Karakteristisk lägesanalys

Karakteristiska lägen (CM) bildar en uppsättning funktioner som, under specifika gränsförhållanden, diagonaliserar operatörsrelaterade fält och inducerade källor . Under vissa förhållanden är uppsättningen av CM unik och komplett (åtminstone teoretiskt) och kan därmed beskriva beteendet hos ett studerat objekt i sin helhet.

Den här artikeln behandlar karakteristisk sönderdelning inom elektromagnetik , en domän där CM-teorin ursprungligen har föreslagits.

Bakgrund

CM-nedbrytning introducerades ursprungligen som en uppsättning moder som diagonaliserar en spridningsmatris. Teorin har därefter generaliserats av Harrington och Mautz för antenner. Harrington, Mautz och deras elever utvecklade också successivt flera andra förlängningar av teorin. Även om vissa prekursorer publicerades i slutet av 1940-talet, har CMs fulla potential förblivit okända i ytterligare 40 år. CM:s kapacitet sågs över 2007 och sedan dess har intresset för CM ökat dramatiskt. Den efterföljande boomen av CM-teorin återspeglas av antalet framstående publikationer och ansökningar.

Definition

För enkelhetens skull kommer endast den ursprungliga formen av CM - formulerad för perfekt elektriskt ledande (PEC) kroppar i fritt utrymme - att behandlas i den här artikeln. De elektromagnetiska storheterna kommer enbart att representeras som Fouriers bilder i frekvensdomänen . Lorenz mätare används.

Exempel på en spridare $\Omega$ som består av en perfekt elektrisk ledare.

Spridningen av en elektromagnetisk våg på en PEC-kropp representeras via ett gränsvillkor på PEC-kroppen, nämligen

${\boldsymbol {\hat {n}}}\times {\boldsymbol {E}}^{\mathrm {i} }=-{\boldsymbol { \hat {n}}}\times {\boldsymbol {E}}^{\mathrm {s} },$

med ${\boldsymbol {\hat {n}}}$ representerar enhetlig normal till PEC-ytan, ${\boldsymbol {E}}^{\mathrm {i} }$ representerar infallande elektrisk fältintensitet, och ${\boldsymbol {E}}^{\mathrm {s} }$ representerar spridd elektrisk fältintensitet definierad som

${\boldsymbol {E}}^{\mathrm {s} }=-\mathrm {j} \omega {\boldsymbol {A}}-\nabla \varphi ,$

där $\mathrm {j}$ är imaginär enhet , $\omega$ är vinkelfrekvens , ${\boldsymbol {A}}$ är vektorpotential

${\boldsymbol {A}}\left({\boldsymbol {r}}\right)=\mu _ {0}\int \limits _{\Omega }{\boldsymbol {J}}\left({\boldsymbol {r}}'\right)G\left({\boldsymbol {r}},{\boldsymbol {r }}'\right)\,\mathrm {d} S,$

$\mu _{0}$ är vakuumpermeabilitet , $\varphi$ är skalär potential

$\varphi \left({\boldsymbol {r}}\right)=-{ \frac {1}{\mathrm {j} \omega \epsilon _{0}}}\int \limits _{\Omega }\nabla \cdot {\boldsymbol {J}}\left({\boldsymbol {r} }'\right)G\left({\boldsymbol {r}},{\boldsymbol {r}}'\right)\,\mathrm {d} S,$

$\epsilon _{0}$ är vakuumpermittivitet , $G\left({\boldsymbol {r}},{\boldsymbol {r}}'\right)$ är scalar Greens funktion

$G\left({\boldsymbol {r}},{\boldsymbol {r}}'\right)={\frac {\mathrm {e} ^{-\mathrm {j} k\left|{\ fetsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}'\right|}}{4\pi \left|{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}'\right|}}$

och $k$ är vågnummer . Integro-differentialoperatorn ${\boldsymbol {\hat {n}}}\times {\boldsymbol {E}}^{\mathrm {s} }\left({\boldsymbol {J}}\right)$ är den som ska diagonaliseras via karakteristiska lägen.

Den styrande ekvationen för CM-nedbrytningen är

${\mathcal {X}}\left({\boldsymbol {J}}_{n}\right)=\lambda _{n} {\mathcal {R}}\left({\boldsymbol {J}}_{n}\right)\qquad \mathrm {(1)}$

där ${\mathcal {R}}$ och ${\mathcal {X}}$ är reella och imaginära delar av impedansoperatorn, respektive: ${\displaystyle {\mathcal {Z}}(\cdot )={\mathcal {R}}(\cdot )+\mathrm {j} {\mathcal {X}}(\cdot )\,.} Operatören$ , ${\mathcal {Z}}$ definieras av

${\mathcal {Z}}\left({\boldsymbol {J}}\right)={\boldsymbol {\hat {n}}}\times {\boldsymbol {\hat {n}} }\times {\boldsymbol {E}}^{\mathrm {s} }\left({\boldsymbol {J}}\right).\qquad \mathrm {(2)}$

Resultatet av (1) är en uppsättning karakteristiska lägen $\left\{{\boldsymbol {J}}_{n}\right\}$ , ${ \displaystyle n\in \left\{1,2,\dots \right\}} ,$ tillsammans med tillhörande karakteristiska nummer $\left\{\lambda _{n}\right\}$ . Uppenbarligen är (1) ett generaliserat egenvärdeproblem , som dock inte kan lösas analytiskt (förutom några få kanoniska kroppar). Därför används vanligen den numeriska lösningen som beskrivs i följande stycke.

Matrisformulering

Diskretisering ${\mathcal {D}}$ av spridarens $\Omega$ till $M$ underdomäner som $\Omega ^{M }={\mathcal {D}}\left(\Omega \right)$ och använder en uppsättning linjärt oberoende bitvis kontinuerliga funktioner $\left\{{\boldsymbol {\psi}}_ {n}\right\}$ , $n\in \left\{1,\dots ,N\right\}$ , tillåter strömdensitet ${\boldsymbol {J}}$ att representeras som

Exempel på en scatterers triangulära (Delaunay) diskretisering $\Omega ^{M}$ .

${\boldsymbol {J}}\left({\boldsymbol {r}}\right)\approx \summa \limits _{n= 1}^{N}I_{n}{\boldsymbol {\psi}}_{n}\left({\boldsymbol {r}}\right)$

och genom att tillämpa Galerkin-metoden , impedansoperatorn (2)

$\mathbf {Z} =\mathbf {R} +\mathrm {j} \mathbf {X} =\left[Z_{uv}\right]=\left[\,\int \limits _{\Omega }{\boldsymbol {\psi }}_{u}^{\ast}\cdot {\mathcal {Z}}\left({\boldsymbol {\psi}}_{v}\right)\,\mathrm { d} S\höger].$

Egenvärdesproblemet (1) stöps sedan om till sin matrisform

$\mathbf {X} \mathbf {I} _{n}=\lambda _{n}\mathbf {R} \mathbf {I} _{n},$

som enkelt kan lösas med t.ex. den generaliserade Schur-nedbrytningen eller den implicit omstartade Arnoldi-metoden som ger en finit uppsättning expansionskoefficienter $\left\{\mathbf {I} _{n}\right\}$ och tillhörande karakteristiska tal $\left\{\lambda _{n}\right\}$ . Egenskaperna för CM-nedbrytningen undersöks nedan.

Det första (dominanta) karakteristiska läget för en form $\Omega ^{M}$ .

Det andra karakteristiska läget för en form $\Omega ^{M}$ .

Egenskaper

Egenskaperna för CM-nedbrytning visas i dess matrisform.

Kom först ihåg att de bilinjära formerna

$P_{\mathrm {r} }\approx {\frac {1}{2}}\mathbf {I} ^{\mathrm {H} }\mathbf {R } \mathbf {I} \geq 0$

och

$2\omega \left(W_{\mathrm {m} }-W_{\mathrm {e} }\right)\approx {\ frac {1}{2}}\mathbf {I} ^{\mathrm {H} }\mathbf {X} \mathbf {I} ,$

där upphöjd $^{\mathrm {H} }$ betecknar den hermitiska transponeringen och där $\mathbf {I}$ representerar en godtycklig ytströmfördelning, motsvarar den utstrålade effekten respektive den reaktiva nettoeffekten . Följande egenskaper kan sedan enkelt destilleras:

• Viktningsmatrisen $\mathbf {R}$ är teoretiskt positiv definitiv och $\mathbf {X}$ är obestämd. Rayleigh- kvotienten

$\lambda _{n}\approx {\frac {\mathbf {I} _{n}^{\mathrm {H} } \mathbf {X} \mathbf {I} _{n}}{\mathbf {I} _{n}^{\mathrm {H} }\mathbf {R} \mathbf {I} _{n}}}$

spänner sedan intervallet $-\infty \leq \lambda _{n}\leq \infty$ och indikerar om det karakteristiska läget är kapacitivt ( $\lambda _{ n}<0$ ), induktiv ( $\lambda _{n}>0$ ), eller i resonans ( $\lambda _{n}=0$ ). I verkligheten är Rayleigh-kvoten begränsad av den numeriska dynamiken hos den maskinprecision som används och antalet korrekt hittade lägen är begränsat.

• De karakteristiska talen utvecklas med frekvens, dvs ${\displaystyle \lambda _{n}=\lambda _{n}\left(\omega \right)} ,$ de kan korsa varandra, eller de kan vara desamma (i händelse av degenerationer). Av denna anledning används ofta spårning av lägen för att få jämna kurvor $\lambda _{n}\left(\omega \right)$ . Tyvärr är denna process delvis heuristisk och spårningsalgoritmerna är fortfarande långt ifrån perfektion.
• De karakteristiska lägena kan väljas som verkliga funktioner, $\mathbf {I} _{n}\in \mathbb {R} ^{N\times 1}$ . Med andra ord, karakteristiska lägen bildar en uppsättning ekvifasströmmar.
• CM-sönderdelningen är invariant med avseende på amplituden för de karakteristiska moderna. Detta faktum används för att normalisera strömmen så att de utstrålar enhetlig utstrålad effekt

${\frac {1}{2}}\mathbf {I} _{m}^{\mathrm {H} }\mathbf {Z} \mathbf {I} _{n}\approx \left(1 +\mathrm {j} \lambda _{n}\right)\delta _{mn}.$

Denna sista relation presenterar förmågan hos karakteristiska lägen att diagonalisera impedansoperatorn (2) och demonstrerar ortogonalitet i fjärrfältet , dvs.

${\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {\varepsilon _{0}}{\mu _{0}}}}\int \limits _{0}^{2\pi }\int \limits _{0}^{\pi }{\boldsymbol {F}}_{m}^{\ast }\cdot {\boldsymbol {F}}_{n}\sin \vartheta \,\ mathrm {d} \vartheta \,\mathrm {d} \varphi =\delta _{mn}.$

Modala mängder

Modalströmmarna kan användas för att utvärdera antennparametrar i deras modala form, till exempel:

• modal far-field ${\boldsymbol {F}}_{n}\left({\boldsymbol {\hat {e}}},{\boldsymbol {\hat {r }}}\right)$ ( ${\boldsymbol {\hat {e}}}$ — polarisation , ${\boldsymbol {\hat {r}}}$ — riktning),
• modal riktning ${\boldsymbol {D}}_{n}\left({\boldsymbol {\hat {e}}},{\boldsymbol {\hat {r}} }\right)$ ,
• modal strålningseffektivitet $\eta _{n}$ ,
• modal kvalitetsfaktor $Q_{n}$ ,
• modal impedans $Z_{n}$ .

Dessa kvantiteter kan användas för analys, matningssyntes, radiatorformoptimering eller antennkarakterisering.

Applikationer och vidareutveckling

Antalet potentiella applikationer är enormt och växer fortfarande:

• antennanalys och syntes,
• design av MIMO- antenner,
• kompakt antenndesign ( RFID , Wi-Fi ),
• UAV- antenner,
• selektiv excitering av chassi och plattformar,
• modellbeställningsminskning,
• bandbreddsförbättring,
• nanorör och metamaterial,
• validering av beräkningselektromagnetiska koder.

De blivande ämnena inkluderar

• elektriskt stora strukturer beräknade med MLFMA,
• dielektrikum,
• användning av kombinerad fältintegralekvation,
• periodiska strukturer,
• formulering för arrayer.

programvara

CM-nedbrytning har nyligen implementerats i stora elektromagnetiska simulatorer, nämligen i FEKO, CST-MWS och WIPL-D. Andra paket är på väg att stödja det snart, till exempel HFSS och CEM One. Dessutom finns det en uppsjö av interna och akademiska paket som kan utvärdera CM och många associerade parametrar.

Alternativa baser

CM är användbara för att bättre förstå radiatorns funktion. De har använts med stor framgång för många praktiska ändamål. Det är dock viktigt att betona att de inte är perfekta och att det ofta är bättre att använda andra formuleringar såsom energilägen, strålningslägen, lagrade energilägen eller strålningseffektivitetslägen.