KMS tillstånd

Kubo–Martin–Schwingers skick som visas på ett monument framför Warszawas universitets Center of New Technologies

I den statistiska mekaniken för kvantmekaniska system och kvantfältteori kan egenskaperna hos ett system i termisk jämvikt beskrivas av ett matematiskt objekt som kallas ett Kubo -Martin- Schinger -tillstånd eller, mer vanligt, ett KMS-tillstånd : ett tillstånd som uppfyller KMS . skick . Kubo (1957) introducerade villkoret, Martin & Schwinger (1959) använde det för att definiera termodynamiska Greens funktioner och Rudolf Haag , M. Winnink och NM Hugenholtz ( 1967 ) använde villkoret för att definiera jämviktstillstånd och kallade det KMS-tillståndet.

Översikt

Det enklaste fallet att studera är ett ändligt dimensionellt Hilbert-rum , där man inte stöter på komplikationer som fasövergångar eller spontana symmetribrott . Densitetsmatrisen för ett termiskt tillstånd ges av

$\rho _{ \beta ,\mu }={\frac {e^{-\beta \left(H-\mu N\right)}}{\mathrm {Tr} \left[e^{-\beta \left(H- \mu N\right)}\right]}}={\frac {e^{-\beta \left(H-\mu N\right)}}{Z(\beta ,\mu )}}$

där H är den Hamiltonska operatorn och N är partikelnummeroperatorn (eller avgiftsoperatören , om vi vill vara mer generella) och

$Z(\beta ,\mu )\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \mathrm {Tr} \left[e^{-\beta \left(H-\mu N\right)}\right]$

är partitionsfunktionen . Vi antar att N pendlar med H, eller med andra ord, att partikeltalet är bevarat .

I Heisenberg-bilden förändras inte densitetsmatrisen med tiden, men operatorerna är tidsberoende. I synnerhet ger operatören att översätta en operator A med τ till framtiden

$\alpha _{\tau }(A)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ e^ {iH\tau }Ae^{-iH\tau }$ .

En kombination av tidsöversättning med en intern symmetri "rotation" ger det mer generella

$\alpha _{\tau }^{\mu }(A)\ { \stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ e^{i\left(H-\mu N\right)\tau }Ae^{-i\left(H-\mu N\right)\tau }$

Lite algebraisk manipulation visar att de förväntade värdena

$\left\langle \alpha _{\tau }^{\mu }(A)B\right\rangle _{\beta ,\mu }=\mathrm {Tr} \left [\rho \alpha _{\tau }^{\mu }(A)B\right]=\mathrm {Tr} \left[\rho B\alpha _{\tau +i\beta }^{\mu } (A)\right]=\left\langle B\alpha _{\tau +i\beta }^{\mu }(A)\right\rangle _{\beta ,\mu }$

för valfri två operatorer A och B och valfri verklig τ (vi arbetar trots allt med ändligdimensionella Hilbert-rum). Vi använde det faktum att densitetsmatrisen pendlar med vilken funktion som helst av ( H − μ N ) och att spåret är cykliskt.

Som antytts tidigare, med oändliga dimensionella Hilbert-utrymmen, stöter vi på många problem som fasövergångar, spontana symmetribrott, operatorer som inte är spårklass, divergerande partitionsfunktioner, etc.

De komplexa funktionerna för z , $\left\langle \alpha _{z}^{\mu }(A)B\right\rangle$ konvergerar i den komplexa remsan $-\beta <\Im {z}<0$ medan $\left\langle B\alpha _{z}^{\mu }(A) \right\rangle$ konvergerar i den komplexa remsan $0<\Im {z}<\beta$ om vi gör vissa tekniska antaganden som att spektrumet för H − μ N är avgränsat underifrån och dess densitet ökar inte exponentiellt (se Hagedorn temperatur ). Om funktionerna konvergerar måste de vara analytiska inom remsan som de definieras över som deras derivator,

${\frac {d}{dz}}\left\langle \alpha _ {z}^{\mu }(A)B\right\rangle =i\left\langle \alpha _{z}^{\mu}\left(\left[H-\mu N,A\right]\ höger)B\right\rangle$

och

${\frac {d}{dz}}\left\langle B\alpha _{z}^{\mu }(A)\right\rangle =i\left\langle B\alpha _{z}^{\mu}\left(\left[H-\mu N,A\right] \right)\right\rangle$

existera.

Men vi kan fortfarande definiera ett KMS-tillstånd som vilket tillstånd som helst

$\left\langle \alpha _{\tau }^{\mu }(A)B\right\rangle = \left\langle B\alpha _{\tau +i\beta }^{\mu }(A)\right\rangle$

med $\left\langle \alpha _{z}^{\mu }(A)B\right\rangle$ och $\left\langle B\alpha _{z}^{\mu }(A)\right\rangle$ är analytiska funktioner för z inom sina domänremsor.

$\left\langle \alpha _{\tau }^{\mu }(A)B\right\rangle$ och $\left\langle B\alpha _{\tau +i\beta }^{\mu }(A)\right\rangle$ är gränsfördelningsvärdena för de aktuella analytiska funktionerna.

Detta ger rätt termodynamisk gräns för stor volym, stort partikelantal. Om det finns en fasövergång eller spontant symmetribrott är KMS-tillståndet inte unikt.

Densitetsmatrisen för ett KMS-tillstånd är relaterad till enhetliga transformationer som involverar tidsöversättningar (eller tidsöversättningar och en intern symmetritransformation för kemiska potentialer som inte är noll) via Tomita-Takesaki-teorin .

Se även

• Gibbs delstat

•      Haag, Rudolf ; Winnink, M.; Hugenholtz, NM (1967), "On the equilibrium states in quantum statistical mechanics", Communications in Mathematical Physics , 5 (3): 215–236, Bibcode : 1967CMaPh...5..215H , CiteSeerX 10.01.61 . doi : 10.1007/BF01646342 , ISSN 0010-3616 , MR 0219283 , S2CID 120899390
• Kubo, R. (1957), "Statistical-Mechanical Theory of Irreversible Processes. I. General Theory and Simple Applications to Magnetic and Conduction Problems", Journal of the Physical Society of Japan , 12 (6): 570–586, Bibcode : 1957JPSJ...12..570K , doi : 10.1143/JPSJ.12.570
• Martin, Paul C.; Schwinger, Julian (1959), "Theory of Many-Particle Systems. I", Physical Review , 115 (6): 1342–1373, Bibcode : 1959PhRv..115.1342M , doi : 10.1103/PhysRev.1321