Jämnhetsmodul

I matematik används jämnhetsmoduler för att kvantitativt mäta funktioners jämnhet . Jämnhetsmoduler generaliserar kontinuitetsmodulen och används i approximationsteori och numerisk analys för att uppskatta approximationsfel av polynom och splines .

Moduli av jämnhet

Jämnhetsmodulen av ordningen $n$ för en funktion $f\in C[a,b]$ är funktionen ${\ displaystyle \omega _{n}:[0,\infty )\to \mathbb {R} }$ definieras av

$\omega _{n}(t,f,[a,b])=\sup _{h\in [0,t]}\sup _{x\in [a,b-nh]}\left|\Delta _{h}^{n}(f,x)\right|\qquad {\text{for}}\quad 0\leq t\leq {\frac { förbjuda}},$

och

$\omega _{n}(t, f,[a,b])=\omega _{n}\left({\frac {ba}{n}},f,[a,b]\right)\qquad {\text{för}}\quad t>{\frac {ba}{n}},$

där den ändliga skillnaden ( n -te ordningens framåtskillnad) definieras som

$\Delta _{h}^{n}(f,x_{0})=\summa _{i=0}^{n}(-1)^{ni}{\binom {n}{i }}f(x_{0}+ih).$

Egenskaper

1. $\omega _{n}(0)=0,\omega _{n}(0+)=0.$

2. $\omega _{n}$ är icke-minskande på $[0,\infty ).$

3. $\omega _{n}$ är kontinuerlig på $[0,\infty ).$

4. För $m\in \mathbb {N} ,t\geq 0$ har vi:

$\omega _{n}(mt)\leq m^{n}\omega _{n}(t).$

5. $\omega _{n}(f,\lambda t)\leq (\lambda +1)^ {n}\omega _{n}(f,t),$ för $\lambda >0.$

6. För $r\in \mathbb {N}$ låt $W^{r}$ beteckna utrymmet för kontinuerlig funktion på $[-1, 1]$ som har $(r-1)$ -st absolut kontinuerlig derivata på ${\displaystyle [-1,1]$ och

${\displaystyle \left\|f^{(r)}\right\|_{L_{\infty }[-1,1]}<+\infty .} Om f ∈$

W $f\in W^{r},}$ sedan

$\omega _{ r}(t,f,[-1,1])\leq t^{r}\left\|f^{(r)}\right\|_{L_{\infty [-1,1]} ,t\geq 0,$

där $\|g(x)\|_{L_{\infty }[-1,1]}={\mathrm {ess} \sup }_{x\in [-1,1]}|g( x)|.$

Ansökningar

Jämnhetsmoduler kan användas för att bevisa uppskattningar av approximationsfelet. På grund av egenskap (6) ger jämnhetsmoduler mer generella uppskattningar än uppskattningarna i termer av derivat.

Till exempel används jämnhetsmoduler i Whitney-olikhet för att uppskatta felet för lokal polynomapproximation. En annan applikation ges av följande mer allmänna version av Jackson ojämlikhet :

För varje naturligt tal $n$ , om $f$ är $2\pi$ -periodisk kontinuerlig funktion, finns det ett trigonometriskt polynom $T_{n}$ av grad $\leq n$ så att

$\left|f(x)-T_{n}(x\right)|\leq c(k)\ omega _{k}\left({\frac {1}{n}},f\right),\quad x\in [0,2\pi ],$

där konstanten $c(k)$ beror på $k\in \mathbb {N} .$