste summan av bredderna på dessa plankor vara åtminstone w ( C ). Det vill säga, om P ₁ ,..., P _m är plankor sådana att

$C\subseteq P_{1}\cup \ldots \cup P_{m}\subset \mathbb {R} ^{n},$

sedan

$\sum _{i=1}^{m}w(P_{i})\geq w(C).$

Bang bevisade att detta verkligen är fallet.

Nomenklatur

Namnet på problemet, specifikt för uppsättningarna av punkter mellan parallella hyperplan, kommer från visualiseringen av problemet i R ² . Här är hyperplan bara raka linjer och därför blir plankor utrymmet mellan två parallella linjer. Därmed kan plankorna ses som (oändligt långa) plankor av trä , och frågan blir hur många plankor man behöver för att helt täcka en konvex bordsskiva med minimal bredd w ? Bangs sats visar att till exempel ett cirkulärt bord med diametern d fot inte kan täckas av färre än d plankor av trä med bredd en fot vardera.

•   Bang, Thøger (1950), "Om täckning av parallella remsor.", Mat. Tidsskr. B .: 49–53, MR 0038085
•    Bang, Thøger (1951), "En lösning av "plankproblemet" " , Proc . Amer. Matematik. Soc. , 2 (6): 990–993, doi : 10.2307/2031721 , JSTOR 2031721 , MR 0046672