Globalt hyperboliskt mångfald

Inom matematisk fysik är global hyperbolicitet ett visst tillstånd på kausalstrukturen för ett mångfald i rumstid (det vill säga ett grenrör från Lorentz). Det kallas hyperbolisk eftersom det grundläggande tillståndet som genererar den Lorentziska mångfalden är

• $t^{2}-r^{2}=T^{2}$

(t och r är de vanliga variablerna för tid och radie) vilket är en av de vanliga ekvationerna som representerar en hyperbel . Men detta uttryck är bara sant i förhållande till det vanliga ursprunget; den här artikeln skisserar sedan grunder för att generalisera konceptet till valfritt par av punkter i rumtiden. Detta är relevant för Albert Einsteins allmänna relativitetsteori , och potentiellt för andra metriska gravitationsteorier.

Definitioner

Det finns flera motsvarande definitioner av global hyperbolicitet. Låt M vara ett jämnt förbundet Lorentziskt grenrör utan gräns. Vi gör följande preliminära definitioner:

• M är inte helt ond om det finns åtminstone en punkt så att ingen sluten tidsliknande kurva passerar genom den.
• M är kausal om den inte har några slutna kausala kurvor.
• M är icke-totalt fängslande om ingen oförlänglig kausalkurva finns i en kompakt uppsättning. Denna egenskap antyder kausalitet.
• M är starkt kausal om det för varje punkt p och någon grannskap U av p finns en kausalt konvex grannskap V av p som finns i U , där kausal konvexitet betyder att varje kausal kurva med ändpunkter i V är helt innesluten i V . Denna egendom innebär icke-totalt fängelse.
• Givet någon punkt p i M , $J^{+}(p)$ [resp. $J^{-}(p)$ ] är samlingen av punkter som kan nås av en framtidsriktad [resp. past-directed] kontinuerlig kausal kurva från p .
• Givet en delmängd S av M , är beroendedomänen för S mängden av alla punkter p i M så att varje oförlänglig kausalkurva genom p skär S .
• En delmängd S av M är akronal om ingen tidsliknande kurva skär S mer än en gång.
• En Cauchy-yta för M är en sluten akronal uppsättning vars beroendedomän är M .

Följande villkor är likvärdiga:

1. Rymdtiden är kausal, och för varje par av punkter p och q i M är utrymmet för kontinuerliga framtidsriktade kausala kurvor från p till q kompakt i ${\mathcal {C}}^{0}$ topologi.
2. Rumtiden har en Cauchy-yta.
3. Rymdtiden är kausal, och för varje par av punkter p och q i M , delmängden $J^{-}(p)\cap J^{+}(q )$ är kompakt.
4. Rymdtiden är icke-total fängelse, och för varje par av punkter p och q i M , delmängden ${J^{-}(p)\cap J^{ +}(q)}$ ingår i en kompakt uppsättning (det vill säga dess stängning är kompakt).

Om något av dessa villkor är uppfyllt, säger vi att M är globalt hyperbolisk . Om M är ett jämnt sammankopplat Lorentziskt grenrör med gräns, säger vi att det är globalt hyperboliskt om dess inre är globalt hyperboliskt.

Andra ekvivalenta karaktäriseringar av global hyperbolicitet använder sig av begreppet Lorentziskt avstånd $d(p,q):=\sup _{\gamma }l(\gamma )$ där supremum tas över alla $C^{1}$ kausala kurvor som förbinder punkterna (enligt konvention d=0 om det inte finns någon sådan kurva). Dom är

• En starkt kausal rumtid för vilken $d$ är ändligt värderad.
• En icke-total fängslande rumtid så att $d$ är kontinuerlig för varje metriskt val i den konforma klassen för det ursprungliga måttet.

Anmärkningar

Global hyperbolicitet, i den första formen ovan, introducerades av Leray för att överväga hur Cauchy-problemet är välplacerat för vågekvationen på grenröret. 1970 bevisade Geroch likvärdigheten mellan definitionerna 1 och 2. Definition 3 under antagandet om stark kausalitet och dess likvärdighet med de två första gavs av Hawking och Ellis.

Som nämnts, i äldre litteratur, ersätts tillståndet för kausalitet i den första och tredje definitionen av global hyperbolicitet som ges ovan med det starkare tillståndet för stark kausalitet . 2007 visade Bernal och Sánchez att villkoret stark kausalitet kan ersättas med kausalitet. I synnerhet är varje globalt hyperboliskt grenrör som definieras i 3 starkt kausalt. Senare bevisade Hounnonkpe och Minguzzi att för ganska rimliga rumstider, närmare bestämt de med dimensioner större än tre som är icke-kompakta eller icke-helt ondskefulla, kan det "kausala" tillståndet tas bort från definition 3.

I definition 3 verkar stängningen av $J^{-}(p)\cap J^{+}(q)$ stark (i själva verket är stängningarna av uppsättningarna $J^{\pm }(p)$ antyder kausal enkelhet , nivån på kausalhierarkin av rumtider som ligger strax under global hyperbolicitet). Det är möjligt att lösa detta problem genom att stärka kausalitetsvillkoret som i definition 4 som Minguzzi föreslog 2009. Denna version klargör att global hyperbolicitet sätter ett kompatibilitetsvillkor mellan orsakssambandet och begreppet kompakthet: varje kausal diamant ingår i en kompakt uppsättning och varje oförlänglig kausalkurva undkommer kompakta uppsättningar. Observera att ju större familj av kompakta uppsättningar desto lättare är det för kausala diamanter att finnas i en kompakt uppsättning, men desto svårare för kausala kurvor att undvika kompakta uppsättningar. Sålunda skapar global hyperbolicitet en balans mellan mängden kompakta mängder i förhållande till kausalstrukturen. Eftersom finare topologier har mindre kompakta mängder kan vi också säga att balansen är på antalet öppna mängder givet orsakssambandet. Definition 4 är också robust under störningar av metriken (vilket i princip skulle kunna introducera stängda kausala kurvor). Med den här versionen har det faktiskt visat sig att global hyperbolicitet är stabil under metriska störningar.

2003 visade Bernal och Sánchez att varje globalt hyperboliskt grenrör M har en slät inbäddad tredimensionell Cauchy-yta, och dessutom att två Cauchy-ytor för M är diffeomorfa. I synnerhet M diffeomorf till produkten av en Cauchy-yta med $\mathbb {R}$ . Det var tidigare välkänt att vilken Cauchy-yta som helst av ett globalt hyperboliskt grenrör är ett inbäddat tredimensionellt $C^{0}$ -undergrenrör, varav två är homeomorfa, och så att grenröret delas topologiskt som produkten av Cauchy-ytan och $\mathbb {R}$ . I synnerhet är ett globalt hyperboliskt grenrör folierat av Cauchy-ytor.

Med tanke på den initiala värdeformuleringen för Einsteins ekvationer, ses global hyperbolicitet vara ett mycket naturligt tillstånd i samband med allmän relativitetsteori, i den meningen att givet godtyckliga initiala data, det finns en unik maximal globalt hyperbolisk lösning av Einsteins ekvationer.

Se även

• Kausalitetsförhållanden
• Orsaksstruktur
• Ljuskon

•   Hawking, Stephen; Ellis, GFR (1973). Den storskaliga strukturen av rum-tid . Cambridge: Cambridge University Press . ISBN 0-521-09906-4 .
•   Wald, Robert M. (1984). Allmän relativitet . Chicago: University of Chicago Press . ISBN 0-226-87033-2 .