Jacksons ojämlikhet

I approximationsteorin är Jacksons olikhet en olikhet som begränsar värdet av funktions bästa approximation av algebraiska eller trigonometriska polynom vad gäller kontinuitetsmodulen eller jämnhetsmodulen för funktionen eller dess derivator . Informellt sett, ju smidigare funktionen är, desto bättre kan den approximeras med polynom.

Påstående: trigonometriska polynom

För trigonometriska polynom bevisades följande av Dunham Jackson :

Sats 1 : Om $f:[0,2\pi ]\to \mathbb {C}$ är en $r$ gånger differentierbar periodisk funktion så att

${\displaystyle \left|f^{(r)}(x)\right|\leq 1,\qquad x\in [0,2\pi ],} sedan$

, för varje positivt heltal $n$ finns det ett trigonometriskt polynom $T_{n-1}$ av högst grad $n-1$ så att

$\left|f(x)-T_{n-1}(x)\right|\leq {\frac {C(r)} {n^{r}}},\qquad x\in [0,2\pi ],$

där $C(r)$ endast beror på $r$ .

Akhiezer ) – Kerin – Favard -satsen ger det skarpa värdet av $C(r)$ (kallad Akhiezer-Krein-Favard-konstanten )

$C(r)={\frac {4}{\pi }}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k(r+1)}} {(2k+1)^{r+1}}}~.$

Jackson bevisade också följande generalisering av sats 1:

Sats 2 : Man kan hitta ett trigonometriskt polynom $T_{n}$ med grad $\leq n$ så att

$|f(x)-T_{n}(x)|\leq {\frac {C (r)\omega \left({\frac {1}{n}},f^{(r)}\right)}{n^{r}}},\qquad x\in [0,2\pi ],$

där $\omega (\delta ,g)$ anger kontinuitetsmodulen för funktion $g$ med steget $\delta .$

Ett ännu mer allmänt resultat av fyra författare kan formuleras som följande Jackson-sats.

Sats 3 : För varje naturligt tal $n$ , om $f$ är $2\pi$ -periodisk kontinuerlig funktion, finns det ett trigonometriskt polynom $T_{n}$ av grad $\leq n$ så att

${\displaystyle |f(x)-T_{n}(x)|\leq c(k)\omega _{k }\left({\tfrac {1}{n}},f\right),\qquad x\in [0,2\pi ],} där konstant c ( k ) {\displaystyle$

c $beror$ på $k\in \mathbb {N} ,$ och $\omega _{k}$ är $k$ -:e ordningens jämnhetsmodul .

För $k=1$ bevisades detta resultat av Dunham Jackson. Antoni Zygmund bevisade ojämlikheten i fallet när $k=2,\omega _{2}(t,f)\leq ct,t> 0$ 1945. Naum Akhiezer bevisade satsen i fallet $k=2$ 1956. För $k>2$ fastställdes detta resultat av Sergey Stechkin 1967.

Ytterligare anmärkningar

Generaliseringar och förlängningar kallas för Jackson-typ teoremer. En motsats till Jacksons ojämlikhet ges av Bernsteins teorem . Se även konstruktiv funktionsteori .

externa länkar

• Korneichuk, NP; Motornyi, VP (2001) [1994], "Jackson_inequality" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press
• Weisstein, Eric W. "Jacksons sats" . MathWorld .