Introduktion till 3-grenrör
Introduktion till 3-manifolds är en matematikbok om lågdimensionell topologi . Den skrevs av Jennifer Schultens och publicerades av American Mathematical Society 2014 som volym 151 av deras bokserie Graduate Studies in Mathematics .
Ämnen
Ett grenrör är ett utrymme vars topologi, nära någon av dess punkter, är densamma som topologin nära en punkt i ett euklidiskt utrymme ; dock kan dess globala struktur vara icke-euklidisk. Bekanta exempel på tvådimensionella grenrör inkluderar sfären , torusen och Klein-flaskan ; denna bok koncentrerar sig på tredimensionella grenrör och på tvådimensionella ytor inom dem. Ett särskilt fokus är en Heegaard splitting , en tvådimensionell yta som delar upp ett 3-grenrör i två handtag . Den syftar till att presentera huvudidéerna för detta område, men innehåller inte detaljerade bevis för många av resultaten som den anger, i många fall eftersom dessa bevis är långa och tekniska.
Boken har sju kapitel. De två första är inledande och tillhandahåller material om grenrör i allmänhet, Hauptvermutung som bevisar existensen och likvärdigheten av trianguleringar för lågdimensionella grenrör, klassificeringen av tvådimensionella ytor , täckande utrymmen och kartläggningsklassgruppen . Det tredje kapitlet inleder bokens material om 3-grenrör, och om nedbrytning av grenrör till mindre utrymmen genom att skära dem längs ytor. säger den tredimensionella Schoenflies-satsen att skärning av det euklidiska rummet med en sfär bara kan producera två topologiska bollar; en analog teorem av JW Alexander säger att åtminstone en sida av varje torus i det euklidiska rymden måste vara en solid torus . Men för mer komplicerade grenrör kan skärning längs inkompressibla ytor användas för att konstruera JSJ-nedbrytningen av ett grenrör. Detta kapitel innehåller också material om Seifert-fiberutrymmen . Kapitel fyra handlar om knutteori , knutinvarianter , tunn position och relationen mellan knutar och deras invarianter till grenrör via knutkomplement , underrymden av det euklidiska rummet på andra sidorna av tori.
Recensenten Bruno Zimmermann kallar kapitel 5 och 6 för "bokens hjärta", även om recensenten Michael Berg inte håller med, och ser kapitel 4 om knutteori som mer centralt. Kapitel 5 diskuterar normala ytor , ytor som skär tetraedrarna i en triangulering av ett grenrör på ett kontrollerat sätt. Genom att parametrisera dessa ytor med hur många bitar av varje möjlig typ de kan ha inom varje tetraeder i en triangulering, kan man reducera många frågor om grenrör som igenkännandet av triviala knutar och triviala grenrör till frågor i talteori, om existensen av lösningar till vissa diofantiska ekvationer . Boken använder det här verktyget för att bevisa existensen och unikheten hos prime sönderdelningar av grenrör. Kapitel 6 handlar om Heegaard-klyvningar , ytor som delar ett givet grenrör i två handtag . Den inkluderar Reidemeisters och Singer teorem om vanliga förfiningar ("stabiliseringar") av Heegaard-klyvningar, reducerbarheten av klyvningar, det unika med klyvningar av ett givet släkte för det euklidiska rummet och Rubinstein-Scharlemann-grafiken, ett verktyg för att studera Heegaard-splittringar. .
Ett sista kapitel tar upp mer avancerade ämnen inklusive geometriseringsförmodan , Dehn-kirurgi , foliations , lamineringar och kurvkomplex . Det finns två bilagor, om allmän ståndpunkt och morseteori .
Publik och mottagning
Även om den är skriven i form av en lärobok för introduktionsnivå, presenterar den många nya utvecklingar, vilket gör den också av intresse för specialister inom detta område. En liten mängd bakgrund i allmän topologi behövs, och ytterligare förtrogenhet med algebraisk topologi och differentialgeometri kan vara till hjälp för att läsa boken. Många illustrationer och övningar ingår.
Recensenten Bruno Zimmermann konstaterar att boken "är skriven på ett trevligt och intuitivt sätt som gör den trevlig att läsa". Recensenten Michael Berg kallar den "en utmärkt bok som rikt illustrerar omfattningen av hennes valda ämne ... mycket välskriven, tydlig och tydlig i sin framställning".
Relaterad läsning
Andra relaterade böcker om matematiken för 3-grenrör inkluderar 3-grenrör av John Hempel (1976), Knots, links, braids and 3-manifolds av Victor V. Prasolov och Alexei B. Sosinskiĭ (1997), Algoritmisk topologi och klassificering av 3 -manifolds av Sergey V. Matveev (2nd ed., 2007), och en samling opublicerade föreläsningsanteckningar om 3-manifolds av Allen Hatcher .