Kärnmodell

I mängdteorin är kärnmodellen en definierbar inre modell av universum av alla mängder . Även om mängdteoretiker hänvisar till "kärnmodellen" är det inte ett unikt identifierat matematiskt objekt. Snarare är det en klass av inre modeller som under de rätta mängdteoretiska antagandena har mycket speciella egenskaper, framför allt täckande egenskaper . Intuitivt är kärnmodellen "den största kanoniska inre modellen som finns" (Ernest Schimmerling och John R. Steel ) och är typiskt förknippad med en stor kardinaluppfattning . Om Φ är en stor kardinaluppfattning, hänvisar frasen "kärnmodell under Φ" till den definierbara inre modellen som uppvisar de speciella egenskaperna under antagandet att det inte existerar en kardinal som uppfyller Φ. Kärnmodellprogrammet att bestämma kärnmodellerna under dem.

Historia

Den första kärnmodellen var Kurt Gödels konstruerbara universum L . Ronald Jensen bevisade det täckande lemmat för L på 1970-talet under antagandet om att noll skarpt inte existerade , och slog fast att L är "kärnmodellen under noll skarp". Solovays arbete isolerade en annan kärnmodell L [ U ], för U ett ultrafilter på en mätbar kardinal (och dess tillhörande "skarpa", nolldolk ). Tillsammans med Tony Dodd konstruerade Jensen kärnmodellen Dodd–Jensen ("kärnmodellen under en mätbar kardinal") och bevisade det täckande lemma för den och ett generaliserat täcklemma för L [ U ].

Mitchell använde koherenta sekvenser av åtgärder för att utveckla kärnmodeller som innehåller flera eller högre ordningens mätbara. Ännu senare använde stålkärnmodellen förlängare och iterationsträd för att konstruera en kärnmodell under en Woodin-kardinal .

Konstruktion av kärnmodeller

Kärnmodeller konstrueras genom transfinit rekursion från små fragment av kärnmodellen som kallas möss . En viktig ingrediens i konstruktionen är jämförelselemma som gör det möjligt att ge en välordning av de relevanta mössen.

På nivån med starka kardinaler och uppåt konstruerar man en mellanräkneligt certifierad kärnmodell K ^c , och extraherar sedan om möjligt K från K ^c .

Egenskaper hos kärnmodeller

K _c (och därmed K) är en finstrukturell, räknebart iterabel förlängningsmodell under långa förlängare. (Det är för närvarande inte känt hur man handskas med långa förlängare, som fastställer att en kardinal är superstark .) Här betyder räknebar iterabilitet ω ₁ +1 iterabilitet för alla räknebara elementära substrukturer av initiala segment, och det räcker för att utveckla grundläggande teori, inklusive vissa kondenseringsegenskaper. Teorin om sådana modeller är kanonisk och väl förstådd. De uppfyller GCH , diamantprincipen för alla stationära delmängder av vanliga kardinaler, kvadratprincipen (förutom vid subkompakta kardinaler ) och andra principer som håller i L.

K ^c är maximal i flera betydelser. K ^c beräknar efterföljarna av mätbara och många singulära kardinaler korrekt. Det förväntas också att under en lämplig försvagning av räknebar certifieringsförmåga, skulle Kc ^korrekt beräkna efterföljarna för alla svagt kompakta och singulära starka limitkardinaler korrekt. Om V är stängt under en musoperator (en inre modelloperator), så är Kc ^så . K ^c har ingen skarp: Det finns ingen naturlig icke-trivial elementär inbäddning av K ^c i sig själv. (Men till skillnad från K kan Kc ^vara elementärt självinbäddningsbar.)

Om det dessutom inte finns några Woodin-kardinaler i denna modell (förutom i vissa specifika fall, det är inte känt hur kärnmodellen ska definieras om K c har _Woodin -kardinaler), kan vi extrahera själva kärnmodellen K. K är också sin egen kärnmodell. K är lokalt definierbar och generiskt absolut: För varje generisk förlängning av V, för varje kardinal κ>ω ₁ i V[G], är K konstruerad i H(κ) av V[G] lika med K∩H(κ). (Detta skulle inte vara möjligt om K innehöll Woodin-kardinaler). K är maximal, universell och fullt iterabel. Detta innebär att för varje iterabel förlängningsmodell M (kallad mus) finns det en elementär inbäddning M→N och ett initialt segment av K till N, och om M är universellt är inbäddningen av K till M.

Det antas att om K existerar och V stängs under en skarp operator M, så är K Σ ¹ ₁ korrekt vilket tillåter reella tal i K som parametrar och M som ett predikat. Det motsvarar Σ ¹ ₃ korrekthet (i vanlig mening) om M är x→x ^# .

Kärnmodellen kan också definieras ovanför en viss uppsättning av ordningstal X: X tillhör K(X), men K(X) uppfyller de vanliga egenskaperna för K ovanför X. Om det inte finns någon iterabel inre modell med ω Woodin-kardinaler, då för vissa X existerar K(X). Ovanstående diskussion av K och Kc ^{generaliserar} till K(X) och Kc ⁽ X).

Konstruktion av kärnmodeller

Gissa:

• Om det inte finns någon ω ₁ +1 iterabel modell med långa förlängare (och därmed modeller med superstarka kardinaler), så existerar ^{Kc .}
• Om K ^c existerar och som konstruerats i varje generisk förlängning av V (motsvarande, under någon generisk kollaps Coll(ω, <κ) för en tillräckligt stor ordinär κ) uppfyller "det finns inga Woodin-kardinaler", så existerar kärnmodellen K.

Delresultat för gissningarna är att:

1. Om det inte finns någon inre modell med en Woodin-kardinal, så finns K.
2. Om (fetstil) Σ ¹ _n bestämning (n är finit) gäller i varje generisk förlängning av V, men det finns ingen iterabel inre modell med n Woodin-kardinaler, så finns K.
3. existerar antingen K ^{c under κ, eller så finns det en ω} ₁ +1 iterabel modell med en mätbar gräns λ för både Woodin-kardinaler och kardinaler starkt upp till λ.

Om V har Woodin-kardinaler men inte kardinaler som är starka förbi en Woodin, kan K under lämpliga omständigheter (en kandidat för) konstrueras genom att konstruera K under varje Woodin-kardinal (och under klassen för alla ordinaler) κ men över den K som konstruerad under Woodin-kardinalernas överhöghet under κ. Kandidatens kärnmodell är inte helt iterabel (iterabilitet misslyckas hos Woodin-kardinaler) eller generiskt absolut, men beter sig i övrigt som K.

• W. Hugh Woodin (juni/juli 2001). [1] . Meddelanden från AMS.
• William Mitchell. "Beginning Inner Model Theory" (är kapitel 17 i volym 3 av "Handbook of Set Theory") vid [2] .
•   Matthew Foreman och Akihiro Kanamori (redaktörer). "Handbook of Set Theory", Springer Verlag, 2010, ISBN 978-1402048432 .
• Ronald Jensen och John R. Steel. "K utan det mätbara". Journal of Symbolic Logic Volym 78, Issue 3 (2013), 708-734.