Margulis lemma

I differentialgeometri är Margulis -lemmat (uppkallat efter Grigory Margulis ) ett resultat om diskreta undergrupper av isometrier av en icke-positivt krökt Riemann-manifold (t.ex. det hyperboliska n-utrymmet ). Grovt sägs det att inom en fast radie, vanligen kallad Margulis-konstanten , kan strukturen av banorna för en sådan grupp inte vara alltför komplicerad. Mer exakt, inom denna radie runt en punkt är alla punkter i dess omloppsbana i själva verket i omloppsbanan för en nilpotent undergrupp (i själva verket ett begränsat ändligt antal av sådana).

Margulis-lemmat för grenrör av icke-positiv krökning

Formellt uttalande

Margulislemma kan formuleras på följande sätt.

Låt $X$ vara ett enkelt förbundet grenrör av icke-positivt begränsad sektionskrökning . Det finns konstanter $C,\varepsilon >0$ med följande egenskap. För varje diskret undergrupp $\Gamma$ av gruppen av isometrier av $X$ och alla $x\in X$ , om $F_{x}$ är uppsättning:

$F_{x}=\{g\in \Gamma :d(x,gx)<\varepsilon \}$

då innehåller undergruppen som genereras av $F_{x}$ en nilpotent undergrupp av index mindre än $C$ . Här är $d$ avståndet som induceras av Riemann-metriken.

Ett omedelbart ekvivalent uttalande kan ges enligt följande: för varje delmängd $F$ i isometrigruppen, om den uppfyller att:

• det finns en $x\in X$ så att $\forall g\in F:d(x,gx)<\varepsilon$ ;
• gruppen $\langle F\rangle$ som genereras av $F$ är diskret

då innehåller $\langle F\rangle$ en nilpotent undergrupp av index $\leq C$ .

Margulis konstanter

Den optimala konstanten $\varepsilon$ i satsen kan fås att bero endast på dimensionen och den nedre gränsen för krökningen; vanligtvis normaliseras den så att krökningen är mellan -1 och 0. Den brukar kallas för dimensionens Margulis-konstant.

Man kan också överväga Margulis-konstanter för specifika utrymmen. Till exempel har det gjorts ett viktigt försök att bestämma Margulis-konstanten för de hyperboliska utrymmena (med konstant krökning -1). Till exempel:

• den optimala konstanten för det hyperboliska planet är lika med $2\operatornamn {arsinh} \left(arsinh}) {\sqrt {\frac {2\cos(2\pi /7)-1}{8\cos(\pi /7)+7}}}\right)\simeq 0,2629$ ;
• I allmänhet är Margulis-konstanten $\varepsilon _{n}$ för det hyperboliska $n$ -mellanrummet känt för att uppfylla gränserna:
  $$c^{-n^{2}}<\varepsilon _{n}<K/{\sqrt {n}}$$
  för vissa $0<c<1,K>0$ .

Zassenhaus stadsdelar

En särskilt studerad familj av exempel på negativt krökta grenrör ges av de symmetriska utrymmen som är associerade med halvenkla Lie-grupper . I detta fall kan Margulis-lemma ges följande, mer algebraiska formulering som går tillbaka till Hans Zassenhaus .

Om $G$ är en halvenkel Lie-grupp finns det en grannskap $\Omega$ av identiteten i $G$ och en $C>0$ så att varje diskret undergrupp $\Gamma$ som genereras av $\Gamma \cap \Omega$ innehåller en nilpotent undergrupp av index $\leq C$ .

En sådan stadsdel $\Omega$ kallas ett Zassenhaus-kvarter i $G$ . Om $G$ är kompakt motsvarar detta sats Jordans sats om ändliga linjära grupper .

Tjock-tunn nedbrytning

Låt $M$ vara ett Riemann-grenrör och $\varepsilon >0$ . Den tunna delen av $M$ är delmängden av punkter $x\in M$ där injektivitetsradien för $M$ vid $x$ är mindre än ${\ displaystyle \varepsilon }$ , vanligtvis betecknad $M_{<\varepsilon }$ , och den tjocka delen dess komplement, vanligtvis betecknad $M_{\geq \varepsilon }$ . Det sker en tautologisk nedbrytning till en disjunkt förening $M=M_{<\varepsilon }\cup M_{\geq \varepsilon }$ .

När $M$ har negativ krökning och $\varepsilon$ är mindre än Margulis-konstanten för det universella locket ${\displaystyle {\widetilde {M}}} ,$ strukturen för komponenterna i tunna delen är mycket enkel. Låt oss begränsa oss till fallet med hyperboliska grenrör med ändlig volym. Antag att $\varepsilon$ är mindre än Margulis-konstanten för $\mathbb {H} ^{n}$ och låt $M$ vara en hyperbolisk $n$ -manifold av ändlig volym. Sedan har dess tunna del två sorters komponenter:

• Cusps : dessa är de obundna komponenterna, de är diffeomorfa till en platt $(n-1)$ -manifold gånger en linje;
• Margulisrör: dessa är stadsdelar med slutna geodetik med längden $<\varepsilon$ på $M$ . De är avgränsade och (om $M$ är orienterbar) diffeomorfa till en cirkel gånger a $(n-1)$ -skiva.

I synnerhet är ett komplett hyperboliskt grenrör med ändlig volym alltid diffeomorft till det inre av ett kompakt grenrör (möjligen med tom gräns).

Andra applikationer

Margulis-lemmat är ett viktigt verktyg i studiet av grenrör av negativ krökning. Förutom den tjock-tunna nedbrytningen är några andra applikationer:

• Kragen lemma : detta är en mer exakt version av beskrivningen av de kompakta komponenterna i de tunna delarna. Den anger att varje sluten geodetisk längd $\ell <\varepsilon$ på en hyperbolisk yta finns i en inbäddad cylinder med diametern $\ell ^{-1}$ .
• Margulis-lemmat ger en omedelbar kvalitativ lösning på problemet med minimal kovolym bland hyperboliska grenrör: eftersom volymen av ett Margulisrör kan ses begränsas nedanför av en konstant som endast beror på dimensionen, följer det att det finns ett positivt infimum till volymerna av hyperboliska n -grenrör för varje n .
• Förekomsten av Zassenhaus-kvarter är en nyckelingrediens i beviset för Kazhdan-Margulis-teoremet .
• Man kan återställa Jordan-Schur-teoremet som en följd av existensen av Zassenhaus-kvarter.

Se även

• Jorgensens olikhet ger ett kvantitativt uttalande för diskreta undergrupper av isometrigruppen $\mathrm {PGL} _{2}(\mathbb {C} )$ i det 3-dimensionella hyperboliska rummet.

Anteckningar

• Ballmann, Werner; Gromov, Mikhail; Schroeder, Viktor (1985). Förgreningsrör av icke-positiv krökning . Birkhâuser.
•   Raghunathan, MS (1972). Diskreta undergrupper av Lie-grupper . Ergebnisse de Mathematik und ihrer Grenzgebiete. Springer-Verlag . MR 0507234 .
•   Ratcliffe, John (2006). Grunderna för hyperboliska grenrör, andra upplagan . Springer. s. xii+779. ISBN 978-0387-33197-3 .
• Thurston, William (1997). Tredimensionell geometri och topologi. Vol. 1 . Princeton University Press.