Avbryter

Att avbryta är en matematisk process som används för att ta bort deluttryck från ett matematiskt uttryck , när denna borttagning inte ändrar betydelsen eller värdet av uttrycket eftersom deluttrycken har lika och motsatta effekter. Till exempel sätts ett bråk i lägsta termer genom att ta bort de gemensamma faktorerna för täljaren och nämnaren . Som ett annat exempel, om a × b = a × c , så kan multiplikationstermen a raderas om a ≠0, vilket resulterar i det ekvivalenta uttrycket b = c ; detta motsvarar att dividera med en .

Inställande

Om underuttrycken inte är identiska kan det fortfarande vara möjligt att ta bort dem delvis. Till exempel, i den enkla ekvationen 3 + 2 y = 8 y innehåller båda sidorna faktiskt 2 y (eftersom 8 y är detsamma som 2 y + 6 y ). Därför kan 2 y på båda sidor tas bort, vilket lämnar 3 = 6 y eller y = 0,5. Detta motsvarar att subtrahera 2 y från båda sidor.

Ibland kan ett avbrytande innebära begränsade ändringar eller extra lösningar på en ekvation . Till exempel, med tanke på olikheten ab ≥ 3 b , ser det ut som att b på båda sidor kan raderas för att ge a ≥ 3 som lösningen. Men att avbryta "naivt" så här kommer att innebära att vi inte får alla lösningar (uppsättningar av ( a, b ) som tillfredsställer ojämlikheten). Detta beror på att om b var ett negativt tal då skulle dividering med ett negativt ändra ≥-sambandet till ett ≤-samband. Till exempel, även om 2 är mer än 1, är –2 mindre än –1. Också om b var noll så är noll gånger någonting noll och att avbryta skulle innebära att dividera med noll i det fallet, vilket inte kan göras. Så i själva verket, även om avbrytandet fungerar, kommer det att avbryta korrekt leda oss till tre uppsättningar lösningar, inte bara en vi trodde att vi hade. Det kommer också att berätta för oss att vår "naiva" lösning bara är en lösning i vissa fall, inte alla fall:

Om b > 0: vi kan avbryta för att få en ≥ 3.
Om b < 0: så ger ett avbrytande a ≤ 3 istället, eftersom vi skulle behöva vända sambandet i detta fall.
Om b är exakt noll: då är ekvationen sann för alla värden på a , eftersom båda sidor skulle vara noll och 0 ≥ 0.

Så viss försiktighet kan behövas för att säkerställa att avbokningen görs korrekt och att inga lösningar förbises eller är felaktiga. Vår enkla ojämlikhet har tre uppsättningar lösningar, som är:

b > 0 och a ≥ 3. (Till exempel är b = 5 och a = 6 en lösning eftersom 6 x 5 är 30 och 3 x 5 är 15, och 30 ≥ 15) eller
b < 0 och a ≤ 3 (till exempel b = –5 och a = 2 är en lösning eftersom 2 x (–5) är –10 och 3 x (–5) är –15, och –10 ≥ –15) eller
b = 0 (och a kan vara vilket tal som helst) (eftersom vad som helst x noll ≥ 3 x noll)

Vår "naiva" lösning (att en ≥ 3) skulle också vara fel ibland. Till exempel, om b = –5 så är a = 4 inte en lösning även om 4 ≥ 3, eftersom 4 × (–5) är –20, och 3 x (–5) är –15, och –20 är inte ≥ –15.

I avancerad och abstrakt algebra och oändliga serier

I mer avancerad matematik kan utjämning användas i samband med oändliga serier , vars termer kan tas bort för att få en finit summa eller en konvergent serie . I det här fallet används ofta termen teleskopering . Betydande försiktighet och förebyggande av fel är ofta nödvändigt för att säkerställa att den ändrade ekvationen kommer att vara giltig, eller för att fastställa gränserna inom vilka den kommer att vara giltig, på grund av arten av sådana serier.

Relaterade begrepp och användning inom andra områden

Inom beräkningsvetenskap används ofta avbrytning för att förbättra noggrannheten och exekveringstiden för numeriska algoritmer .

Se även