KBD algoritm

KBD -algoritmen är en klusteruppdateringsalgoritm designad för den helt frustrerade Ising-modellen i två dimensioner, eller mer allmänt vilket tvådimensionellt spinnglas som helst med frustrerade plack arrangerade i ett rutmönster . Det upptäcktes 1990 av Daniel Kandel, Radel Ben-Av och Eytan Domany och generaliserades av PD Coddington och L. Han 1994. Det är inspirationen till klusteralgoritmer som används i kvantmonte carlosimuleringar .

Motivering

SW -algoritmen är den första icke-lokala algoritmen designad för effektiv simulering av ferromagnetiska spinnmodeller . Emellertid inser man snart att effektiviteten hos algoritmen inte kan utökas till frustrerade system , på grund av en alltför stor korrelationslängd för de genererade klustren med avseende på det underliggande spinnsystemet. KBD-algoritmen är ett försök att utvidga bindningsbildningsregeln till plattorna i gittret, så att de genererade klustren informeras av frustrationsprofilen, vilket resulterar i att de är mindre än SW, vilket gör algoritmen mer effektiv i jämförelse . Men i det aktuella skedet är det inte känt om denna algoritm kan generaliseras för godtyckliga spinnglasmodeller .

Algoritm

Vi börjar med att bryta ner det fyrkantiga gittret till plaquetter arrangerade i ett rutmönster (så att plaketterna bara överlappar vertex-vis men inte kantvis). Eftersom spinnmodellen är helt frustrerad måste varje plakett innehålla exakt en eller tre negativa interaktioner. Om plaquetten innehåller tre negativa interaktioner kan inga bindningar bildas. Men om plaquetten innehåller en negativ interaktion kan två parallella bindningar bildas (vinkelrätt mot den negativa kanten) med sannolikhet $p=1-e^{-4\beta }$ , där $\beta$ är den omvända temperaturen för spinnmodellen.

Bindningarna kommer sedan att bilda kluster på gittret, på vilka snurren kan vändas kollektivt (antingen med SW -regeln eller Wolff- regeln ). Det kan visas att uppdateringen tillfredsställer detaljerad balans , vilket innebär att korrekthet garanteras om algoritmen används i kombination med ergotiska algoritmer som uppdateringar av enstaka spin-flip .

Topologiska egenskaper

Vid noll temperatur, eller gränsen $\beta \to \infty$ , kommer alla plaquetter att innehålla exakt en negativ kant. I det här fallet, på varje rutig plakett, kommer KBD-algoritmen alltid att öppna två parallella bindningar vinkelräta mot den negativa kanten, vilket innebär att bindningen kommer att stängas på den negativa kanten tillsammans med kanten motsatt den. Om vi ​​skulle spåra de slutna bindningarna i det dubbla gittret , genom att dra en rak/böjd linje inuti varje plakett så att den skär de slutna bindningarna, så kan det visas att en väg som följer linjerna måste bilda en cykel .

Vidare kan det visas att det måste finnas minst två sådana cykler, och att cyklerna inte kan skära varandra. Viktigast av allt är att varje cykel inte kan dras ihop till en punkt i den underliggande ytan som gittret är inbäddat i. På ett periodiskt gitter (eller en torus ) betyder detta att cyklerna av slutna bindningar måste slingra sig runt torusen i samma riktning, från vilket man kan visa att det största klustret (som måste "klämmas" mellan dessa cykler) vid noll temperatur inte kan sträcka sig över en ändlig bråkdel av gitterstorleken i den termodynamiska gränsen .