KK -teori

Den här artikeln handlar om KK-teori i matematik. För ett kunskapsteoretiskt begrepp, se KK-principen . För Kaluza-Klein-teorin om elektromagnetism och gravitation, se Kaluza-Klein-teorin .

Inom matematik är KK -teori en vanlig generalisering av både K-homologi och K-teori som en additiv bivariant funktion på separerbara C *-algebror . Denna uppfattning introducerades av den ryske matematikern Gennadi Kasparov 1980.

Den var influerad av Atiyahs koncept med Fredholm-moduler för Atiyah–Singer indexsatsen och klassificeringen av förlängningar av C*-algebror av Lawrence G. Brown , Ronald G. Douglas och Peter Arthur Fillmore 1977. I sin tur har den hade stor framgång i operatoralgebraisk formalism mot indexteorin och klassificeringen av nukleära C*-algebror , eftersom det var nyckeln till lösningarna på många problem i operator K-teorin, som till exempel bara beräkningen av K - grupper. Dessutom var det väsentligt i utvecklingen av Baum-Connes-förmodan och spelar en avgörande roll i icke-kommutativ topologi .

KK -teorin följdes av en serie liknande bifunktionskonstruktioner såsom E -teorin och den bivarianta periodiska cykliska teorin, de flesta av dem hade mer kategoriteoretiska smaker, eller berör en annan klass av algebror snarare än den separerbara C *- algebror eller inkorporering av gruppåtgärder .

Definition

Följande definition är ganska nära den som Kasparov ursprungligen gav. Detta är den form i vilken de flesta KK-element uppstår i applikationer.

Låt A och B vara separerbara C *-algebror, där B också antas vara σ-unital. Uppsättningen av cykler är uppsättningen av trippel ( H , ρ, F ), där H är en räknebart genererad graderad Hilbert-modul över B , ρ är en *-representation av A på H som jämnt avgränsade operatorer som pendlar med B och F är en avgränsad operator på H av grad 1 som återigen pendlar med B . De är skyldiga att uppfylla villkoret att

$[F,\rho (a)],(F^{2}- 1)\rho (a),(FF^{*})\rho (a)$

för a i A är alla B -kompakta operatorer. En cykel sägs vara degenererad om alla tre uttrycken är 0 för alla a .

Två cykler sägs vara homologa, eller homotopiska, om det finns en cykel mellan A och IB , där IB betecknar C *-algebra för kontinuerliga funktioner från [0,1] till B , så att det finns en jämn enhetlig operator från 0-änden av homotopin till den första cykeln, och en enhetlig operator från 1-änden av homotopin till den andra cykeln.

gruppen KK(A, B) mellan A och B definieras sedan som uppsättningen av cykler modulo homotopi. Det blir en abelsk grupp under direkt summadrift av bimoduler som addition, och klassen av de degenererade modulerna som dess neutrala element.

Det finns olika, men likvärdiga definitioner av KK-teorin, särskilt den som beror på Joachim Cuntz som eliminerar bimodul och 'Fredholm'-operator F från bilden och lägger tonvikten helt på homomorfismen ρ. Mer exakt kan det definieras som uppsättningen av homotopiklasser

$KK(A,B)=[qA,K(H)\otimes B]$ ,

av *-homomorfismer från klassificeringsalgebra qA för kvasi-homomorfismer till C *-algebra för kompakta operatorer av ett oändligt dimensionellt separerbart Hilbert-rum tensorerat med B . Här qA som kärnan i kartan från den C *-algebraiska fria produkten A * A av A med sig själv till A definierad av identiteten på båda faktorerna.

Egenskaper

₀₀₀₀₀ När man tar C *-algebra C för de komplexa talen som det första argumentet för KK som i KK ( C , B ) är denna additiv grupp naturligt isomorf till K -gruppen K ( B ) i det andra argumentet B . I Cuntz synvinkel är en K -klass av B inget annat än en homotopiklass av *-homomorfismer från de komplexa talen till stabiliseringen av B . På liknande sätt när man tar algebra C ( R ) för de kontinuerliga funktionerna på den reella linjen som avtar vid oändligheten som första argument, är den erhållna gruppen KK ( C ( R ) , B ) naturligt isomorf till K ₁ ( B ).

En viktig egenskap hos KK -teorin är den så kallade Kasparov-produkten , eller sammansättningsprodukten,

$KK(A,B)\ gånger KK(B,C)\till KK(A,C)$ ,

som är bilinjär med avseende på de additiva gruppstrukturerna. I synnerhet ger varje element i KK ( A , B ) en homomorfism av K _* ( A ) → K _* ( B ) och en annan homomorfism K * ( B ) → K * ( A ).

Produkten kan definieras mycket lättare i Cuntz-bilden med tanke på att det finns naturliga kartor från QA till A , och från B till K ( H ) ⊗ B som inducerar KK -ekvivalenser.

Kompositionsprodukten ger en ny kategori ${\mathsf {KK}}$ , vars objekt ges av de separerbara C *-algebrorna medan morfismerna mellan dem ges av element i motsvarande KK-grupper. Dessutom inducerar varje *-homomorfism av A till B ett element av KK ( A , B ) och denna överensstämmelse ger en funktor från den ursprungliga kategorin av de separerbara C *-algebrorna till ${\mathsf {KK}}$ . Algebrans ungefär inre automorfismer blir identitetsmorfismer i ${\mathsf {KK}}$ .

Denna funktion ${\displaystyle {\mathsf {C^{*}\!-\!alg}}\to {\mathsf {KK}}} är universell$ bland de split-exakta, homotopin invarianta och stabila additivfunktioner i kategorin de separerbara C *-algebrorna. Varje sådan teori uppfyller Bott-periodiciteten i lämplig mening eftersom ${\mathsf {KK}}$ gör det.

Kasparov-produkten kan ytterligare generaliseras till följande form:

$KK(A,B\otimes E)\times KK(B\otimes D,C)\to KK(A\otimes D,C\otimes E).$

Den innehåller som specialfall inte bara den K-teoretiska cup-produkten , utan även K-teoretiska lock , kors och snedställda produkter och produkten av förlängningar.

Anteckningar

• B. Blackadar, Operator Algebras: Theory of C*-Algebras and Von Neumann Algebras , Encyclopaedia of Mathematical Sciences 122 , Springer (2005)
• A. Connes, Noncommutative Geometry , Academic Press (1994)

externa länkar

• KK-teori på n Lab
• E-teori på n Lab