Kardioid

En kardioid

Det frätande ämnet som uppträder på ytan av denna kopp kaffe är en kardioid.

Inom geometri är en kardioid (från grekiska καρδιά (kardiá) 'hjärta') en plan kurva som spåras av en punkt på omkretsen av en cirkel som rullar runt en fast cirkel med samma radie. Det kan också definieras som en epicykloid med en enda cusp . Det är också en typ av sinusformad spiral och en omvänd kurva av parabeln med fokus som centrum för inversion. En kardioid kan också definieras som uppsättningen av reflektionspunkter av en fast punkt på en cirkel genom alla tangenter till cirkeln.

Kardioid genererad av en rullande cirkel på en cirkel med samma radie

Namnet myntades av Giovanni Salvemini 1741 men kardioiden hade varit föremål för studier årtionden tidigare. Uppkallad efter sin hjärtliknande form, är den mer formad som konturerna av tvärsnittet av ett runt äpple utan stjälk.

En kardioidmikrofon uppvisar ett akustiskt upptagningsmönster som, när det ritas i två dimensioner, liknar en kardioid (vilket 2D-plan som helst som innehåller den 3D-räta linjen på mikrofonkroppen). I tre dimensioner är kardioiden formad som ett äpple centrerat runt mikrofonen som är äpplets "stjälk".

Ekvationer

Generering av en kardioid och det koordinatsystem som används

Låt $a$ vara den gemensamma radien för de två genererande cirklarna med mittpunkter ${\displaystyle (-a,0),(a,0)} ,$ φ $\displaystyle \ varphi }$ rullningsvinkeln och origo startpunkten (se bild). Man får

• parametrisk representation :
  $${\ aligned}x(\varphi )&=2a(1-\cos \varphi )\cdot \cos \varphi \ ,\\y(\varphi )&=2a(1-\cos \varphi )\cdot \sin \varphi \ ,\qquad 0\leq \varphi <2\pi \end{aligned}}}$$
  och härav representationen i
• polära koordinater :
  $$r(\varphi )=2a(1-\cos \varphi ).$$
• Vi introducerar substitutionerna $\cos \varphi =x/r$ och ${\textstyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2} }}}$ får man efter att ha tagit bort kvadratroten den implicita representationen i kartesiska koordinater :
  $$\left(x^{2}+y^{2}\right)^{ 2}+4ax\left(x^{2}+y^{2}\right)-4a^{2}y^{2}=0.$$

Bevis för den parametriska representationen

Ett bevis kan upprättas med hjälp av komplexa tal och deras gemensamma beskrivning som det komplexa planet . Den rullande rörelsen av den svarta cirkeln på den blå kan delas upp i två rotationer. I det komplexa planet kan en rotation runt punkten $0$ (origo) med en vinkel $\varphi$ utföras genom att multiplicera en punkt $z$ (komplext tal) med ${\ displaystyle e^{i\varphi }}$ . Därav

rotationen $\Phi _{+}$ runt punkt $a$ är $:z\mapsto a+(za)e^{ i\varphi }$ ,

rotationen $\Phi _{-}$ runt punkten $-a$ är: $z\ mapsto -a+(z+a)e^{i\varphi }$ .

En punkt $p(\varphi )$ för kardioiden genereras genom att rotera origo runt punkt $a$ och därefter rotera runt $-a$ med samma vinkel ${ \displaystyle \varphi }$ :

$$p(\varphi )=\Phi _{-}(\Phi _{+}(0))=\Phi _{-}\left(a-ae^{i\varphi}\right)=- a+\left(a-ae^{i\varphi}+a\right)e^{i\varphi}=a\;\left(-e^{i2\varphi}+2e^{i\varphi}-1 \höger).$$

Härifrån får man den parametriska representationen ovan:

$${\begin{array}{cclcccc}x(\varphi )&=&a\;(-\cos(2\varphi )+2\cos \varphi -1)&=&2a(1-\cos \varphi )\cdot \cos \varphi &&\\y(\varphi )&=&a\;(-\sin(2\varphi )+2\sin \varphi )&=&2a(1-\cos \varphi )\cdot \ sin \varphi &.&\end{array}}$$

(De trigonometriska identiteterna $e^{i\varphi }=\cos \varphi +i \sin \varphi ,\ (\cos \varphi )^{2}+(\sin \varphi )^{2}=1,$$\cos(2\varphi )=(\cos \varphi )^{2}-(\sin \varphi )^{2},$ och $\sin(2\varphi )=2\sin \varphi \cos \varphi$ användes.)

Metriska egenskaper

För kardioiden enligt definitionen ovan gäller följande formler:

• area $A=6\pi a^{2}$ ,
• båglängd $L=16a$ och
• krökningsradie $\rho (\varphi )={\tfrac {8}{3}}a\sin {\tfrac {\varphi }{2}}\,.$

Bevisen för dessa uttalanden använder i båda fallen den polära representationen av kardioiden. För lämpliga formler se polärt koordinatsystem (båglängd) och polärt koordinatsystem (area)

Bevis på areaformeln

$$A=2\cdot {\tfrac {1}{2}}\int _{0}^{\pi }{(r(\varphi ))^{2}}\;d\varphi =\int _{0}^{\pi }{4a^{2}(1-\cos \varphi )^{2}}\;d\varphi =\cdots =4a^{2}\cdot {\tfrac {3} {2}}\pi =6\pi a^{2}.$$

Bevis på båglängdsformeln

$$L=2\int _{0}^{\pi }{\sqrt {r(\varphi )^{2}+(r'(\varphi ))^{2}}}\;d\varphi =\cdots =8a\int _{0}^{\pi }{\sqrt {{\tfrac {1}{2}}(1-\cos \varphi )}}\;d\varphi =8a\int _ {0}^{\pi }\sin \left({\tfrac {\varphi }{2}}\right)d\varphi =16a.$$

Bevis för krökningsradien

Krökningsradien $\rho$ för en kurva i polära koordinater med ekvation $r=r(\varphi )$ är (s. curvature )

$$\rho (\varphi )={\frac {\left[r(\varphi )^{2}+{\dot {r}}(\varphi )^{2}\right]^{3/2 }}{r(\varphi )^{2}+2{\dot {r}}(\varphi )^{2}-r(\varphi ){\ddot {r}}(\varphi )}}\ .$$

För kardioiden $r(\varphi )=2a(1-\cos \varphi )=4a\sin ^ {2}\left({\tfrac {\varphi }{2}}\right)$ man får

$$\rho (\varphi )=\cdots ={\frac {\left[16a^{2}\sin ^{2}{\frac {\varphi }{2}}\right]^{\frac { 3}{2}}}{24a^{2}\sin ^{2}{\frac {\varphi }{2}}}}={\frac {8}{3}}a\sin {\frac { \varphi }{2}}\ .$$

Egenskaper

Ackord av en cardioid

Ackord genom cuspen

C1

Ackord genom kardioidens spets har samma längd $4a$ .

C2

Mittpunkterna för ackorden genom cuspen ligger på omkretsen av den fasta generatorcirkeln (se bild) .

Bevis på C1

Punkterna $P:p(\varphi ),\;Q:p(\varphi +\pi )$ är på ett ackord genom cusp (= ursprung). Därav

$${\begin{aligned}|PQ|&=r(\varphi )+r(\varphi +\pi )\\&=2a(1-\cos \varphi )+2a(1-\cos(\ varphi +\pi ))=\cdots =4a\end{aligned}}.$$

Bevis för C2

För beviset används representationen i det komplexa planet (se ovan). För poängen

$$P:\ p(\varphi )=a\,\left(-e^{i2\varphi }+2e ^{i\varphi }-1\right)$$

och

$${ \displaystyle Q:\ p(\varphi +\pi )=a\,\left(-e^{i2(\varphi +\pi )}+2e^{i(\varphi +\pi )}-1\right )=a\,\left(-e^{i2\varphi}-2e^{i\varphi}-1\right),}$$

mittpunkten för ackordet $PQ$ är

$$M:\ {\tfrac {1}{2}}(p(\varphi ) +p(\varphi +\pi ))=\cdots =-a-ae^{i2\varphi }$$

som ligger på cirkelns omkrets med mittpunkt $-a$ och radie $a$ (se bild).

Kardioid som invers kurva för en parabel

Kardioid genererad av inversionen av en parabel över enhetscirkeln (streckad)

Huvudartikel: inversiv geometri

En kardioid är den omvända kurvan av en parabel med dess fokus i centrum av inversionen (se diagram)

För exemplet som visas i grafen har generatorcirklarna radien ${\textstyle a={\frac {1}{2}}}$ . Därför har kardioiden den polära representationen

$$r(\varphi )=1-\cos \varphi$$

och dess omvända kurva

$$r(\varphi )={\frac {1}{1-\cos \varphi }},$$

som är en parabel (s. parabel i polära koordinater ) med ekvationen ${\textstyle x={\tfrac {1}{2}}\left(y^{2}-1 \right)}$ i kartesiska koordinater.

Anmärkning: Inte varje omvänd kurva av en parabel är en kardioid. Till exempel, om en parabel är inverterad över en cirkel vars centrum ligger vid spets , då är resultatet en cissoid av Diocles .

Cardioid som kuvert av en penna av cirklar

Cardioid som kuvert av en penna av cirklar

Om man i föregående avsnitt inverterar ytterligare parabelns tangenter får man en penna med cirklar genom inversionscentrum (ursprung). En detaljerad övervägande visar: Cirklarnas mittpunkter ligger på omkretsen av den fasta generatorcirkeln. (Generatorcirkeln är den omvända kurvan för parabelns riktlinje.)

Denna egenskap ger upphov till följande enkla metod för att rita en cardioid:

1. Välj en cirkel $c$ och en punkt $O$ på dess omkrets,
2. rita cirklar som innehåller $O$ med mitten på $c$ , och
3. rita kuvertet av dessa cirklar.

Korrektur med kuvertskick

Pennans kuvert av implicit givna kurvor

$$F(x,y,t)=0$$

med parametern $t$ av sådana punkter $(x,y)$ som är lösningar av det icke-linjära systemet

$$F(x,y,t)=0,\quad F_{t}(x,y,t)=0 ,$$

vilket är kuvertvillkoret . Observera att $F_{t}$ betyder den partiella derivatan för parametern $t$ .

Låt $c$ vara cirkeln med mittpunkt $(-1,0)$ och radie $1$ . Då $c$ parametrisk representation $(-1+\cos t,\sin t)$ . Pennan med cirklar med mittpunkter på $c$ som innehåller punkten $O=(0,0)$ kan representeras implicit av

$$F(x,y,t) =(x+1-\cos t)^{2}+(y-\sin t)^{2}-(2-2\cos t)=0,$$

vilket motsvarar

$$F(x,y,t)=x^{2}+y^{2}+2x\;(1-\cos t)-2y\;\sin t=0\;.$$

Det andra kuvertvillkoret är

$$F_{t}(x,y,t)=2x\;\sin t-2y\;\ cos t=0.$$

Man kontrollerar lätt att kardioidens punkter med den parametriska representationen

$$x(t)=2(1-\cos t)\ cos t,\quad y(t)=2(1-\cos t)\sin t$$

uppfylla det icke-linjära systemet ovan. Parametern $t$ är identisk med kardioidens vinkelparameter.

Cardioid som kuvert av en penna av linjer

Cardioid som kuvert av en penna av linjer

En liknande och enkel metod för att rita en cardioid använder en penna med linjer . Det beror på L. Cremona :

1. Rita en cirkel, dela dess omkrets i lika stora delar med $2N$ punkter (s. bild) och numrera dem i följd.
2. Rita ackorden: $(1,2),(2,4),\dots ,(n,2n),\dots ,(N,2N),(N+1,2),(N+2,4), \dots$ . (Det vill säga, den andra punkten flyttas med dubbel hastighet.)
3. Höljet av dessa ackord är en cardioid .

Cremonas generation av en cardioid

Bevis

Följande övervägande använder trigonometriska formler för $\cos \alpha +\cos \beta$ , $\sin \alpha +\sin \beta$ , $1+\cos 2\alpha$ , $\cos 2\alpha$ och $\sin 2\alpha$ . För att hålla beräkningarna enkla ges beviset för kardioiden med polär representation $r=2(1\mathbin {\color {red}+} \cos \varphi )$ ( § Kardioider i olika positioner ).

kardioidens tangent med polär representation ${\displaystyle r=2(1+\cos \varphi )$ }

Från den parametriska representationen

$${\begin{aligned}x(\varphi )&=2 (1+\cos \varphi )\cos \varphi ,\\y(\varphi )&=2(1+\cos \varphi )\sin \varphi \end{aligned}}$$

man får normalvektorn ${\vec {n}}=\left({\dot {y}},-{\dot {x}}\right) ^{\mathsf {T}}$ . Ekvationen för tangenten ${\dot {y}}(\varphi )\ cdot (xx(\varphi ))-{\dot {x}}(\varphi )\cdot (yy(\varphi ))=0$ är:

$$(\cos 2\varphi +\cos \varphi )\cdot x+(\sin 2\varphi +\sin \varphi )\cdot y=2(1+\cos \varphi )^{2}\,.$$

Med hjälp av trigonometriska formler och efterföljande division med ${\textstyle \cos {\frac {1}{2}}\varphi } ,$ kan tangentens ekvation skrivas om som:

$$\cos({\tfrac {3}{2}}\varphi )\cdot x+\sin \left({\tfrac {3}{2}}\varphi \right)\cdot y=4\left( \cos {\tfrac {1}{2}}\varphi \right)^{3}\quad 0<\varphi <2\pi ,\ \varphi \neq \pi .$$

cirkelns ackord med mittpunkt $(1,0)$ och radie $\displaystyle 3}$ {

För ekvationen för sekantlinjen som passerar de två punkterna ${\displaystyle (1+3\cos \theta ,3\sin \theta ),\ (1+3\cos {\color {röd}2}\theta ,3\sin {\color {röd}2}\theta ))} man får$ :

$$(\sin \theta -\sin 2\theta )x+(\cos 2\theta -\sin \theta )y=-2\cos \theta -\sin(2\theta )\,.$$

Med hjälp av trigonometriska formler och den efterföljande divisionen med ${\textstyle \sin {\frac {1}{2}}\theta }$ kan sekantlinjens ekvation skrivas om av:

$$\cos \left({\tfrac {3}{2}}\theta \right)\cdot x+\sin \left({\tfrac {3}{2}}\theta \right)\cdot y= 4\left(\cos {\tfrac {1}{2}}\theta \right)^{3}\quad 0<\theta <2\pi .$$

Slutsats

Trots de två vinklarna $\varphi ,\theta$ olika betydelser (s. bild) man får för $\varphi =\theta$ samma linje. Därför är varje sekantlinje i cirkeln, definierad ovan, också en tangent till kardioiden:

Kardioiden är höljet av ackorden i en cirkel.

Anmärkning: Beviset kan utföras med hjälp av kuvertvillkoren ( se föregående avsnitt) av en implicit penna av kurvor:

$$F(x,y,t)=\ cos \left({\tfrac {3}{2}}t\right)x+\sin \left({\tfrac {3}{2}}t\right)y-4\left(\cos {\tfrac { 1}{2}}t\right)^{3}=0$$

är pennan av sekantlinjer i en cirkel (s. ovan) och

$$F_{t}(x,y,t)=-{\tfrac {3}{2}}\sin \left({\tfrac {3}{2}}t\right)x+{\tfrac { 3}{2}}\cos \left({\tfrac {3}{2}}t\right)y+3\cos \left({\tfrac {1}{2}}t\right)\sin t =0\,.$$

För fast parameter t representerar båda ekvationerna linjer. Deras skärningspunkt är

$$x(t)=2(1+\cos t) \cos t,\quad y(t)=2(1+\cos t)\sin t,$$

$r=2(1+\cos t).$ en punkt på kardioiden med polära ekvationen

Kardioid som frätande : ljuskälla $Z$ , ljusstråle ${\vec {s}}$ , reflekterad stråle ${\vec {r}}$

Kardioid som frätande av en cirkel med ljuskälla (höger) på omkretsen

Kardioid som frätande av en cirkel

De överväganden som gjorts i föregående avsnitt ger ett bevis på att kaustiken i en cirkel med ljuskälla på cirkelns omkrets är en kardioid.

Om det i planet finns en ljuskälla i en punkt $Z$ på omkretsen av en cirkel som reflekterar vilken stråle som helst, då är de reflekterade strålarna inom cirkeln tangenter till en kardioid.

Bevis

Som i föregående avsnitt kan cirkeln ha mittpunkt $(1,0)$ och radie $3$ . Dess parametriska representation är

$$c(\varphi )=(1+3\cos \varphi ,3\sin \varphi )\ .$$

Tangenten i cirkelpunkten $C:\ k(\varphi )$ har normalvektor ${\vec {n}} _{t}=(\cos \varphi ,\sin \varphi )^{\mathsf {T}}$ . Därför har den reflekterade strålen normalvektorn ${\vec {n}}_{r}=\left(\cos {\color { röd}{\tfrac {3}{2}}}\varphi ,\sin {\color {röd}{\tfrac {3}{2}}}\varphi \right)^{\mathsf {T}}$ ( se graf) och innehåller punkt $C:\ (1+3\cos \varphi ,3\sin \varphi )$ . Den reflekterade strålen är en del av linjen med ekvationen (se föregående avsnitt)

$$\cos \left({\tfrac {3}{2}}\varphi \right )x+\sin \left({\tfrac {3}{2}}\varphi \right)y=4\left(\cos {\tfrac {1}{2}}\varphi \right)^{3}\ ,,$$

som är tangent till kardioiden med polära ekvationen

$$r=2(1+\cos \varphi )$$

från föregående avsnitt.

Anmärkning: För sådana överväganden försummas vanligtvis flera reflektioner vid cirkeln.

Kardioid som pedalkurva för en cirkel

Point of cardioid är foten av tappade vinkelrätt på tangenten av cirkeln

Cremona-generationen av en cardioid bör inte förväxlas med följande generation:

$k$ vara en cirkel och $O$ en punkt på omkretsen av denna cirkel. Följande är sant:

Foten av vinkelräta från punkt $O$ på tangenterna till cirkel $k$ är punkter på en kardioid.

Därför är en cardioid en speciell pedalkurva av en cirkel.

Bevis

I ett kartesiskt koordinatsystem kan cirkel ${\displaystyle k} ha mittpunkt$$(2a,0)$ och radie $2a$ . Tangenten vid cirkelpunkten $(2a+2a\cos \varphi ,2a\sin \varphi )$ har ekvationen

$$(x-2a)\cdot \cos \varphi +y\cdot \sin \varphi =2a\,.$$

Foten av vinkelrät från punkt $O$ på tangenten är punkt $(r\cos \varphi ,r\sin \varphi )$ med det fortfarande okända avstånd $r$ till origo $O$ . Att infoga punkten i tangentens ekvation ger

$$(r\cos \varphi -2a)\cos \varphi + r\sin ^{2}\varphi =2a\quad \rightarrow \quad r=2a(1+\cos \varphi )$$

vilket är den polära ekvationen för en kardioid.

Anmärkning: Om punkt $O$ inte är i omkretsen av cirkeln $k$ , får man en limaçon av Pascal .

Utvecklingen av en cardioid

 En kardioid

 Evolut av kardioiden

 En punkt P; dess krökningscentrum M; och dess oskulerande cirkel.

Utvecklingen av en kurva är platsen för krökningscentrum . I detalj: För en kurva ${\vec {x}}(s)={\vec {c}}(s)$ med krökningsradie $\rho (s)$ evolutionen har representationen

$${\vec {X}}(s)={\vec {c}}(s)+\rho (s){\vec {n}}(s).$$

med ${\vec {n}}(s)$ den lämpligt orienterade enheten normal.

För en cardioid får man:

Utvecklingen av en cardioid är en annan cardioid som är en tredjedel så stor (s. bild) .

Bevis

För kardioiden med parametrisk representation

$$x(\varphi )=2a(1-\cos \varphi )\cos \ varphi =4a\sin ^{2}{\tfrac {\varphi }{2}}\cos \varphi \,,$$

$$y(\varphi )=2a(1-\cos \varphi )\sin \varphi =4a\sin ^{2}{\tfrac {\varphi }{2}}\sin \varphi$$

enheten normal är

$${\vec {n}}(\varphi )=(-\sin {\tfrac {3}{2}}\ varphi ,\cos {\tfrac {3}{2}}\varphi )$$

och krökningsradien

$$\rho (\varphi )={\tfrac {8}{3}}a\sin {\tfrac {\varphi }{2}}\,.$$

Därför är de parametriska ekvationerna för evolutionen

$$_ displaystyle X(\varphi )=4a\sin ^{2}{\tfrac {\varphi }{2}}\cos \varphi -{\tfrac {8}{3}}a\sin {\tfrac {\varphi } {2}}\cdot \sin {\tfrac {3}{2}}\varphi =\cdots ={\tfrac {4}{3}}a\cos ^{2}{\tfrac {\varphi }{2 }}\cos \varphi -{\tfrac {4}{3}}a\,,}$$

$$Y(\varphi )=4a\sin ^{2}{\tfrac {\varphi }{2}}\sin \varphi +{\tfrac {8}{3}}a\sin {\tfrac {\ varphi }{2}}\cdot \cos {\tfrac {3}{2}}\varphi =\cdots ={\tfrac {4}{3}}a\cos ^{2}{\tfrac {\varphi } {2}}\sin \varphi \,.$$

Dessa ekvationer beskriver en kardioid som är en tredjedel så stor, roterad 180 grader och förskjuten längs x-axeln med − $\displaystyle -{\tfrac {4}{3}}a}$ .

$\sin {\tfrac {3}{2}}\varphi =\sin {\tfrac {\varphi }{2}}\cos \varphi +\cos {\tfrac {\varphi }{2}}\sin \varphi \ ,\ \cos {\tfrac {3}{2}}\varphi =\cdots ,\ \sin \varphi =2\sin {\tfrac {\varphi }{2}} \cos {\tfrac {\varphi }{2}},\ \cos \varphi =\cdots \ .$ användes )

Ortogonala banor

Ortogonala kardioider

En ortogonal bana för en penna av kurvor är en kurva som korsar varje kurva av pennan ortogonalt. För kardioider gäller följande:

De ortogonala banorna för pennan av kardioider med ekvationer

$$r=2a(1-\cos \varphi )\ ,\;a>0\ ,\$$

är kardioider med ekvationer

$$r=2b(1+\cos \varphi )\ ,\;b>0\ .$$

(Den andra pennan kan betraktas som reflektioner vid den förstas y-axel. Se diagrammet.)

Bevis

För en kurva som ges i polära koordinater av en funktion $r(\varphi )$ gäller följande koppling till kartesiska koordinater:

$${\begin{aligned}x(\varphi )&=r(\varphi )\cos \varphi \,,\\y(\varphi )&=r(\varphi )\sin \varphi \end{aligned}}$$

och för derivaten

$${\begin{aligned}{\frac {dx}{d\varphi }}&=r'(\varphi )\cos \varphi -r(\varphi )\sin \varphi \,,\\{\ frac {dy}{d\varphi }}&=r'(\varphi )\sin \varphi +r(\varphi )\cos \varphi \,.\end{aligned}}$$

Att dividera den andra ekvationen med den första ger den kartesiska lutningen för tangentlinjen till kurvan i punkten ( $\displaystyle (r(\varphi ),\varphi )}$ :

$${\frac {dy}{dx}}={\frac {r'(\varphi )\sin \varphi +r(\varphi )\cos \varphi }{r'(\varphi )\cos \varphi -r(\varphi )\sin \varphi }}.$$

För kardioider med ekvationerna $r=2a(1-\cos \varphi )\;$ och $r =2b(1+\cos \varphi )\$ respektive får:

$${\frac {dy_{a}}{dx}}={\frac {\cos(\varphi )-\cos(2\varphi )}{\sin(2\varphi )-\sin(\varphi )}}$$

och

$${\frac {dy_{b}}{dx}}=-{\frac {\cos(\varphi )+\cos(2\varphi )}{\sin(2\varphi)+\sin(\ varphi )}}\ .$$

(Lutningen för en kurva beror endast på $\varphi$ och inte på parametrarna $a$ eller $b$ !)

Därav

$$dy_{a}}{dx}}\cdot {\frac {dy_{b} }{dx}}=\cdots =-{\frac {\cos ^{2}\varphi -\cos ^{2}(2\varphi (}{\sin ^{2}(2\varphi)-\sin ^{2}\varphi }}=-{\frac {-1+\cos ^{2}\varphi +1-\cos ^{2}2\varphi }{\sin ^{2}(2\varphi) -\sin ^{2}(\varphi )}}=-1\,.}$$

Det betyder: Vilken kurva som helst av den första pennan korsar valfri kurva för den andra pennan ortogonalt.

4 kardioider i polär representation och deras position i koordinatsystemet

I olika positioner

Att välja andra positioner av kardioiden inom koordinatsystemet resulterar i olika ekvationer. Bilden visar de 4 vanligaste positionerna för en kardioid och deras polära ekvationer.

I komplex analys

Gränsen för den centrala, period 1, regionen av Mandelbrot-uppsättningen är en exakt cardioid.

I komplex analys är bilden av en cirkel genom origo under kartan $\displaystyle z\to z^{2}}$ { en kardioid. En tillämpning av detta resultat är att gränsen för den centrala period-1-komponenten i Mandelbrot-mängden är en kardioid som ges av ekvationen

$$c\,=\,{\frac {1-\left(e^{it}-1\right)^{2}}{4}}.$$

Mandelbrot-setet innehåller ett oändligt antal lätt förvrängda kopior av sig själv och den centrala glödlampan i någon av dessa mindre kopior är en ungefärlig kardioid.

Kardioid bildad av ljus på en urtavla.

Frätande

Vissa frätande ämnen kan ta formen av kardioider. Katakustiken i en cirkel med avseende på en punkt på omkretsen är en kardioid. Katakustiken hos en kon med avseende på strålar parallella med en genereringslinje är en yta vars tvärsnitt är en kardioid. Detta kan ses, som på fotografiet till höger, i en konisk kopp delvis fylld med vätska när ett ljus lyser på avstånd och i en vinkel som är lika med konens vinkel. Formen på kurvan i botten av en cylindrisk kopp är hälften av en nefroid , som ser ganska lika ut.

Generera en cardioid som pedalkurva för en cirkel

Se även

• Limaçon
• Nefroid
• Deltoid
• Wittgensteins spö
• Kardioid mikrofon
• Lemniscate of Bernoulli
• Slingantenn
• Radioriktningssökare
• Radioriktningssökning
• Yagi antenn
• Giovanni Salvemini

Anteckningar

• RC Yates (1952). "Kardioid". En handbok om kurvor och deras egenskaper . Ann Arbor, MI: JW Edwards. s. 4 ff.
•   Wells D (1991). Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry . New York: Penguin Books. s. 24–25 . ISBN 0-14-011813-6 .

externa länkar

• "Cardioid" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]
• O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F. , "Cardioid" , MacTutor History of Mathematics arkiv , University of St Andrews
• Hjärtligt mumsande på kardioider vid cut-the-knoten
• Weisstein, Eric W. "Cardioid" . MathWorld .
• Weisstein, Eric W. "Epicycloid--1-Cusped" . MathWorld .
• Weisstein, Eric W. "Heart Curve" . MathWorld .
• Xah Lee, Cardioid (1998) (Den här webbplatsen tillhandahåller ett antal alternativa konstruktioner) .
• Jan Wassenaar, Cardioid , (2005)