Kategoriskt förslag

I logiken är en kategorisk proposition , eller kategorisk påstående , en proposition som hävdar eller förnekar att alla eller några av medlemmarna i en kategori (subjekttermen) ingår i en annan (predikattermen ) . Studiet av argument med hjälp av kategoriska uttalanden (dvs. syllogismer ) utgör en viktig gren av deduktiva resonemang som började med de gamla grekerna .

De antika grekerna som Aristoteles identifierade fyra primära distinkta typer av kategoriska propositioner och gav dem standardformer (nu ofta kallade A , E , I och O ). Om, abstrakt, ämneskategorin heter S och predikatkategorin heter P , är de fyra standardformerna:

Alla S är P . ( En form, $\forall {x}[S_{x}\högerpil P_{x}]\equiv \forall {x [\neg S_{x}\eller P_{x}]$ )
Inga S är P. _ ( E form, $\forall {x}[S_{x}\högerpil \neg P_{x}]\equiv \forall {x}[\neg S_{x}\lor \neg P_{x}]$ )
Vissa S är P . ( Jag bildar, $\exists {x}[S_{x}\land P_{x}]$ )
Vissa S är inte P . ( O- form, $\exists {x}[S_{x}\land \neg P_{x}]$ )

Överraskande nog kan ett stort antal meningar översättas till en av dessa kanoniska former samtidigt som hela eller det mesta av meningens ursprungliga betydelse bibehålls. Grekiska undersökningar resulterade i den så kallade oppositionens kvadrat , som kodifierar de logiska relationerna mellan de olika formerna; till exempel att ett A -påstående är motsägelsefullt till ett O -påstående; det vill säga, till exempel, om man tror "Alla äpplen är röda frukter", kan man inte samtidigt tro att "Vissa äpplen är inte röda frukter." Således kan relationerna mellan kvadraten av opposition tillåta omedelbar slutledning , varvid sanningen eller falskheten i en av formerna kan följa direkt från sanningen eller falskheten i ett påstående i en annan form.

George Booles arbete från mitten av 1800-talet ) kräver att man överväger om ämneskategorin kan vara tom. Om så är fallet kallas detta för den hypotetiska synen , i motsats till den existentiella synpunkten som kräver att ämneskategorin har minst en medlem. Den existentiella synen är en starkare hållning än den hypotetiska och, när det är lämpligt att inta, tillåter det att man kan härleda fler resultat än man annars skulle kunna göra. Den hypotetiska synpunkten, som är den svagare uppfattningen, har effekten att ta bort några av de relationer som finns i det traditionella torget av opposition.

Argument som består av tre kategoriska propositioner - två som premisser och en som slutsats - är kända som kategoriska syllogismer och var av största vikt från antikens grekiska logikers tid till medeltiden. Även om formella argument som använder kategoriska syllogismer till stor del har gett vika för den ökade uttryckskraften hos moderna logiksystem som predikatkalkylen av första ordningen, behåller de fortfarande praktiskt värde förutom sin historiska och pedagogiska betydelse.

Översätta uttalanden till standardformulär

Meningar på naturligt språk kan översättas till standardformer. I varje rad i följande diagram motsvarar S ämnet i exempelmeningen och P motsvarar predikatet .

namn	Engelsk mening	Standardformulär
A	Alla katter har fyra ben.	Allt S är P.
E	Inga katter har åtta ben.	Nej S är P.
jag	Vissa katter är orange.	Något S är P.
O	Vissa katter är inte svarta.	Vissa S är inte P.

Observera att "Alla S är inte P " (t.ex. "Alla katter har inte åtta ben") inte klassificeras som ett exempel på standardformulären. Detta beror på att översättningen till naturligt språk är tvetydig. I vanligt tal kan meningen "Alla katter har inte åtta ben" användas informellt för att ange antingen (1) "Åtminstone några, och kanske alla, katter har inte åtta ben" eller (2) "Inga katter har åtta ben" ben".

Egenskaper för kategoriska propositioner

Kategoriska propositioner kan kategoriseras i fyra typer på basis av deras "kvalitet" och "kvantitet", eller deras "fördelning av termer". Dessa fyra typer har länge fått namnet A , E , I och O. Detta är baserat på latinets E aff i rmo (jag bekräftar), med hänvisning till de jakande påståendena A och I , och n e g o (jag förnekar), med hänvisning till de negativa påståendena och O .

Kvantitet och kvalitet

Kvantitet hänvisar till antalet medlemmar i ämnesklassen (En klass är en samling eller grupp av saker som betecknas med en term som antingen är subjekt eller predikat i en kategorisk proposition.) som används i propositionen. Om propositionen hänvisar till alla medlemmar i ämnesklassen är den universell . Om förslaget inte sysselsätter alla medlemmar i ämnesklassen är det särskilt . Till exempel är en I -proposition ("några S är P ") speciell eftersom den bara hänvisar till några av medlemmarna i ämnesklassen.

Kvalitet Det beskrivs som huruvida propositionen bekräftar eller förnekar inkluderingen av ett ämne inom predikatets klass. De två möjliga egenskaperna kallas jakande och negativa . Till exempel är en A -proposition ("Allt S är P ") jakande eftersom den anger att subjektet ingår i predikatet. Å andra sidan är en O -proposition ("Vissa S är inte P ") negativ eftersom den utesluter subjektet från predikatet.

De fyra aristoteliska satserna
namn	Påstående	Kvantitet	Kvalitet
A	Allt S är P.	universell	korrekt
E	Nej S är P.	universell	negativ
jag	Något S är P.	särskild	korrekt
O	Vissa S är inte P.	särskild	negativ

En viktig faktor är definitionen av ordet några . I logiken vissa till "en eller flera", vilket stämmer överens med "alla". Därför garanterar inte påståendet "Några S är P" att påståendet "Vissa S är inte P" också är sant.

Distributivitet

De två termerna (subjekt och predikat) i en kategorisk proposition kan var och en klassificeras som distribuerade eller ofördelade . Om alla medlemmar i termens klass påverkas av propositionen delas den klassen ut ; annars är den odistribuerad . Varje proposition har därför en av fyra möjliga termfördelningar .

Var och en av de fyra kanoniska formerna kommer att undersökas i tur och ordning vad gäller dess fördelning av termer. Även om de inte utvecklats här, Venn-diagram ibland till hjälp när man försöker förstå fördelningen av termer för de fyra formerna.

En form

En A -sats fördelar subjektet till predikatet, men inte det omvända. Tänk på följande kategoriska proposition: "Alla hundar är däggdjur". Alla hundar är verkligen däggdjur, men det skulle vara falskt att säga att alla däggdjur är hundar. Eftersom alla hundar ingår i klassen däggdjur sägs "hundar" fördelas till "däggdjur". Eftersom alla däggdjur inte nödvändigtvis är hundar, är "däggdjur" ofördelat till "hundar".

E form

En E -proposition fördelar dubbelriktat mellan subjekt och predikat. Från den kategoriska propositionen "Inga skalbaggar är däggdjur" kan vi dra slutsatsen att inga däggdjur är skalbaggar. Eftersom alla skalbaggar definieras som att inte vara däggdjur, och alla däggdjur definieras som att inte vara skalbaggar, är båda klasserna fördelade.

Den tomma uppsättningen är ett särskilt fall av ämnes- och predikatsklassfördelning.

jag bildar

Båda termerna i en I -proposition är ofördelade. Till exempel "Vissa amerikaner är konservativa". Ingen av termerna kan helt fördelas till den andra. Från denna proposition är det inte möjligt att säga att alla amerikaner är konservativa eller att alla konservativa är amerikaner. Notera tvetydigheten i uttalandet: Det kan antingen betyda att "Vissa amerikaner (eller andra) är konservativa" ( de dicto ), eller så kan det betyda att "Vissa amerikaner (i synnerhet Albert och Bob) är konservativa" ( de re ) .

O form

I en O -sats är endast predikatet fördelat. Tänk på följande: "Vissa politiker är inte korrupta". Eftersom inte alla politiker definieras av denna regel, är ämnet ofördelat. Predikatet delas dock ut eftersom alla medlemmar av "korrupta människor" inte kommer att matcha den grupp människor som definieras som "vissa politiker". Eftersom regeln gäller för varje medlem av den korrupta folkgruppen, nämligen "Alla korrupta människor är inte några politiker", delas predikatet ut.

Fördelningen av predikatet i en O -sats är ofta förvirrande på grund av dess tvetydighet. När ett uttalande som "Vissa politiker är inte korrupta" sägs fördela gruppen "korrupta människor" till "vissa politiker", verkar informationen vara av ringa värde, eftersom gruppen "vissa politiker" inte är definierad; Detta är den de dicto- tolkningen av intensionalsatsen ( ${\displaystyle \Box \exists {x}[Pl_{x}\land \neg C_{x}]} )$ , eller "Vissa politiker (eller andra) är inte korrupta". Men om, som ett exempel, denna grupp av "några politiker" definierades till att innehålla en enda person , Albert, blir förhållandet tydligare; Detta är re- tolkningen av intensionalsatsen ( ${\displaystyle \exists {x}\Box [Pl_{x}\land \neg C_{x}]} )$ , eller "Vissa politiker (i synnerhet) är inte korrupta". Uttalandet skulle då innebära att av varje post som listas i gruppen korrupta personer, kommer inte en av dem att vara Albert: "Alla korrupta människor är inte Albert". Detta är en definition som gäller för varje medlem av gruppen "korrupta människor", och är därför distribuerad.

Sammanfattning

Kort sagt, för att ämnet ska distribueras måste påståendet vara universellt (t.ex. "alla", "nej"). För att predikatet ska distribueras måste påståendet vara negativt (t.ex. "nej", "inte").

namn	Påstående	Distribution
namn	Påstående	Ämne	Predikat
A	Allt S är P.	distribuerad	ofördelat
E	Nej S är P.	distribuerad	distribuerad
jag	Vissa S är P.	ofördelat	ofördelat
O	Vissa S är inte P.	ofördelat	distribuerad

Kritik

Peter Geach och andra har kritiserat användningen av distribution för att fastställa giltigheten av ett argument.

Det har föreslagits att uttalanden av formen "Vissa A är inte B" skulle vara mindre problematiska om de anges som "Inte varje A är B", vilket kanske är en närmare översättning till Aristoteles ursprungliga form för denna typ av uttalande.

Operationer på kategoriska påståenden

Det finns flera operationer (t.ex. konvertering, obversion och kontraposition) som kan utföras på ett kategoriskt uttalande för att ändra det till ett annat. Det nya uttalandet kan eller kanske inte är likvärdigt med originalet. [I följande tabeller som illustrerar sådana operationer, på varje rad, är rutor gröna om satser i en grön ruta är likvärdiga med satser i en annan grön ruta, rutor är röda om satser i en röd ruta är likvärdiga med satser i en annan röd ruta. Påståenden i en gul ruta betyder att dessa är underförstådda eller giltiga av påståendet i rutan längst till vänster när villkoret i samma gula ruta är uppfyllt.]

Vissa operationer kräver begreppet klasskomplement . Detta hänvisar till varje element som övervägs som inte är ett element i klassen. Klasskomplement påminner mycket om uppsättningskomplement . Klasskomplementet för en mängd P kommer att kallas "icke-P".

Omvandling

Den enklaste operationen är konvertering där subjekt- och predikattermer byts om. Observera att detta inte är samma sak som den implikationskonversa i den moderna logiken där en materiell implikationssats P $\displaystyle P\rightarrow Q}$ konverteras (konverteras) till en annan materiell implikationssats $Q\rightarrow P$ . Båda omvandlingarna är endast likvärdiga för kategoriska påståenden av A-typ.

namn	Påstående	Converse/Overted Converse	Subaltern / Obverted Subaltern / Giltighetsvillkor	Converse per accidens / Obverted Converse per accidens / Giltighetsvillkor
A	Allt S är P.	Allt P är S. Nej P är icke-S.	Vissa S är P. Vissa S är inte icke-P. ( om S finns )	Vissa P är S. Vissa P är inte icke-S. ( om S finns )
E	Nej S är P.	Inget P är S. Allt P är icke-S.	Vissa S är inte P. Vissa S är icke-P. ( om S finns )	Vissa P är inte S. Vissa P är icke-S. ( om P finns )
jag	Något S är P.	Vissa P är S. Vissa P är inte icke-S.	—
O	Vissa S är inte P.	Vissa P är inte S. Vissa P är icke-S.	—

Från ett påstående i E- eller I -form är det giltigt att sluta dess motsats (eftersom de är likvärdiga). Detta är inte fallet för A- och O -formerna.

Obversion

Obversion ändrar kvaliteten (det vill säga bekräftelsen eller negativiteten) på uttalandet och predikattermen. Till exempel, genom obversion, blir ett universellt jakande uttalande ett universellt negativt uttalande med predikattermen som är klasskomplementet till predikattermen i det ursprungliga universella jakande uttalandet. I de moderna formerna av de fyra kategoriska påståendena tolkas negationen av påståendet som motsvarar en predikatterm P, $\neg Px$ , som en predikatterm 'icke-P' i varje kategoriskt påstående i obversion . Likheten $Px=\neg (\neg Px)$ kan användas för att förhindra jakande kategoriska påståenden.

namn	Påstående	Åtsidan (obverterad)
A	Allt S är P.	Nej S är icke-P.
E	Nej S är P.	Allt S är icke-P.
jag	Något S är P.	Vissa S är inte icke-P.
O	Vissa S är inte P.	Vissa S är icke-P.

Kategoriska uttalanden är logiskt likvärdiga med deras framsida. Som sådant skulle ett Venn-diagram som illustrerar någon av formerna vara identiskt med Venn-diagrammet som illustrerar dess framsida.

Kontraposition

Kontraposition är processen av samtidig utbyte och negation av ämnet och predikatet till ett kategoriskt uttalande. Det motsvarar också att konvertera (tillämpa konvertering) det obverta (resultatet av obversion) av ett kategoriskt uttalande. Observera att denna kontraposition i den traditionella logiken inte är samma som kontraposition (även kallad transposition) i den moderna logiken som säger att materiella implikationssatser P $\displaystyle P\rightarrow Q}$ och $\neg Q \rightarrow \neg P$ är logiskt likvärdiga. Båda motsatserna är likvärdiga endast för kategoriska påståenden av A-typ.

namn	Påstående	Kontrapositiv/Overted Contrapositive	Kontrapositiv per olycka / Obverted Kontrapositiv per olycka / Giltighetsvillkor
A	Allt S är P.	Alla icke-P är icke-S. Ingen icke-P är S.	Vissa icke-P är icke-S. Vissa icke-P är inte S. ( om icke-P finns )
E	Nej S är P.	Inget icke-P är icke-S. Alla icke-P är S.	Vissa icke-P är inte icke-S. Vissa icke-P är S. ( om S finns )
jag	Något S är P.	Vissa icke-P är icke-S. Vissa icke-P är inte S.	—
O	Vissa S är inte P.	Vissa icke-P är inte icke-S. Vissa icke-P är S.	—

Se även

Anteckningar

Copi, Irving M. ; Cohen, Carl (2009). Introduktion till logik . Prentice Hall. ISBN 978-0-13-136419-6 .
Damer, T. Edward (2008). Att attackera felaktigt resonemang . Cengage Learning. ISBN 978-0-495-09506-4 .
Geach, Peter (1980). Logik spelar roll . University of California Press. ISBN 978-0-520-03847-9 .
Baum, Robert (1989). Logik . Holt, Rinehart och Winston, Inc. ISBN 0-03-014078-1 .

externa länkar