Maximal funktion

Maximala funktioner förekommer i många former i harmonisk analys (ett område inom matematik ). En av de viktigaste av dessa är Hardy–Littlewoods maximala funktion . De spelar en viktig roll för att förstå till exempel funktioners differentieringsegenskaper, singularintegraler och partiella differentialekvationer. De ger ofta ett djupare och mer förenklat förhållningssätt till att förstå problem inom dessa områden än andra metoder.

Hardy–Littlewood maximal funktion

I sin originaltidning förklarade GH Hardy och JE Littlewood sin maximala ojämlikhet i språket för cricketgenomsnitt . Givet en funktion f definierad på R ⁿ definieras den ocentrerade Hardy–Littlewood maximala funktionen Mf för f som

(Mf)(x)=\sup _{B\ni x}{\frac {1}{|B|}}\int _{B}|f|

vid varje x i Rn ^. Här tas det högsta över bollarna B i R ⁿ som innehåller punkten x och | B | betecknar måttet på B (i detta fall en multipel av kulans radie upphöjd till potensen n ). Man kan också studera den centrerade maximala funktionen, där supremum tas strax över kulor B som har centrum x . I praktiken är det liten skillnad mellan de två.

Grundläggande egenskaper

Följande påståenden är centrala för användbarheten av Hardy–Littlewood-maximaloperatorn.

(a) För f ∈ L ^p ( R ⁿ ) (1 ≤ p ≤ ∞), är Mf ändlig nästan överallt.
(b) Om f ∈ L ¹ ( R ⁿ ), så finns det ett c så att för alla α > 0,

|\{x\ :\ (Mf)(x)>\alpha \}|\leq {\frac {c}{\alpha }}\int _{\mathbf {R} ^{n}}| f|.

(c) Om f ∈ L ^p ( R ⁿ ) (1 < p ≤ ∞), då Mf ∈ L ^p ( R ⁿ ) och

{\ displaystyle \|Mf\|_{L^{p}}\leq A\|f\|_{L^{p}},} där A

endast beror på p och c .

Egenskaper (b) kallas en gräns av svag typ av Mf . För en integrerbar funktion motsvarar den den elementära Markov-olikheten ; Mf är dock aldrig integrerbar, såvida inte f = 0 nästan överallt, så att beviset på den svaga gränsen (b) för Mf kräver ett mindre elementärt argument från geometrisk måttteorin, såsom Vitalis täckande lemma . Egenskapen (c) säger att operatorn M ^är begränsad till Lp ⁾ ( Rn ; det är helt klart sant när p = ∞, eftersom vi inte kan ta ett medelvärde av en begränsad funktion och få ett värde som är större än funktionens största värde. Egenskap (c) för alla andra värden på p kan sedan härledas från dessa två fakta genom ett interpolationsargument .

Det är värt att notera (c) gäller inte för p = 1. Detta kan enkelt bevisas genom att beräkna M χ, där χ är den karakteristiska funktionen för enhetsbollen centrerad vid origo.

Ansökningar

Hardy-Littlewood-maximaloperatorn förekommer på många ställen, men några av dess mest anmärkningsvärda användningsområden finns i bevisen för Lebesgues differentieringssats och Fatous sats och i teorin om singulära integraloperatorer .

Icke-tangentiella maximala funktioner

Den icke-tangentiala maximala funktionen tar en funktion F definierad på det övre halvplanet

\mathbf {R} _{+}^{n+1}:=\left\{(x,t )\ :\ x\in \mathbf {R} ^{n},t>0\right\}

och producerar en funktion F* definierad på Rn via ^uttrycket

F^{*}(x)=\sup _{|xy|<t}|F(y,t)|.

Observera att för ett fast x , mängden $\{(y,t)\ :\ |xy|<t\}$ är en kon i $\mathbf {R} _{+}^{n+1 }$ med vertex vid ( x ,0) och axel vinkelrät mot gränsen för R ⁿ . Sålunda tar den icke-tangentiala maximala operatorn helt enkelt det ^högsta av funktionen F över en kon med vertex vid gränsen för Rn .

Uppskattningar av identiteten

En särskilt viktig form av funktioner F där studiet av den icke-tangentiella maximala funktionen är viktig bildas från en approximation till identiteten . Det vill säga vi fixar en integrerbar jämn funktion Φ på R ⁿ så att

\int _{\mathbf {R} ^{n}}\Phi =1

och ställ in

\Phi _{t}(x)=t^{-n}\Phi ({\tfrac {x}{t}})

för t > 0. Definiera sedan

F(x,t)=f\ast \Phi _{t}(x):=\int _{\mathbf {R} ^{n}}f(xy)\Phi _{t}(y )\,dy.

Det kan man visa

\sup _{t>0}|f\ast \Phi _{t}(x)|\leq (Mf)(x)\int _{\ mathbf {R} ^{n}}\Phi

och följaktligen erhålla att $f\ast \Phi _{t}(x)$ konvergerar till f i L ^p ( R ⁿ ) för alla 1 ≤ p < ∞. Ett sådant resultat kan användas för att visa att den harmoniska förlängningen av en Lp ^. ( Rn )-funktion till det övre halva planet konvergerar icke-tangentiellt till den ^funktionen Mer generella resultat kan erhållas där Laplacian ersätts av en elliptisk operatör via liknande tekniker.

Dessutom, med några lämpliga villkor på $\Phi$ , kan man få det

F^{*}(x)\leq C(Mf)(x)

.

Den skarpa maximala funktionen

För en lokalt integrerbar funktion f på R ⁿ definieras den skarpa maximala funktionen ${\displaystyle f^{\sharp }} som$

f^{\sharp }(x)=\sup _{x\in B}{\frac {1}{|B|}}\int _{B}|f(y)-f_{ B}|\,dy

för varje x i R ⁿ , där det högsta värdet tas över alla bollar(snyggt) B och $f_{B}$ är det integrala medelvärdet av $f$ över bollen $B$ .

Den skarpa funktionen kan användas för att erhålla en punktvis olikhet vad gäller singularintegraler . Antag att vi har en operator T som är begränsad till L ² ( R ⁿ ), så vi har

\|T(f)\|_{L^{2}}\leq C\|f\|_{L^{2} },

för alla smidiga och kompakta stöd f . Antag också att vi kan realisera T som faltning mot en kärna K i den meningen att när f och g är jämna och har disjunkt stöd

\int g(x)T(f)(x)\,dx=\iint g(x)K(xy)f(y)\,dy\,dx.

Slutligen antar vi ett villkor för storlek och jämnhet på kärnan K :

|K(xy)-K(x)|\leq C{\frac {|y|^{\gamma }}{|x|^{n+\gamma }}},

när $|x|\geq 2|y|$ . Sedan för ett fast r > 1, har vi

(T(f))^{\sharp }(x)\leq C(M(| f|^{r}))^{\frac {1}{r}}(x)

för alla x i Rn ^.

Maximala funktioner i ergodisk teori

Låt $(X,{\mathcal {B}},m)$ vara ett sannolikhetsutrymme, och T : X → X en måttbevarande endomorfism av X . Den maximala funktionen för f ∈ L ¹ ( X , m ) är

f^{*}(x):=\sup _{n\geq 1}{\frac {1}{n}}\summa _{i}^{n-1}|f(T^{ i}(x))|.

Den maximala funktionen för f verifierar en svag gräns analog med Hardy–Littlewood maximala olikheten :

m\left(\{x\in X\ :\ f^{*}(x)>\alpha \}\right)\leq {\frac {\|f\|_{1}}{\alpha }},

det är en omformulering av den maximala ergodiska satsen .

Martingale maximal funktion

Om $\{f_{n}\}$ är en martingal , kan vi definiera martingalens maximala funktion med $f^{*}(x)=\sup _{n}|f_{n}(x)|$ . Om $f(x)=\lim _{n\rightarrow \infty }f_{n}(x)$ finns, finns det många resultat som håller i den klassiska case (t.ex. avgränsning i $L^{p},1<p\leq \infty$ och den svaga $L^{1}$ olikheten) gäller med avseende på $f$ och $f^{*}$ .

L. Grafakos, Classical and Modern Fourier Analysis , Pearson Education, Inc., New Jersey, 2004
EM Stein, Harmonic Analysis , Princeton University Press, 1993
EM Stein, Singular Integrals and Differentiability Properties of Functions , Princeton University Press, 1971
EM Stein, Ämnen i harmonisk analys relaterade till Littlewood-Paley-teorin, Princeton University Press, 1970

Anteckningar

^ ^a ^b ^c Stein, Elias (1993). "Harmonisk analys". Princeton University Press.
^ Grakakos, Loukas (2004). "7". Klassisk och modern Fourieranalys . New Jersey: Pearson Education, Inc.
^ Stein, Elias M. (2004). "Kapitel IV: Den allmänna Littlewood-Paley-teorin". Ämnen i harmonisk analys relaterade till Littlewood-Paley-teorin . Princeton, New Jersey: Princeton University Press.

[bible-1] Stein, Elias (1993). "Harmonisk analys". Princeton University Press.

[grafakos-2] Grakakos, Loukas (2004). "7". Klassisk och modern Fourieranalys . New Jersey: Pearson Education, Inc.

[3] Stein, Elias M. (2004). "Kapitel IV: Den allmänna Littlewood-Paley-teorin". Ämnen i harmonisk analys relaterade till Littlewood-Paley-teorin . Princeton, New Jersey: Princeton University Press.