Carnot-gruppen

I matematik är en Carnot-grupp en enkelt ansluten nilpotent Lie-grupp , tillsammans med en härledning av dess Lie-algebra så att delrummet med egenvärde 1 genererar Lie-algebra. Subbunten av tangentbunten som är associerad med detta egenutrymme kallas horisontell. På en Carnot-grupp ger varje norm på det horisontella underpaketet upphov till ett Carnot–Carathéodory-mått . Carnot–Carathéodory-mått har metriska dilatationer; de är asymptotiska kottar (se Ultralimit ) av finitely-genererade nilpotenta grupper och nilpotenta Lie-grupper, såväl som tangentkoner av sub-Riemannska grenrör .

Formell definition och grundläggande egenskaper

En Carnot (eller stratifierad) grupp av steg $k$ är en ansluten, enkelt ansluten, ändlig dimensionell Lie-grupp vars Lie-algebra ${\mathfrak {g}}$ tillåter en steg- $k$ skiktning. Det finns nämligen icke-triviala linjära delrum $V_{1},\cdots ,V_{k}$ så att

${\mathfrak {g}}=V_{1}\oplus \cdots \oplus V_{k}$ , ${\ displaystyle [V_{1},V_{i}]=V_{i+1}}$ för $i=1,\cdots ,k-1$ och $[V_{1},V_{k}]=\{0\}$ .

Observera att denna definition innebär att det första stratumet $V_{1}$ genererar hela Lie-algebra ${\mathfrak {g}}$ .

Den exponentiella kartan är en diffeomorfism från ${\mathfrak {g}}$ till $G$ . Med dessa exponentiella koordinater kan vi identifiera $G$ med $(\mathbb {R} ^{n},\star )$ , där $n=\dim V_{1}+\cdots +\dim V_{k}$ och operationen $\star$ ges av Baker–Campbell–Hausdorff-formeln .

Ibland är det bekvämare att skriva ett element $z\in G$ som

$z=(z_{1},\cdots ,z_{k})$ med $z_{i}\in \ mathbb {R} ^{\dim V_{i}}$ för $i=1,\cdots ,k$ .

Anledningen är att $G$ har en inneboende dilatationsoperation $\delta _{\lambda }:G\to G$ ges av

$\delta _{\lambda }(z_{1},\cdots ,z_{k}): =(\lambda z_{1},\cdots ,\lambda ^{k}z_{k})$ .

Exempel

Den verkliga Heisenberggruppen är en Carnot-grupp som kan ses som en platt modell i Sub-Riemannsk geometri som euklidisk rymd i Riemannsk geometri. Engelgruppen är också en Carnotgrupp .

Historia

Carnot-grupper introducerades under det namnet av Pierre Pansu ( 1982 , 1989 ) och John Mitchell ( 1985 ). Konceptet introducerades dock tidigare av Gerald Folland (1975), under namnet stratifierad grupp .

Se även

• Pansu-derivat , ett derivat på en Carnot-grupp introducerad av Pansu (1989)

•   Folland, Gerald (1975), "Subelliptic estimates and function spaces on nilpotent Lie groups", Arkiv för Mathematik , 13 (2): 161–207, Bibcode : 1975ArM ....13..161F , doi : 10.1007/B042386 S2CID 121144337
•    Mitchell, John (1985), "On Carnot-Carathéodory metrics" , Journal of Differential Geometry , 21 (1): 35–45, doi : 10.4310/jdg/1214439462 , ISSN 0022-0000X 8 , 67MR 80
• Pansu, Pierre (1982), Géometrie du groupe d'Heisenberg , Avhandling, Université Paris VII
•   Pansu, Pierre (1989), "Métriques de Carnot-Carathéodory et quasiisométries des espaces symétriques de rang un", Annals of Mathematics , 129 (1): 1–60, doi : 10.2307/1971484 , 719 90 9 , 7 9 4 9 9  
•    Bellaïche, André; Risler, Jean-Jacques, red. (1996). Sub-Riemannsk geometri . Framsteg i matematik. Vol. 144. Basel: Birkhäuser Verlag. doi : 10.1007/978-3-0348-9210-0 . ISBN 978-3-0348-9946-8 . MR 1421821 .