Whitney ojämlikhet

Inom matematiken ger Whitney -olikheten en övre gräns för felet för bästa approximation av en funktion med polynom i termer av jämnhetsmoduler . Det bevisades först av Hassler Whitney 1957 och är ett viktigt verktyg inom approximationsteorin för att erhålla övre uppskattningar av felen i bästa approximation.

Uttalande av satsen

Beteckna värdet av den bästa enhetliga approximationen av en funktion $f\in C([a,b])$ med algebraiska polynom $P_{n}$ av grad $\leq n$ by

$E_{n}(f)_{[a,b]}:=\ inf _{P_{n}}{\|f-P_{n}\|_{C([a,b])}}$

Jämnhetsmodulerna av ordningen $k$ för en funktion $f\in C([a,b])$ definieras som:

$\omega _{k}(t):=\omega _{k}(t;f;[a,b]):=\sup _ {h\in [0,t]}\|\Delta _{h}^{k}(f;\cdot )\|_{C([a,b-kh])}\quad {\text{ för }}\quad t\in [0,(ba)/k],$

$\omega _{k}(t):=\omega _{k}((ba)/k)\quad {\text{ for}}\quad t>(ba)/k,$

där $\Delta _{h}^{k}$ är den ändliga skillnaden i ordningen $k$ .

Sats: [Whitney, 1957] Om $f\in C([a,b])$ , då

$displaystyle E_{k-1}(f)_{[a,b] }\leq W_{k}\omega _{k}\left({\frac {ba}{k}};f;[a,b]\right)}$

där $W_{k}$ är en konstant som endast beror på $k$ . Whitney-konstanten $W(k)$ är det minsta värdet på $W_{k}$ som ovanstående olikhet gäller. Satsen är särskilt användbar när den tillämpas på intervall med liten längd, vilket leder till bra uppskattningar av felet i splineapproximationen .

Bevis

Det ursprungliga beviset från Whitney följer ett analytiskt argument som använder egenskaperna hos jämnhetsmoduler . Det kan dock också bevisas på ett mycket kortare sätt med Peetres K-funktioner.

Låta:

$x_{0}:=a,\ quad h:={\frac {ba}{k}},\quad x_{j}:=x+0+jh,\quad F(x)=\int _{a}^{x}f(u) \,du,$

${\displaystyle G(x): =F(x)-L(x;F;x_{0},\ldots,x_{k}),\quad g(x):=G'(x),} ω$

$\omega _{k}(t):=\omega _{k}(t;f; [a,b])\equiv \omega _{k}(t;g;[a,b])$

där $L(x;F;x_{0},\ldots ,x_{k})$ är lagrangepolynomet för $F$ vid noder $\{x_{0},\ldots ,x_{k}\}$ .

Fixa nu några $x\in [a,b]$ och välj $\delta$ för vilken $(x +k\delta )\i [a,b]$ . Sedan:

$\int _{0}^{1}\Delta _{t\delta }^{k}(g;x)\,dt=(-1)^{k}g(x)+\ summa _{j=1}^{k}(-1)^{kj}{\binom {k}{j}}\int _{0}^{1}g(x+jt\delta )\,dt$

$= (-1)^{k}g(x)+\summa _{j=1}^{k}{(-1)^{kj}{\binom {k}{j}}{\frac {1} {j\delta }}(G(x+j\delta)-G(x))},$

Därför:

$|g(x)|\leq \int _{0}^{1}|\Delta _{t\delta }^{k}( g;x)|\,dt+{\frac {2}{|\delta |}}\|G\|_{C([a,b])}\summa _{j=1}^{k}{ \binom {k}{j}}{\frac {1}{j}}\leq \omega _{k}(|\delta |)+{\frac {1}{|\delta |}}2^{ k+1}\|G\|_{C([a,b])}$

Och eftersom vi har $\|G\|_{C([a,b])}\leq h\omega _{k} (h)$ , (en egenskap hos jämnhetsmoduler )

$E_{k-1}(f)_{[a,b]}\leq \|g\|_{C([a,b])}\leq \omega _{k}(|\delta |)+{\frac {1}{|\delta |}}h2^{k+1}\omega _{k}(h).$

Eftersom $\delta$ alltid kan väljas på ett sådant sätt att $h\geq |\delta |\geq h/2$ , detta avslutar beviset.

Whitneys konstanter och Sendovs gissningar

Det är viktigt att ha skarpa uppskattningar av Whitneys konstanter. Det är lätt att visa att ${\displaystyle W(1)=1/2} ,$ och det bevisades först av Burkill (1952) att $W(2) \leq 1$ , som antog att $W(k)\leq 1$ för alla $k$ . Whitney kunde också bevisa det

$W(2)={\frac {1}{2}},\quad {\frac {8}{15}}\leq W(3)\leq 0.7\quad W(4)\leq 3.3\quad W(5)\leq 10.4$

och

$W(k)\geq {\frac {1}{2}},\quad k\in \mathbb {N}$

År 1964 kunde Brudnyi få uppskattningen ${\displaystyle W(k)=O(k^{2k})} ,$ och 1982 bevisade Sendov att $W(k)\leq (k+1)k^{k}$ . Sedan, 1985, bevisade Ivanov och Takev att $W(k)=O(k\ln k)$ , och Binev bevisade att $W(k)=O(k)$ . Sendov gissade att $W(k)\leq 1$ för alla $k$ , och kunde 1985 bevisa att Whitney-konstanterna är avgränsade ovanför av en absolut konstant, dvs. , $W(k)\leq 6$ för alla $k$ . Kryakin, Gilewicz och Shevchuk (2002) kunde visa att $W(k)\leq 2$ för $k\leq 82000$ och att $W(k)\leq 2+{\frac {1}{e^{2}}}$ för alla $k$ .