Karaktär summa

I matematik är en teckensumma en summa ${\textstyle \sum \chi (n)}$ av värden på ett Dirichlet-tecken χ modulo N , taget över ett givet värdeintervall på n . Sådana summor är grundläggande i ett antal frågor, till exempel i fördelningen av kvadratiska rester , och i synnerhet i den klassiska frågan om att hitta en övre gräns för den minsta kvadratiska icke-rester modulo N . Teckensummor är ofta nära kopplade till exponentiella summor av Gausssummorna (detta är som en finit Mellin-transform) .

Antag att χ är ett icke-principiellt Dirichlet-tecken till modulen N .

Summor över intervall

Summan som tas över alla restklasser mod N är då noll. Detta innebär att fallen av intresse kommer att vara summor $\Sigma$ över relativt korta intervall, med längden R < N säg,

M\leq n<M+R.

En grundläggande förbättring av den triviala uppskattningen $\Sigma =O(N)$ är Pólya–Vinogradov-ojämlikheten , etablerad oberoende av George Pólya och IM Vinogradov 1918, med stor O-notation .

\Sigma =O({\sqrt {N}}\log N).

Om man antar den generaliserade Riemann - hypotesen har Hugh Montgomery och RC Vaughan visat att det finns en ytterligare förbättring

\Sigma =O({\sqrt {N}}\log \log N).

Summering av polynom

En annan betydande typ av teckensumma är den som bildas av

\sum \chi (F(n))

för någon funktion F , vanligtvis ett polynom . Ett klassiskt resultat är fallet med en kvadratisk, till exempel,

F(n)=n(n+1)

och χ en Legendre-symbol . Här kan summan utvärderas (som −1), ett resultat som är kopplat till den lokala zeta-funktionen för en konisk sektion .

Mer allmänt hänför sig sådana summor för Jacobi-symbolen till lokala zeta-funktioner av elliptiska kurvor och hyperelliptiska kurvor ; detta betyder att med hjälp av André Weils resultat, för N = p ett primtal , finns det icke-triviala gränser

O({\sqrt {p}}).

Den implicita konstanten i notationen är linjär i släktet för kurvan i fråga, och så (legendresymbol eller hyperelliptisk kasus) kan tas som graden av F . (Mer allmänna resultat, för andra värden på N , kan erhållas med början därifrån.)

Weils resultat ledde också till att Burgess bunden , ansökte om att ge icke-triviala resultat bortom Pólya–Vinogradov, för R en potens av N större än 1/4.

Antag att modulen N är ett primtal.

{\begin{aligned}\Sigma &\ll p^{1/2}\log p,\\[6pt]\Sigma &\ll 2R^{1/2}p^{3/ 16}\log p,\\[6pt]\Sigma &\ll rR^{1-1/r}p^{(r+1)/4r^{2}}(\log p)^{1/2r }\end{aligned}}

för vilket heltal som helst r ≥ 3.

Anteckningar

Pólya, George (1918). "Ueber die Verteilung der quadratischen Reste und Nichtreste". Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen : 21–29. JFM 46.0265.02 .
Vinogradov, Ivan Matveyevich (1918). "Sur la distribution des rester och nonresidus des puissances". J. Soc. Phys. Matematik. Univ. Permi : 18–28. JFM 48.1352.04 .
Burgess, DA (1957). "Fördelningen av kvadratiska rester och icke-rester". Mathematika . 4 (2): 106–112. doi : 10.1112/S0025579300001157 . Zbl 0081.27101 .
Montgomery, Hugh L. ; Vaughan, Robert C. (1977). "Exponentiella summor med multiplikativa koefficienter" (PDF) . Inventiones Mathematicae . 43 (1): 69–82. Bibcode : 1977InMat..43...69M . doi : 10.1007/BF01390204 . hdl : 2027.42/46603 . Zbl 0362.10036 .
Montgomery, Hugh L. ; Vaughan, Robert C. (2007). Multiplikativ talteori I. Klassisk teori . Cambridge traktater i avancerad matematik. Vol. 97. Cambridge University Press . s. 306–325. ISBN 978-0-521-84903-6 . Zbl 1142.11001 .

Vidare läsning

Korobov, NM (1992). Exponentiella summor och deras tillämpningar . Matematik och dess tillämpningar (Sovjetserien). Vol. 80. Översatt från ryska av Yu. N. Shakhov. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers. ISBN 0-7923-1647-9 . Zbl 0754.11022 .

externa länkar