Jørgensens ojämlikhet

I den matematiska teorin om Kleinian-grupper är Jørgensens ojämlikhet en ojämlikhet som involverar spåren av element i en Kleinian-grupp , bevisat av Troels Jørgensen ( 1976 ).

Ojämlikheten säger att om A och B genererar en icke-elementär diskret undergrupp av SL ₂ ( C ), då

$\left|\operatörsnamn {Tr} (A)^{2}-4\right|+\left|\operatörsnamn {Tr} \left(ABA^{-1}B^{-1} \right)-2\right|\geq 1.\,$

Ojämlikheten ger en kvantitativ uppskattning av gruppens diskrethet: många av standardkonsekvenserna band element i gruppen bort från identiteten. Till exempel, om A är parabolisk , då

$\left\|AI\right\|\ \left\|BI\right\|\geq 1\,$

där $\|\cdot \|$ anger den vanliga normen på SL ₂ ( C ).

En annan konsekvens i det paraboliska fallet är förekomsten av cusp-kvarter i hyperboliska 3-grenrör : om G är en kleinisk grupp och j är ett paraboliskt element av G med fixpunkt w , så finns det en horoball baserad på w som projicerar till en cusp grannskap i kvotutrymmet $\mathbb {H} ^{3}/G$ . Jørgensens ojämlikhet används för att bevisa att varje element i G som inte har en fast punkt vid w flyttar horoballen helt bort från sig själv och därför inte påverkar den lokala geometrin för kvoten vid w ; intuitivt bestäms geometrin helt av det paraboliska elementet.

Se även

• Margulis -lemmat är en kvalitativ generalisering till mer allmänna utrymmen med negativ krökning.