Katers pendel

Katers originalpendel, som visar användning, från Katers papper från 1818. Pendelns period tidsbestämdes genom att jämföra dess sving med pendeln i precisionsklockan bakom den. Siktet (vänster) användes för att undvika parallaxfel .

En Katers pendel är en vändbar fritt svängande pendel som uppfanns av den brittiske fysikern och armékaptenen Henry Kater 1817 för användning som ett gravimeterinstrument för att mäta den lokala tyngdaccelerationen . Dess fördel är att, till skillnad från tidigare pendelgravimetrar, inte pendelns tyngdpunkt och svängningscentrum behöver bestämmas, vilket möjliggör en större noggrannhet. I ungefär ett sekel, fram till 1930-talet, förblev Katers pendel och dess olika förfinningar standardmetoden för att mäta styrkan hos jordens gravitation under geodetiska undersökningar. Den används nu endast för att demonstrera pendelprinciper.

Beskrivning

En pendel kan användas för att mäta tyngdaccelerationen g eftersom dess svängningsperiod T endast beror på g och dess längd L för smala svängningar :

$T=2\pi {\sqrt {\frac {L}{g}}}\qquad \qquad \qquad (1)\,$

Så genom att mäta längden L och perioden T för en pendel kan g beräknas.

Katers pendel består av en styv metallstång med två svängpunkter, en nära varje ände av stången. Den kan hängas upp från antingen pivot och svängas. Den har också antingen en justerbar vikt som kan flyttas upp och ner i stången, eller en justerbar pivot för att justera svängperioderna. Vid användning svängs den från en pivot, och perioden tidsinställd, och vänds sedan upp och ner och svängs från den andra pivoten, och perioden tidsinställd. Den rörliga vikten (eller pivoten) justeras tills de två perioderna är lika. Vid denna punkt är perioden T lika med perioden för en 'ideal' enkel pendel med längd lika med avståndet mellan tapparna. Från perioden och det uppmätta avståndet L mellan pivoterna kan tyngdaccelerationen beräknas med stor precision från ekvationen (1) ovan.

Accelerationen på grund av gravitationen av Katers pendel ges av,

$g={\frac {8\pi ^{2}}{{\ dfrac {T_{1}^{2}+T_{2}^{2}}{l_{1}+l_{2}}}+{\dfrac {T_{1}^{2}-T_{2} ^{2}}{l_{1}-l_{2}}}}}$

där T1 och T2 är tidsperioderna för svängningar när den är upphängd från K1 respektive K2 och l1 och l2 är avstånden för kniveggarna K1 respektive K2 från tyngdpunkten.

Historia

Tyngdkraftsmätning med pendlar

En Katers pendel och stativ

Den första personen som upptäckte att gravitationen varierade över jordens yta var den franske vetenskapsmannen Jean Richer , som 1671 skickades på en expedition till Cayenne , Franska Guyana , av den franska Académie des Sciences , som fick uppgiften att göra mätningar med en pendelklocka . Genom de observationer han gjorde året därpå fastställde Richer att klockan var 2½ minut per dag långsammare än i Paris, eller motsvarande längden på en pendel med en svängning på en sekund var det 1¼ Paris-linjer eller 2,6 mm kortare än i Paris. Det insågs av dåtidens vetenskapsmän, och bevisades av Isaac Newton 1687, att detta berodde på det faktum att jorden inte var en perfekt sfär utan något oblate ; det var tjockare vid ekvatorn på grund av jordens rotation. Eftersom ytan var längre från jordens centrum vid Cayenne än i Paris, var gravitationen svagare där. Efter att upptäckten gjordes började frisvingande pendlar användas som precisionsgravimetrar, som togs på resor till olika delar av världen för att mäta den lokala gravitationsaccelerationen. Ansamlingen av geografisk gravitationsdata resulterade i fler och mer exakta modeller av jordens övergripande form.

Pendlar användes så allmänt för att mäta tyngdkraften att på Katers tid uttrycktes den lokala tyngdkraften vanligtvis inte av värdet på accelerationen g som nu används, utan av längden vid den platsen för sekundpendeln , en pendel med en punkt på två sekunder, så varje sväng tar en sekund. Det kan ses från ekvation (1) att för en sekunders pendel är längden helt enkelt proportionell mot g :

$g=\pi ^{2}L\,$

Felaktiga gravimeterpendlar

På Katers tid kunde perioden T för pendlar mätas mycket exakt genom att tajma dem med precisionsklockor som ställdes av stjärnors passage ovanför. Före Katers upptäckt begränsades noggrannheten av g- mätningar av svårigheten att mäta den andra faktorn L , pendelns längd, exakt. L i ekvation (1) ovan var längden på en idealisk matematisk 'enkel pendel' bestående av en punktmassa som svänger på änden av en masslös lina. Men "längden" på en riktig pendel, en svängande stel kropp, känd inom mekaniken som en sammansatt pendel , är svårare att definiera. År 1673 visade den holländska forskaren Christiaan Huygens i sin matematiska analys av pendlar, Horologium Oscillatorium , att en riktig pendel hade samma period som en enkel pendel med en längd lika med avståndet mellan vridpunkten och en punkt som kallas svängningscentrum , vilket ligger under pendelns tyngdpunkt och beror på massfördelningen längs pendelns längd. Problemet var att det inte fanns något sätt att exakt hitta platsen för svängningscentrum i en riktig pendel. Det skulle teoretiskt kunna beräknas utifrån pendelns form om metalldelarna hade enhetlig densitet, men den tidens metallurgiska kvalitet och matematiska förmågor tillät inte beräkningen att göras korrekt.

För att komma runt detta problem, uppskattade de flesta tidiga gravitationsforskare, såsom Jean Picard (1669), Charles Marie de la Condamine (1735) och Jean-Charles de Borda (1792) en enkel pendel genom att använda en metallsfär upphängd i ett ljus tråd. Om tråden hade försumbar massa var svängningscentrum nära sfärens tyngdpunkt. Men till och med att hitta sfärens tyngdpunkt exakt var svårt. Dessutom var denna typ av pendel i sig inte särskilt exakt. Sfären och tråden svängde inte fram och tillbaka som en stel enhet, eftersom sfären fick en liten vinkelrörelse under varje svängning. Även vajern sträckte sig elastiskt under pendelns svängning, och ändrade L något under cykeln.

Katers lösning

Men i Horologium Oscillatorium hade Huygens också bevisat att svängningspunkten och svängningscentrum var utbytbara. Det vill säga, om någon pendel hängs upp och ner från dess svängningscentrum har den samma svängningsperiod, och det nya svängningscentrumet är den gamla svängningspunkten. Avståndet mellan dessa två konjugerade punkter var lika med längden på en enkel pendel med samma period.

Som en del av en kommitté som utsågs av Royal Society 1816 för att reformera brittiska åtgärder, hade Kater kontrakterats av House of Commons för att exakt bestämma längden på sekundpendeln i London. Han insåg att Huygens princip kunde användas för att hitta svängningscentrum, och så längden L , av en stel (sammansatt) pendel. Om en pendel hängdes upp och ner från en andra svängpunkt som kunde justeras upp och ner på pendelns stång, och den andra tappen justerades tills pendeln hade samma period som den gjorde när den svängde höger sida upp från den första svängen, den andra pivoten skulle vara i svängningscentrum och avståndet mellan de två pivotpunkterna skulle vara L .

Kater var inte den första som fick den här idén. Den franske matematikern Gaspard de Prony föreslog först en reversibel pendel 1800, men hans arbete publicerades inte förrän 1889. År 1811 upptäckte Friedrich Bohnenberger den igen, men Kater uppfann den självständigt och var den första som satte den i praktiken.

Ritning av Katers pendel (a) motstående kniveggsvängningar från vilka pendeln är upphängd (b) finjusteringsvikt flyttad med justerskruv ( c) grovjusteringsvikt fastklämd på stången med ställskruv (d) bob (e) pekare för avläsning

Pendeln

Kater byggde en pendel som bestod av en mässingsstav ungefär 2 meter lång, 1½ tum bred och en åttondels tum tjock, med en vikt ( d) i ena änden. För en pivot med låg friktion använde han ett par korta triangulära "kniv"-blad fästa vid stången. Vid användning hängdes pendeln från en konsol på väggen, stödd av kanterna på knivbladen vilande på platta agatplattor. Pendeln hade två av dessa knivbladsvängningar (a) , vända mot varandra, ungefär en meter (40 tum) från varandra, så att ett sväng av pendeln tog ungefär en sekund när den hängdes från varje pivå.

Kater fann att att göra en av pivoterna justerbar orsakade felaktigheter, vilket gjorde det svårt att hålla axeln för båda pivoterna exakt parallella. Istället fäste han permanent knivbladen på stången och justerade pendelns perioder med en liten rörlig vikt ( b,c) på pendelskaftet. Eftersom gravitationen endast varierar med maximalt 0,5 % över jorden, och på de flesta platser mycket mindre än så, behövde vikten bara justeras något. Att flytta vikten mot en av pivoterna minskade perioden när den hängdes från den pivoten och ökade perioden när den hängdes från den andra pivoten. Detta hade också fördelen att precisionsmätningen av avståndet mellan tapparna bara behövde göras en gång.

experimentell procedur

För att använda hängdes pendeln från ett fäste på en vägg, med knivbladsvängarna stödda på två små horisontella agatplattor, framför en precisionspendelklocka för att tajma perioden. Den svängdes först från en pivot, och svängningarna togs i tid, vändes sedan upp och ner och svängdes från den andra pivoten, och svängningarna togs i tid igen. Den lilla vikten (b) justerades med justerskruven, och processen upprepades tills pendeln hade samma period när den svängdes från varje tapp. Genom att sätta den uppmätta perioden T , och det uppmätta avståndet mellan svängbladen L , i periodekvationen (1), kunde g beräknas mycket noggrant.

Kater utförde 12 försök. Han mätte perioden för sin pendel mycket noggrant med hjälp av klockpendeln med metoden för tillfälligheter ; tajma intervallet mellan sammanträffandena när de två pendeln svängde synkront. Han mätte avståndet mellan pivotbladen med en mikroskopkomparator, med en noggrannhet på 10 ⁻⁴ tum (2,5 μm). Som med andra tyngdkraftsmätningar på pendeln var han tvungen att göra små korrigeringar på resultatet för ett antal variabla faktorer:

• pendelns ändliga bredd, vilket ökade perioden
• temperatur, vilket gjorde att stavens längd varierade på grund av termisk expansion
• atmosfärstryck, vilket minskade pendelns effektiva massa genom flytkraften hos den undanträngda luften, vilket ökade perioden
• höjd, vilket minskade gravitationskraften med avståndet från jordens centrum. Tyngdkraftsmätningar refereras alltid till havsnivån .

Han gav sitt resultat som längden på sekundpendeln . Efter korrigeringar fann han att medellängden på solsekunderspendeln i London, vid havsnivå, vid 62 °F (17 °C), svängande i vakuum, var 39,1386 tum. Detta motsvarar en gravitationsacceleration på 9,81158 m/s ² . Den största variationen av hans resultat från medelvärdet var 0,00028 tum (7,1 μm). Detta representerade en tyngdkraftsprecision på 0,7×10 ⁻⁵ (7 milligal) .

År 1824 gjorde det brittiska parlamentet Katers mätning av sekundpendeln till den officiella backup-längden för att definiera gården om gårdsprototypen förstördes.

Använda sig av

Gravimeter med variant av Repsold pendel

Den stora ökningen av gravitationsmätningsnoggrannheten som möjliggjordes av Katers pendel etablerade gravimetri som en vanlig del av geodesin . För att vara användbar var det nödvändigt att hitta den exakta platsen (latitud och longitud) för "stationen" där en gravitationsmätning gjordes, så pendelmätningar blev en del av mätning . Katers pendlar togs på de stora historiska geodetiska undersökningarna av stora delar av världen som gjordes under 1800-talet. I synnerhet användes Katers pendlar i Great Trigonometric Survey of India.

Vändbara pendlar förblev standardmetoden som användes för absoluta gravitationsmätningar tills de ersattes av gravimetrar för fritt fall på 1950-talet.

Återsåld–Bessel pendel

Återsåld pendel.

Att upprepade gånger tajma varje period av en Kater-pendel och justera vikterna tills de var lika, var tidskrävande och felbenägen. Friedrich Bessel visade 1826 att detta var onödigt. Så länge som perioderna mätt från varje pivot, T ₁ och T ₂ , är nära i värde, kan perioden T för den ekvivalenta enkla pendeln beräknas från dem:

$T^{2}={\frac {T_{ 1}^{2}+T_{2}^{2}}{2}}+{\frac {T_{1}^{2}-T_{2}^{2}}{2}}\left( {\frac {h_{1}+h_{2}}{h_{1}-h_{2}}}\right)\,\qquad \qquad \qquad (2)$

Här är $h_{1}\,$ och $h_{2}\,$ avstånden mellan de två pivoterna från pendelns tyngdpunkt. Avståndet mellan pivoterna, ${\displaystyle h_{1}+h_{2}\,} ,$ kan mätas med stor noggrannhet. $h_{1}\,$ och $h_{2}\,$ , och därmed deras skillnad $h_{1}-h_{2}\,$ , kan inte mätas med jämförbar noggrannhet. De hittas genom att balansera pendeln på en knivsegg för att hitta dess tyngdpunkt och mäta avstånden mellan var och en av pivoterna från tyngdpunkten. Men eftersom $T_{1}^{2}-T_{2}^{2}\,$ är så mycket mindre än ${\displaystyle T_{ 1}^{2}+T_{2}^{2}\,} ,$ den andra termen till höger i ekvationen ovan är liten jämfört med den första, så $h_{1}- h_{2}\,$ behöver inte bestämmas med hög noggrannhet, och balanseringsproceduren som beskrivs ovan är tillräcklig för att ge korrekta resultat.

Pendeln behöver därför inte alls vara justerbar, det kan helt enkelt vara en stav med två pivoter. Så länge som varje pivot är nära svängningscentrum , så att de två perioderna är nära, kan perioden T för den ekvivalenta enkla pendeln beräknas med ekvation (2), och tyngdkraften kan beräknas från T och L med (1).

Dessutom visade Bessel att om pendeln var gjord med en symmetrisk form, men internt viktad i ena änden, skulle felet som orsakats av effekter av luftmotstånd upphävas. Ett annat fel orsakat av den ändliga diametern hos svängknivskanterna kan också fås att upphäva genom att byta ut kniveggarna.

Bessel konstruerade inte en sådan pendel, men 1864 utvecklade Adolf Repsold, under kontrakt med den schweiziska geodetiska kommissionen, en symmetrisk pendel 56 cm lång med utbytbara svängbara blad, med en period på cirka ¾ sekund. Repsold-pendeln användes flitigt av de schweiziska och ryska geodetiska byråerna och i Survey of India . Andra mycket använda pendlar av denna design gjordes av Charles Peirce och C. Defforges.

International Association of Geodesy

1875 års konferens för den europeiska bågmätningen behandlade det bästa instrumentet som skulle användas för att bestämma gravitationen. Föreningen beslutade sig för reversionspendeln och man beslöt att göra om i Berlin, i stationen där Friedrich Wilhelm Bessel gjorde sina berömda mätningar, bestämning av gravitationen med hjälp av anordningar av olika slag som används i olika länder, för att jämföra dem och därmed att ha ekvationen för deras skalor, efter en djupgående diskussion där en amerikansk forskare, Charles Sanders Peirce, deltog. Eftersom jordens figur kunde utläsas från variationer av sekunders pendellängd , instruerade United States Coast Survey ledning Charles Sanders Peirce våren 1875 att fortsätta till Europa i syfte att göra pendelexperiment till de främsta startstationerna för operationer av detta slag för att föra tyngdkrafternas bestämningar i Amerika i kommunikation med andra delar av världen; och även i syfte att göra en noggrann studie av metoderna för att bedriva denna forskning i de olika länderna i Europa.

Bestämningen av gravitationen med den reversibla pendeln var föremål för två typer av fel. Å ena sidan luftmotståndet och å andra sidan de rörelser som pendelns svängningar gav till dess upphängningsplan. Dessa rörelser var särskilt viktiga med den apparat som konstruerades av bröderna Repsold på Bessels indikationer, eftersom pendeln hade en stor massa för att motverka effekten av luftens viskositet. Medan Emile Plantamour utförde en serie experiment med denna enhet, hittade Adolph Hirsch ett sätt att demonstrera rörelserna i pendelns upphängningsplan genom en genialisk process av optisk förstärkning. Isaac-Charles Élisée Cellérier, en matematiker från Genève och Charles Sanders Peirce skulle självständigt utveckla en korrigeringsformel som gjorde det möjligt att använda observationer som gjordes med denna typ av gravimeter.

Ordförande för den ständiga kommissionen för den europeiska bågmätningen från 1874 till 1886, Carlos Ibáñez Ibáñez de Ibero blev den första presidenten för International Geodetic Association (1887–1891) efter Johann Jacob Baeyers död . Under Ibáñez ordförandeskap fick International Geodetic Association en global dimension med anslutningen av USA , Mexiko , Chile , Argentina och Japan . Som ett resultat av International Geodetic Associations arbete, 1901, fann Friedrich Robert Helmert , främst genom gravimetri, parametrar för ellipsoiden anmärkningsvärt nära verkligheten.

externa länkar

• Den exakta mätningen av g med Katers pendel, U. av Sheffield Har härledning av ekvationer
• Kater, Henry (juni 1818) En redogörelse för experimenten för att bestämma längden på pendelns vibrerande sekunder på Londons latitud, The Edinburgh Review, Vol. 30, s.407 Har en detaljerad redogörelse för experimentet, beskrivning av pendeln, värdet fastställt, franska forskares intresse