Kleetope

I geometri och polyedral kombinatorik är Kleetopen av en polyeder eller högre dimensionell konvex polytop $P$ en annan polyhedron eller polytop $P K$ som bildas genom att byta ut varje facett av P $med$ en grund pyramid . Kleetopes är uppkallade efter Victor Klee .

Exempel

Triakis -tetraedern är Kleetope av en tetrahedron , triakis-oktaedern är Kleetope av en oktaeder , och triakis-icosahedron är Kleetope av en icosahedron . I vart och ett av dessa fall bildas Kleetope genom att lägga till en triangulär pyramid på varje sida av den ursprungliga polyedern.

**Kleetoper av de platonska fasta kropparna**
triakis tetrahedron Kleetope av tetrahedron .	tetrakis hexahedron Kleetope av kub .	triakis octahedron Kleetope of octahedron .	pentakis dodecahedron Kleetope av dodecahedron .	triakis icosahedron Kleetope av icosahedron .

Tetrakis -hexaedern är kubens Kleetope , bildad genom att lägga till en fyrkantig pyramid till var och en av dess ytor, och pentakis-dodekaedern är Kleetope av dodekaedern , bildad genom att lägga till en femkantig pyramid till varje yta av dodekaedern.

**Några andra konvexa Kleetopes**
disdyakis dodecahedron Kleetope av rombisk dodecahedron .	disdyakis triacontahedron Kleetope av rombisk triacontahedron .	tripentakis icosidodecahedron Kleetope av icosidodecahedron .	Bipyramider , som denna femkantiga bipyramid , kan ses som Kleetope av deras respektive dihedra .

Baspolyedern på en Kleetope behöver inte vara ett platoniskt fast ämne . Till exempel disdyakis-dodekaedern Kleetope av den rombiska dodekaedern , bildad genom att ersätta varje rombyta på dodekaedern med en rombisk pyramid, och disdyakis-triacontahedronen är Kleetope av den rombiska triacontahedron . Faktum är att baspolyedern hos en Kleetope inte behöver vara Face-transitive , vilket kan ses från tripentakis icosidodecahedron ovan.

Goldner -Harary-grafen kan representeras som grafen över hörn och kanter på Kleetope av den triangulära bipyramiden .

**Vissa icke-konvexa Kleetopes, baserade på Kepler-Poinsot fasta ämnen**
liten stellapentakis dodecahedron Kleetope av liten stellapentakis dodecahedron .	stor stellapentakis dodecahedron Kleetope av stor stellapentakis dodecahedron .	stor pentakis dodecahedron Kleetope of great dodecahedron .	stor triakis icosahedron Kleetope of great icosahedron .

Definitioner

En metod för att bilda Kleetope av en polytop $P$ är att placera en ny vertex utanför $P$ , nära tyngdpunkten för varje facett. Om alla dessa nya hörn placeras tillräckligt nära de motsvarande tyngdpunkterna, så kommer de enda andra hörnen som är synliga för dem att vara hörn på de aspekter från vilka de definieras. är Kleetope av $P det$ konvexa skrovet av föreningen av hörn av $P$ och uppsättningen av nya hörn.

Alternativt kan Kleetope definieras av dualitet och dess dubbla funktion, trunkering : Kleetopen av $P$ är den dubbla polyedern av trunkeringen av dualen av $P$ .

Egenskaper och applikationer

Om $P har tillräckligt med hörn i förhållande till dess dimension,$ är Kleetope av $P$ dimensionellt entydig : grafen som bildas av dess kanter och hörn är inte grafen för en annan polyeder eller polytop med en annan dimension. Mer specifikt $, d2 /2$ om antalet hörn av en $d$ -dimensionell polytop $P$ är åtminstone , så är $P K$ dimensionellt entydigt.

Om varje $i$ -dimensionell yta av en $d$ -dimensionell polytop $P$ är en simplex , och om $i \leq d - 2$ , så är varje $(i + 1)$ -dimensionell yta av $P K$ också en simplex. I synnerhet är Kleetope av en tredimensionell polyeder en enkel polyeder , en polyeder där alla fasetter är trianglar.

Kleetopes kan användas för att generera polyedrar som inte har några Hamiltonska cykler : varje väg genom en av de hörn som läggs till i Kleetope-konstruktionen måste gå in och ut ur vertexen genom dess grannar i den ursprungliga polyedern, och om det finns fler nya hörn än ursprungliga hörn så finns det inte tillräckligt med grannar att gå runt. Speciellt har Goldner-Harary-grafen , Kleetope av den triangulära bipyramiden, sex hörn tillagda i Kleetope-konstruktionen och endast fem i bipyramiden från vilken den bildades, så den är icke-Hamiltonsk; det är den enklaste möjliga icke-hamiltonska enkelpolyedern. Om en polyeder med $n$ hörn bildas genom att upprepa Kleetope-konstruktionen ett antal gånger, utgående från en tetraeder, så har dess längsta väg längden $O(n log 32)$ ; det vill säga korthetsexponenten för dessa grafer är $log 32$ , ungefär 0,630930. Samma teknik visar att det i varje högre dimension $d$ finns enkla polytoper med korthetsexponent $log d 2$ . På liknande sätt Plummer (1992) Kleetope-konstruktionen för att tillhandahålla en oändlig familj av exempel på enkla polyedrar med ett jämnt antal hörn som inte har någon perfekt matchning .

Kleetoper har också några extrema egenskaper relaterade till deras vertexgrader : om varje kant i en plan graf faller in mot minst sju andra kanter, måste det finnas en vertex med högst fem grader, alla utom en vars grannar har grad 20 eller mer , och Kleetope of the Kleetope of the icosahedron ger ett exempel där höggradiga hörn har grad exakt 20.

Anteckningar

Jendro'l, Stanislav; Madaras, Tomáš (2005), "Anmärkning om en existens av hörn i små grader med högst en granne i stor grad i plana grafer", Tatra Mountains Mathematical Publications , 30 : 149–153, MR 2190255 .
Goldner, A.; Harary, F. (1975), "Anmärkning om en minsta icke-hamiltoniska maximala plana graf", Bull. Malaysisk matematik. Soc. , 6 (1): 41–42 . Se även samma tidskrift 6 (2):33 (1975) och 8 :104-106 (1977). Referens från lista över Hararys publikationer .
Grünbaum, Branko (1963), "Unambiguous polyhedral graphs", Israel Journal of Mathematics , 1 (4): 235–238, doi : 10.1007/BF02759726 , MR 0185506 , S2CID 14207 .
Grünbaum, Branko (1967), Convex Polytopes , Wiley Interscience .
Moon, JW; Moser, L. (1963), "Simple paths on polyhedra" , Pacific Journal of Mathematics , 13 (2): 629–631, doi : 10.2140/pjm.1963.13.629 , MR 0154276 .
Plummer, Michael D. (1992), "Extending matchings in planar graphs IV", Discrete Mathematics , 109 (1–3): 207–219, doi : 10.1016/0012-365X(92)90292-N , MR 1192384 .