Solovay modell

Inom det matematiska området för mängdlära är Solovay -modellen en modell konstruerad av Robert M. Solovay ( 1970 ) där alla axiomen i Zermelo–Fraenkels mängdlära (ZF) gäller, exklusive valets axiom , men där alla uppsättningar av reella tal är Lebesgue-mätbara . Konstruktionen bygger på att det finns en otillgänglig kardinal .

På detta sätt visade Solovay att i beviset på existensen av en icke-mätbar mängd från ZFC (Zermelo–Fraenkel mängdteorin plus valets axiom), är valets axiom väsentligt, åtminstone givet att existensen av en otillgänglig kardinal överensstämmer med ZFC.

Påstående

ZF står för Zermelo–Fraenkel mängdteori och DC för axiomet för beroende val .

Solovays sats är följande. Om man antar att det finns en otillgänglig kardinal, finns det en inre modell av ZF + DC av en lämplig tvingande förlängning V [ G ] så att varje uppsättning reals är Lebesgue-mätbar, har den perfekta uppsättningsegenskapen och har Baire-egenskapen .

Konstruktion

Solovay konstruerade sin modell i två steg, som började med en modell M av ZFC som innehöll en otillgänglig kardinal κ.

Det första steget är att ta en Levy-kollaps M [ G ] av M genom att lägga till en generisk mängd G för begreppet forcering som kollapsar alla kardinaler mindre än κ till ω. Sedan M [ G ] en modell av ZFC med egenskapen att varje uppsättning av realer som är definierbar över en räknebar ordningsföljd är Lebesgue-mätbar och har egenskaperna Baire och perfekt uppsättning. (Detta inkluderar alla definierbara och projektiva uppsättningar av realer, men av skäl som är relaterade till Tarskis odefinierbarhetsteorem kan begreppet en definierbar uppsättning av realer inte definieras i mängdteorin, medan begreppet en uppsättning realer som kan definieras över en räknebar sekvens ordningstal kan vara.)

Det andra steget är att konstruera Solovays modell N som klassen av alla mängder i M [ G ] som är ärftligt definierbara över en räknebar ordningsföljd. Modellen N är en inre modell av M [ G ] som uppfyller ZF + DC så att varje uppsättning reals är Lebesgue-mätbar, har den perfekta uppsättningsegenskapen och har Baire-egenskapen. Beviset för detta använder det faktum att varje reell i M [ G ] är definierbar över en räknebar ordningsföljd, och därför har N och M [ G ] samma reella.

Istället för att använda Solovays modell N kan man också använda den mindre inre modellen L ( R ) av M [ G ], bestående av den konstruerbara stängningen av de reella talen, som har liknande egenskaper.

Kompletterar

Solovay föreslog i sin tidning att användningen av en otillgänglig kardinal kanske inte var nödvändig. Flera författare bevisade svagare versioner av Solovays resultat utan att anta existensen av en otillgänglig kardinal. I synnerhet Krivine (1969) visade att det fanns en modell av ZFC där varje ordinaldefinierbar uppsättning av reals är mätbar, Solovay visade att det finns en modell av ZF + DC där det finns någon translationsinvariant utvidgning av Lebesgue-måttet till alla delmängder av realerna, och Shelah (1984) visade att det finns en modell där alla uppsättningar av realer har Baire-egenskapen (så att den otillgängliga kardinalen verkligen är onödig i detta fall).

Fallet med egenskapen perfekt uppsättning löstes av Specker (1957), som visade (i ZF) att om varje uppsättning av realer har den perfekta uppsättningsegenskapen och den första oräkneliga kardinalen ℵ ₁ är regelbunden så är ℵ ₁ otillgänglig i det konstruerbara universum . I kombination med Solovays resultat visar detta att uttalandena "Det finns en otillgänglig kardinal" och "Varje uppsättning av realer har den perfekta uppsättningsegenskapen" är ekvikonsistenta över ZF.

Slutligen visade Shelah (1984) att konsistens hos en otillgänglig kardinal också är nödvändig för att konstruera en modell där alla uppsättningar av reals är Lebesgue-mätbara. Mer exakt visade han att om varje Σ
¹₃ uppsättning av reella värden är mätbar så är den första oräkneliga kardinal ℵ ₁ otillgänglig i det konstruerbara universum, så att villkoret om en otillgänglig kardinal inte kan tas bort från Solovays teorem. Shelah visade också att Σ
¹₃ -tillståndet är nära det bästa möjliga genom att konstruera en modell (utan att använda en otillgänglig kardinal) där alla Δ
¹₃ -uppsättningar av reella värden är mätbara. Se Raisonnier (1984) och Stern (1985) och Miller (1989) för beskrivningar av Shelahs resultat.

Shelah & Woodin (1990) visade att om superkompakta kardinaler existerar så är varje uppsättning reals i L ( R ), de konstruerbara uppsättningarna som genereras av realerna, mätbara Lebesgue och har Baire-egenskapen; detta inkluderar alla "rimligen definierbara" uppsättningar av reals.

Krivine, Jean-Louis (1969), "Modèles de ZF + AC dans lesquels tout ensemble de réels définissable en termes d'ordinaux est mesurable-Lebesgue", Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Série A et B , 269 : A549 –A552, ISSN 0151-0509 , MR 0253894
Krivine, Jean-Louis (1971), "Théorèmes de consistance en théorie de la mesure de R. Solovay" , Séminaire Bourbaki vol. 1968/69 Exposés 347-363 , Lecture Notes in Mathematics, vol. 179, s. 187–197, doi : 10.1007/BFb0058812 , ISBN 978-3-540-05356-9
Miller, Arnold W. (1989), "Recension av "Can You Take Solovay's Inaccessible Away? av Saharon Shelah" ", The Journal of Symbolic Logic , Association for Symbolic Logic, 54 (2): 633–635, doi : 10.2307/2274892 , ISSN 0022-4812 , JSTOR 2274892
Raisonnier, Jean (1984), "Ett matematiskt bevis för S. Shelahs teorem om måttet problem och relaterade resultat." Israel Journal of Mathematics , 48 : 48–56, doi : 10.1007/BF02760523 , MR 0768265
Shelah, Saharon (1984), "Can you take Solovay's inaccessible away?", Israel Journal of Mathematics , 48 (1): 1–47, doi : 10.1007/BF02760522 , ISSN 0021-2172 , MR 476826
Shelah, Saharon ; Woodin, Hugh (1990), "Stora kardinaler antyder att varje rimligt definierbar uppsättning reals är Lebesgue-mätbar", Israel Journal of Mathematics , 70 ( 3): 381–394, doi : 10.1007 /BF02801471 , ISSN 17021-9
Solovay, Robert M. (1970), "A model of set-theory in which every set of reals is Lebesgue measurable", Annals of Mathematics , Second Series, 92 (1): 1–56, doi : 10.2307/1970696 , ISSN 0003-486X , JSTOR 1970696 , MR 0265151
Specker, Ernst (1957), "Zur Axiomatik der Mengenlehre (Fundierungs- und Auswahlaxiom)", Zeitschrift für Mathematische Logik und Grundlagen der Mathematik , 3 ( 13–20 ): 173–210, doi : 10.1002/malq.19570003 ISSN . -3050 , MR 0099297
Stern, Jacques (1985), "Le problème de la mesure", Astérisque (121): 325–346, ISSN 0303-1179 , MR 0768968