Isentropiskt munstycksflöde

Isentropiskt munstycksflöde beskriver rörelsen av en gas eller vätska genom en avsmalnande öppning utan en ökning eller minskning av entropin .

Översikt

Närhelst en gas tvingas genom ett rör, avleds de gasformiga molekylerna av rörets väggar. Om gasens hastighet är mycket lägre än ljudets hastighet kommer gasdensiteten att förbli konstant och flödets hastighet ökar. Men när flödeshastigheten närmar sig ljudhastigheten kompressibilitetseffekter på gasen beaktas. Gasens densitet blir positionsberoende . Medan man överväger flöde genom ett rör, om flödet komprimeras mycket gradvis (dvs. arean minskar) och sedan gradvis expanderar (dvs. arean ökar), återställs flödesförhållandena (dvs. återgår till sitt ursprungliga läge). Så en sådan process är en reversibel process. Enligt den andra termodynamikens lag , närhelst det finns ett reversibelt och adiabatiskt flöde, upprätthålls ett konstant värde på entropin. Ingenjörer klassificerar denna typ av flöde som ett isentropiskt flöde av vätskor. Isentropisk är kombinationen av det grekiska ordet "iso" (som betyder - samma) och entropi.

När förändringen i flödesvariabler är liten och gradvis uppstår isentropiska flöden. Genereringen av ljudvågor är en isentropisk process. Ett överljudsflöde som vänds medan det finns en ökning av flödesarean är också isentropiskt. Eftersom det finns en ökning i arean, därför kallar vi detta en isentropisk expansion . Om ett överljudsflöde vrids abrupt och flödesarean minskar, är flödet irreversibelt på grund av genereringen av stötvågor . De isentropiska relationerna är inte längre giltiga och flödet styrs av de sneda eller normala chockförhållandena .

Stagnationsegenskaper

Entalpi-entropidiagram över stagnationstillstånd

Inom vätskedynamik är en stagnationspunkt en punkt i ett flödesfält där vätskans lokala hastighet är noll. Det isentropiska stagnationstillståndet är det tillstånd som en strömmande vätska skulle uppnå om den genomgick en reversibel adiabatisk retardation till nollhastighet. Det finns både faktiska och isentropiska stagnationstillstånd för en typisk gas eller ånga. Ibland är det fördelaktigt att göra en skillnad mellan det faktiska och det isentropiska stagnationstillståndet. Det faktiska stagnationstillståndet är det tillstånd som uppnås efter en faktisk retardation till nollhastighet (som vid nosen av en kropp placerad i en vätskeström), och det kan finnas irreversibilitet i samband med retardationsprocessen. Därför är termen "stagnationsegenskap" ibland reserverad för de egenskaper som är associerade med det faktiska tillståndet, och termen total egendom används för det isentropiska stagnationstillståndet. Entalpin är densamma för både faktiska och isentropiska stagnationstillstånd (förutsatt att den faktiska processen är adiabatisk) . För en idealgas är därför den faktiska stagnationstemperaturen densamma som den isentropiska stagnationstemperaturen. Det faktiska stagnationstrycket kan dock vara mindre än det isentropiska stagnationstrycket. Av denna anledning har termen "totaltryck" (som betyder isentropiskt stagnationstryck) en speciell betydelse jämfört med det faktiska stagnationstrycket.

Flödesanalys

Den isentropiska effektiviteten är ${\frac {h_{1}-h_{2a}}{h_{1}-h_{2}}}$ . Variationen av fluiddensitet för komprimerbara flöden kräver uppmärksamhet på densitet och andra fluidegenskapsförhållanden. Vätskeekvationen för tillstånd , ofta oviktig för inkompressibla flöden, är avgörande i analysen av kompressibla flöden. Dessutom är temperaturvariationer för komprimerbara flöden vanligtvis signifikanta och därför är energiekvationen viktig. Konstiga fenomen kan uppstå med komprimerbara flöden.

För enkelhetens skull antas gasen vara en idealisk gas.
Gasflödet är isentropiskt.
Gasflödet är konstant.
Gasflödet är längs en rak linje från gasinlopp till avgasutgång.
Gasflödesbeteendet är komprimerbart.

Det finns många applikationer där ett jämnt, enhetligt, isentropiskt flöde är en bra approximation av flödet i ledningar. Dessa inkluderar flödet genom en jetmotor , genom munstycket på en raket, från en trasig gasledning och förbi bladen på en turbin.

 Machtal = M Hastighet = V Universalgaskonstant = R Tryck = p Specifik värmeförhållande = k Temperatur = T * = Ljudförhållanden Densitet =  $\rho$  Area = A Molar massa =  $M_{m }$

Energiekvationen för det stadiga flödet:

 $q_{net}+h+{\frac {{\vec {V}}^{2}} {2}}=w_{net}+h_{o}+{\frac {{\vec {V}}_{o}^{2}}{2}}$

För att modellera sådana situationer, överväga kontrollvolymen i det föränderliga området av ledningen i fig. Kontinuitetsekvationen mellan två sektioner ett oändligt litet avstånd dx från varandra är

 $\rho AV=(\rho +d\rho )(A+dA)(V+dV)$

Om endast första ordningens termer i en differentiell kvantitet behålls, tar kontinuiteten formen

 ${\frac {dV}{V}}+{\frac {dA}{A}}+{\frac {d\rho }{\rho }} =0$

Energiekvationen är:

 ${\frac {V^{2}}{2} }+{\frac {k}{k-1}}\cdot {\frac {p}{\rho }}={\frac {\left(V+dV\right)^{2}}{2}} +{\frac {k}{k-1}}\cdot {\frac {p+dp}{\rho +d\rho }}$

Stadigt, enhetligt, isentropiskt flöde genom en ledning

Detta förenklar att, om man försummar termer av högre ordning,:

                            $VdV+{\frac {k}{k-1}}\cdot {\frac {\rho dp-pd\rho }{ \rho ^{2}}}=0$

Om man antar ett isentropiskt flöde blir energiekvationen:

                            $VdV+{\frac {k\cdot p}{\rho ^{2}}}\cdot d\rho =0$

Ersätt från kontinuitetsekvationen för att erhålla

                                  ${\frac {dV}{V}}\cdot \left({\frac {\rho V^{2}}{kp} }-1\right)={\frac {dA}{A}}$

eller, i termer av Mach-talet :

                                         ${\frac {dV}{V}}\cdot \left(M^{2}-1\right)={\frac {dA}{ A}}$

Denna ekvation gäller ett jämnt, enhetligt, isentropiskt flöde. Det finns flera observationer som kan göras från en analys av ekv. (9,26). Dom är:

För ett subsoniskt flöde i en expanderande ledning (M <1 och dA>0), är flödet bromsande (dV <0).
För ett subsoniskt flöde i en konvergerande ledning (M <1 och dA <0), accelererar flödet (dV >0).
För ett överljudsflöde i en expanderande ledning (M >1 och dA >0), accelererar flödet (dV >0).
För ett överljudsflöde i en konvergerande ledning (M >1 och dA <0), retarderar flödet (dV <0).
Vid en hals där dA =0, antingen M =1 eller dV =0 (flödet kan accelerera genom M =1, eller så kan det nå en hastighet så att dV =0).

Överljudsflöde

Fig: Ett överljudsmunstycke

Ett munstycke för ett överljudsflöde måste öka i area i flödesriktningen, och en diffusor måste minska i area, mitt emot ett munstycke och diffusor för ett subsoniskt flöde. Så för att ett överljudsflöde ska utvecklas från en reservoar där hastigheten är noll, måste subljudsflödet först accelerera genom ett konvergerande område till en hals, följt av fortsatt acceleration genom ett förstorande område.

Munstyckena på en raket utformade för att placera satelliter i omloppsbana är konstruerade med sådan konvergerande-divergerande geometri. Energi- och kontinuitetsekvationerna kan anta särskilt användbara former för det stadiga, enhetliga, isentropiska flödet genom munstycket. Applicera energiekvationen med Q_ W_S 0 mellan reservoaren och någon plats i munstycket för att få

                                                $c_{p}\cdot T_{o}={\frac {V^{2}}{2}}+c_{p}\cdot T$

Varje kvantitet med en noll nedsänkt hänvisar till en stagnationspunkt där hastigheten är noll, såsom i reservoaren. Med hjälp av flera termodynamiska relationer kan ekvationer sättas i formerna:


 ${\frac {T_{o}}{T}}=1+{\frac {k-1}{2}}M^{2}$  ${\frac {p_{o}}{p}}=\left(1+{\frac {k-1}{ 2}}M^{2}\höger)^{\left({\frac {k}{k-1}}\right)}$  ${\frac {\rho _{o}}{\rho }}=\left(1+{\frac {k-1}{2}}M^{2}\right)^{ \left({\frac {1}{k-1}}\right)}$

Om ovanstående ekvationer tillämpas vid halsen (det kritiska området betecknat med en Asterisk (*) upphöjd, där M =1), tar energiekvationen formerna

 

 ${\frac {T^{*}}{T_{o}}}={\frac {2}{k+1}}$  ${\frac {p^{*}}{p_{o}}}=\left({\frac {2}{k+1}}\right)^ {\left({\frac {k}{k-1}}\right)}$  ${\frac {\rho ^{* }}{\rho _{o}}}=\left({\frac {2}{k+1}}\right)^{\left({\frac {1}{k-1}}\right) }$

Det kritiska området refereras ofta även om en hals inte finns. För luft med k =1,4 ger ekvationerna ovan

 T* = 0,833333·T _o p* = 0,528282·p _o ρ* = 0,633938·ρ _o

Massflödet genom munstycket är av intresse och ges av:

      ${\dot {m}}=\rho AV={ \frac {p}{RT}}\cdot A\cdot M{\sqrt {kR_{specifik}T}}=p{\sqrt {kM_{m} \over RT}}AM$

Med användning av ekv. (9.28), kan massflödet, efter applicering av någon algebra, uttryckas som

                  ${\dot {m}}=p_{o}MA{ \sqrt {\frac {kM_{m}}{RT_{o}}}}\left(1+{\frac {k-1}{2}}M^{2}\right)^{\frac {k +1}{-2(k-1)}}$

Om det kritiska området väljs där M =1 tar detta formen

                        ${\dot {m}}=p_{o}A^{* }{\sqrt {\frac {kM_{m}}{RT_{o}}}}\left(1+{\frac {k-1}{2}}\right)^{\frac {k+1} {-2(k-1)}}$

som, i kombination med tidigare, ger:

${\frac {A}{A^{*}}}={ \frac {1}{M}}\left({\frac {k+1}{2+(k-1)\cdot M^{2}}}\right)^{\frac {k+1}{ -2(k-1)}}$

Konvergerande munstycke

Figur 1: Ett konvergerande munstycke

Överväg ett konvergerande munstycke som förbinder en reservoar med en mottagare. Om reservoartrycket hålls konstant och mottagartrycket reducerat kommer Mach-talet vid munstyckets utgång att öka tills Me=1 nås, vilket indikeras av den vänstra kurvan i figur 2. Efter Me =1 nås vid munstyckets utgång för $p_{r}=0,5283p_{0}$ uppstår tillståndet för strypt flöde och hastigheten genom hela munstycket kan inte ändras med ytterligare minskningar i $p_{r}$ . Detta beror på att tryckförändringar nedströms utgången inte kan färdas uppströms för att orsaka förändringar i flödesförhållandena. Den högra kurvan i figur 2 representerar fallet när reservoartrycket ökas och mottagartrycket hålls konstant. När $M_{e}=1$ uppträder även tillståndet för strypt flöde; men ekv indikerar att massflödet kommer att fortsätta att öka när $p_{0}$ ökas. Detta är fallet när en gasledning går sönder.

Figur 2: Tryckvariationen i munstycket.

Det är intressant att utgångstrycket $p_{e}$ kan vara större än mottagartrycket $p_{r}$ . Naturen tillåter detta genom att ge strömlinjerna för en gas förmågan att göra en plötslig riktningsändring vid utgången och expandera till ett mycket större område vilket resulterar i en minskning av trycket från p e {\displaystyle p_{ $}$ till $p_{r}$ . Fallet med ett konvergerande-divergerande munstycke tillåter ett överljudsflöde, förutsatt att mottagartrycket är tillräckligt lågt. Detta visas i figur 3 med antagande av ett konstant reservoartryck med ett minskande mottagartryck. Om mottagartrycket är lika med reservoartrycket sker inget flöde, representerat av kurva $A$ . Om pr är något mindre än p_0 är flödet underljud genomgående, med ett minimitryck i strupen, representerat av kurva B. När trycket sänks ytterligare nås ett tryck som resulterar i M =1 i strupen med underljud flöde genom resten av munstycket. Det finns ett annat mottagartryck väsentligt under det för kurva C som också resulterar i isentropiskt flöde genom munstycket, representerat av kurva D; efter halsen är flödet överljud. Trycken i mottagaren mellan de för kurva C och kurva D resulterar i icke-isentropiskt flöde (en stötvåg uppstår i flödet). Om pr är under kurvan D är utgångstrycket pe större än pr. Återigen, för mottagartryck under det för kurva C, förblir massflödet konstant eftersom förhållandena vid halsen förblir oförändrade. Det kan tyckas att överljudsflödet tenderar att separera från munstycket, men precis tvärtom är sant. Ett överljudsflöde kan vända mycket skarpa vinklar, eftersom naturen ger expansionsfläktar som inte finns i subsoniska flöden. För att undvika separation i subsoniska munstycken bör expansionsvinkeln inte överstiga 10°. Vid större vinklar används vingar så att vinkeln mellan vingarna inte överstiger 10°.

Figur 3: Ett konvergerande-divergerande munstycke med fixerat reservoartryck.

Se även

Colbert, Elton J. Isentropic Flow Through Nozzles . University of Nevada, Reno . 3 maj 2001. Öppnad 15 juli 2014.
Benson, Tom. " Isentropiskt flöde ". NASA.gov . National Aeronautics and Space Administration. 21 juni 2014. Öppnad 15 juli 2014.
Bar-Meir, Genick. " Isenotropiskt flöde ". Arkiverad 2015-02-26 på Wayback Machine Potto.org . Potto projekt. 21 november 2007. Öppnad 15 juli 2014.