Kardinalkarakteristik för kontinuumet

Inom den matematiska disciplinen mängdteori är en kardinal egenskap hos kontinuumet ett oändligt kardinaltal som konsekvent kan ligga strikt mellan $\aleph _{0}$ (kardinaliteten hos mängden naturliga tal) och kardinaliteten av kontinuumet , det vill säga kardinaliteten av mängden $\mathbb {R}$ av alla reella tal . Den senare kardinal betecknas $2^{\aleph _{0}}$ eller ${\mathfrak {c}}$ . En mängd sådana kardinalegenskaper uppstår naturligt, och mycket arbete har gjorts för att fastställa vilka relationer mellan dem som är bevisbara, och konstruera modeller för mängdteori för olika konsekventa konfigurationer av dem.

Bakgrund

Cantors diagonala argument visar att ${\mathfrak {c}}$ är strikt större än ${\displaystyle \aleph _{0}} ,$ men det anger inte om det är den minsta kardinal större än $\aleph _{0}$ (det vill säga $\aleph _{1}$ ). Antagandet att ${\mathfrak {c}}=\aleph _{1}$ är faktiskt den välkända kontinuumhypotesen , som visades vara oberoende av ZFC -standardaxiomen för mängdteori av Paul Cohen . Om kontinuumhypotesen misslyckas och så ${\mathfrak {c}}$ är minst $\aleph _{2}$ , uppstår naturliga frågor om kardinalerna strikt mellan $\aleph _ {0}$ och ${\mathfrak {c}}$ , till exempel angående Lebesgues mätbarhet. Genom att betrakta den minsta kardinal med någon egenskap kan man få en definition för en oräknelig kardinal som konsekvent är mindre än ${\mathfrak {c}}$ . Generellt betraktar man bara definitioner för kardinaler som bevisligen är större än $\aleph _{0}$ och högst ${\mathfrak {c}}$ som kardinalkarakteristika för kontinuumet, så om kontinuumhypotesen håller de är alla lika med $\aleph _{1}$ .

Exempel

Som är standard i mängdlära betecknar vi med $\omega$ den minst oändliga ordinalen , som har kardinalitet $\aleph _{0}$ ; det kan identifieras med mängden av alla naturliga tal.

Ett antal kardinalegenskaper uppstår naturligtvis som kardinalinvarianter för ideal som är nära förknippade med realernas struktur, såsom idealet om Lebesgue nollmängder och idealet om magra uppsättningar .

icke(N)

Kardinalkarakteristiken non( ${\mathcal {N}}$ ) är den minsta kardinaliteten av en icke-mätbar mängd ; på motsvarande sätt är det den minsta kardinaliteten av en mängd som inte är en Lebesgue-nollmängd .

Begränsande nummer ${\mathfrak {b}}$ och dominerande nummer ${\mathfrak {d}}$

Vi betecknar med $\omega ^{\omega }$ uppsättningen funktioner från $\omega$ till $\omega$ . För två valfria funktioner $f:\omega \to \omega$ och $g:\omega \to \omega$ betecknar vi med $f \leq ^{*}g$ påståendet att för alla utom ändligt många $n\in \omega ,f(n)\leq g(n)$ . Det gränsande talet ${\mathfrak {b}}$ är den minsta kardinaliteten av en obegränsad mängd i denna relation, det vill säga ${\mathfrak {b}}=\min(\{|F|:F\subseteq \omega ^{\omega }\land \forall f:\omega \to \omega \exists g\in F(g \nleq ^{*}f)\}).$

Det dominerande talet ${\mathfrak {d}}$ är den minsta kardinaliteten av en uppsättning funktioner från $\omega$ till $\omega$ så att varje sådan funktion domineras av (det är, $\leq ^{*}$ ) en medlem av den mängden, det vill säga ${\mathfrak {d}}=\min(\{|F|:F\subseteq \omega ^{\omega }\land \forall f:\omega \to \omega \exists g\in F(f \leq ^{*}g)\}).$

Uppenbarligen är varje sådan dominerande mängd $F$ obegränsad, så ${\mathfrak {b}}$ är högst ${\mathfrak {d}}$ , och ett diagonaliseringsargument visar att ${\mathfrak {b}}>\aleph _{0}$ . Naturligtvis om ${\mathfrak {c}}=\aleph _{1}$ innebär detta att ${\mathfrak {b}}={\mathfrak {d }}=\aleph _{1}$ , men Hechler har visat att det också är konsekvent att ha ${\mathfrak {b}}$ strikt mindre än ${\mathfrak {d}}$ .

Dela nummer ${\mathfrak {s}}$ och skörda nummer ${\mathfrak {r}}$

Vi betecknar med $[\omega ]^{\omega }$ mängden av alla oändliga delmängder av $\omega$ . För alla $a,b\in [\omega ]^{\omega }$ säger vi att $a$ delar $b$ om både $b\cap a$ och $b\setminus a$ är oändliga. Uppdelningstalet ${\mathfrak {s}}$ är den minsta kardinaliteten av en delmängd $S$ av $[\omega ]^{\omega }$ så att för alla $b\in [\omega ]^{\omega }$ , det finns några $a\in S$ så att $a$ delar $b$ . Det vill ${\mathfrak {s}}=\min(\{|S|:S\subseteq [\omega ]^{\omega }\land \forall b\in [\omega ]^{\omega }\exists a\in S(|b\cap a|=\aleph _{0}\land |b\setminus a|=\aleph _{0})\}).$

Skördetalet ${\mathfrak {r}}}$ displaystyle är den minsta kardinaliteten av en delmängd $R$ av $[\omega ]^{\omega }$ så att inget element $a$ av $[\omega ]^{\omega }$ delar upp varje element i $R$ . Det vill ${\mathfrak {r}}=\min(\{|R|:R\subseteq [\omega ]^{\omega }\land \forall a\in [\omega ]^{\omega }\exists b\in R(|b\cap a|<\aleph _{0}\lor |b\setminus a|<\aleph _{0})\}).$

Ultrafilter nummer ${\mathfrak {u}}$

Ultrafiltertalet ${\mathfrak {u}}$ är definierat som den minsta kardinaliteten av en filterbas av ett icke-principiellt ultrafilter på $\omega$ . Kunen gav en modell för mängdteori där ${\mathfrak {u}}=\aleph _{1}$ men ${\mathfrak {c}}=\aleph _{\aleph _{1}}$ , och med hjälp av en räknebar stöditeration av Sacks-krafter , konstruerade Baumgartner och Laver en modell där ${\mathfrak {u}}=\aleph _{1}$ och ${\mathfrak {c}}=\aleph _{2}$ .

Nästan osammanhängande nummer ${\mathfrak {a}}$

Två delmängder $A$ och $B$ av $\omega$ sägs vara nästan disjunkta om $|A\cap B|$ är ändlig, och en familj av delmängder av $\omega$ sägs vara nästan disjunkta om dess medlemmar är parvis nästan disjunkta. En maximal nästan osammanhängande (galen) familj av delmängder av $\omega$ är alltså en nästan disjunkt familj ${\mathcal {A}}$ så att för varje delmängd $X$ av ${ \displaystyle \omega }$ inte i ${\mathcal {A}}$ , det finns en mängd $A\in {\mathcal {A}}$ så att $A$ och $X$ är inte nästan osammanhängande (det vill säga deras skärningspunkt är oändlig). Det nästan osammanhängande talet ${\mathfrak {a}}$ är den minsta kardinaliteten av en oändlig maximal nästan osammanhängande familj. Ett grundläggande resultat är att ${\mathfrak {b}}\leq {\mathfrak {a}}$ ; Shelah visade att det är konsekvent att ha den strikta ojämlikheten ${\mathfrak {b}}<{\mathfrak {a}}$ .

Cichońs diagram

Ett välkänt diagram över kardinalegenskaper är Cichońs diagram , som visar alla parvisa relationer som kan bevisas i ZFC mellan 10 kardinalkarakteristika.

Vidare läsning

• Tomek Bartoszyński och Haim Judah. Mängdteori om den verkliga linjens struktur . AK Peters, 1995.
•   Vaughan, Jerry E. (1990). "Kapitel 11: Små oräkneliga kardinaler och topologi" (PDF) . I van Mill, Jan; Reed, George M. (red.). Öppna problem i topologi . Amsterdam: North-Holland Publishing Company . s. 196–218 . ISBN 0-444-88768-7 . Hämtad 5 december 2011 .
•   Blass, Andreas (12 januari 2010). "Kapitel 6: Kontinuumets kombinatoriska kardinalegenskaper". I Foreman, Matthew ; Kanamori, Akihiro (red.). Handbok för mängdlära (PDF) . Vol. 1. Springer . s. 395–490. ISBN 978-1-4020-4843-2 . Hämtad 5 december 2011 .
•   Bartoszyński, Tomek (12 januari 2010). "Kapitel 7: Invarianter av mått och kategori". I Foreman, Matthew; Kanamori, Akihiro (red.). Handbok i mängdlära . Vol. 1. Springer. s. 491–556. arXiv : math.LO/9910015 . ISBN 978-1-4020-4843-2 .
•    Jech, Thomas (2003). Mängdlära . Springer Monographs in Mathematics (Third Millennium ed.). Berlin, New York: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-44085-7 . Zbl 1007.03002 .
•   Halbeisen, Lorenz J. (2012). Kombinatorisk uppsättningsteori: Med en mild introduktion till forcering . Springer Monographs in Mathematics. Springer Monographs in Mathematics. London: Springer-Verlag . doi : 10.1007/978-1-4471-2173-2 . ISBN 978-1-4471-2172-5 .