Cusp kvarter

Inom matematiken definieras ett cusp-kvarter som en uppsättning punkter nära en cusp-singularitet .

Cusp-kvarter för en Riemann-yta

Kuspområdet för en hyperbolisk Riemann-yta kan definieras i termer av dess Fuchsian-modell .

Antag att den fuchsiska gruppen G innehåller ett paraboliskt element g. Till exempel elementet t ∈ SL(2, Z ) där

$t(z)={\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}} :z={\frac {1\cdot z+1}{0\cdot z+1}}=z+1$

är ett paraboliskt element. Observera att alla paraboliska element i SL(2, C ) är konjugerade till detta element. Det vill säga, om g ∈ SL(2, Z ) är parabolisk, så är $g=h^{-1}th$ för vissa h ∈ SL(2, Z ).

Uppsättningen

$U=\{z\in \mathbf {H} :\Im z>1\}$

där H är det övre halvplanet har

$\gamma (U)\cap U=\emptyset$

för alla $\gamma \in G-\langle g\rangle$ där $\langle g\rangle$ förstås som den grupp som genereras av g . Det vill säga, γ verkar korrekt diskontinuerligt på U . På grund av detta kan det ses att projektionen av U på H / G är således

$E=U/\langle g\rangle$ .

Här kallas E området för cuspen som motsvarar g .

Observera att den hyperboliska arean av E är exakt 1, när den beräknas med den kanoniska Poincaré-metriken . Detta är lättast att se med exempel: tänk på skärningspunkten mellan U definierad ovan och den fundamentala domänen

$\left\{z\in H:\left|z\right|>1,\,\left|\,{\mbox{Re}}(z)\,\right|<{ \frac {1}{2}}\right\}$

av den modulära gruppen , vilket skulle vara lämpligt för valet av T som det paraboliska elementet. När den är integrerad över volymelementet

$d\mu ={\frac {dxdy}{y^{2}}}$

resultatet är trivialt 1. Arean i alla cusp-kvarter är lika med detta, genom invariansen av området under konjugering.