Info-gap beslutsteori

Info-gap-beslutsteori strävar efter att optimera robustheten mot fel under svår osäkerhet , i synnerhet genom att tillämpa känslighetsanalys av typen stabilitetsradie på störningar i värdet av en given uppskattning av parametern av intresse. Den har vissa samband med Walds maximin-modell ; vissa författare särskiljer dem, andra anser dem vara instanser av samma princip.

Den har utvecklats av Yakov Ben-Haim och har hittat många tillämpningar och beskrivs som en teori för beslutsfattande under " svår osäkerhet". Det har kritiserats som olämpligt för detta ändamål, och alternativ har föreslagits, inklusive sådana klassiska metoder som robust optimering .

Sammanfattning

Info-gap är en teori: det hjälper till i beslut under osäkerhet. Den gör detta genom att använda modeller, var och en byggd på den sista. Man börjar med en modell för situationen, där någon parameter eller parametrar är okända. Sedan tar man en uppskattning för parametern, och man analyserar hur känsliga utfallen under modellen är för felet i denna uppskattning .

Osäkerhetsmodell

Med utgångspunkt från skattningen mäter en osäkerhetsmodell hur långt bort andra värden på parametern är: när osäkerheten ökar ökar värdena.

Robusthets-/möjlighetsmodell

Givet en osäkerhetsmodell, hur osäker kan du vara och vara säker på att lyckas för varje beslut? ( robusthet ) Dessutom, givet ett oväntat fall, hur osäker måste du vara för att detta resultat ska vara rimligt? ( opportuneness )

Beslutsmodell

Man optimerar robustheten utifrån modellen. Givet ett utfall, vilket beslut kan stå emot mest osäkerhet och ge utfallet? Också, givet en oväntad, vilket beslut kräver minst osäkerhet för resultatet?

Modeller

Infogap-teori modellerar osäkerhet som delmängder ${\mathcal {U}}(\alpha ,{\tilde {u}})$ runt en punktuppskattning ${\tilde {u}}$ : uppskattningen är korrekt och osäkerheten ökar, i allmänhet utan begränsning. Osäkerheten mäter " avståndet " mellan en uppskattning och en rimlighet – ger ett mellanmått mellan en punkt (punktuppskattningen ) och alla rimligheter, och ger ett känslighetsmått: vad är felmarginalen ?

Informationsgapanalys ger svar på sådana frågor som:

• under vilken osäkerhetsnivå kan specifika krav på ett tillförlitligt sätt säkerställas (robusthet), och
• vilken osäkerhetsnivå som är nödvändig för att uppnå vissa oväntade fall (opportuneness).

Den kan användas för att tillfredsställa , som ett alternativ till att optimera i närvaro av osäkerhet eller begränsad rationalitet ; se robust optimering för ett alternativt tillvägagångssätt.

Jämförelse med klassisk beslutsteori

Ytterligare information om alternativ: § Alternativ

I motsats till sannolikhetsbeslutsteori använder infogap-analys inte sannolikhetsfördelningar: den mäter avvikelsen av fel (skillnader mellan parametern och skattningen), men inte sannolikheten för utfall – i synnerhet skattningen u ~ $displaystyle {\tilde {u}}}$ är inte på något sätt mer eller mindre troligt än andra punkter, eftersom info-gap inte använder sannolikhet. Infogap, genom att inte använda sannolikhetsfördelningar, är robust genom att det inte är känsligt för antaganden om sannolikheter för utfall. Osäkerhetsmodellen inkluderar dock en föreställning om "närmare" och "mer avlägsna" utfall, och inkluderar därför vissa antaganden, och är inte lika robust som att bara ta hänsyn till alla möjliga utfall, som i minimax. Vidare betraktar den ett fixerat universum ${\mathfrak {U}},$ så det är inte robust mot oväntade (ej modellerade) händelser.

Kopplingen till minimax- analys har orsakat vissa kontroverser: (Ben-Haim 1999, s. 271–2) hävdar att info-gaps robusthetsanalys, även om den liknar på vissa sätt, inte är minimax worst-case-analys, eftersom den inte utvärderar beslut över alla möjliga utfall, medan (Sniedovich, 2007) hävdar att robusthetsanalysen kan ses som ett exempel på maximin (inte minimax). Detta diskuteras i kritik nedan och utvecklas i det klassiska beslutsteoretiska perspektivet .

Grundläggande exempel: budget

Som ett enkelt exempel, betrakta en arbetare. De räknar med att tjäna $20 per vecka, medan om de tjänar under $15 kommer de inte att kunna arbeta och kommer att sova på gatan, annars har de råd med en natts underhållning.

Använder absolut felmodell:

där ${\tilde {u}}=\$20,$ kan man säga att robustheten är $15, och lämpligheten är $20: om de tjänar $20, kommer de inte att sova hårt eller festa, och om de tjänar inom $20 av $200. Men om de gjorde fel med $20, kan de sova dåligt, medan för mer än $30, kan de hitta på att äta i överflöd.

Detta exempel är som sagt endast beskrivande och möjliggör inte något beslutsfattande – i ansökningar beaktar man alternativa beslutsregler, och ofta situationer med mer komplex osäkerhet.

Arbetaren funderar på att flytta någon annanstans, där boendet är billigare. De kommer att tjäna $26 per vecka, men vandrarhem kostar $20, medan underhållning fortfarande kostar $170. I så fall blir robustheten $24, och lämpligheten kommer att vara $43. Det andra fallet har mindre robusthet och mindre lämplighet.

Men om man mäter osäkerhet med relativa fel,

robustheten är 20% och lämpligheten är 23%, medan robustheten i den andra är 38% och lämpligheten är 60%, så att flytta är mindre lämpligt.

Infogap modeller

Info-gap kan appliceras på utrymmen med funktioner; i så fall är den osäkra parametern en funktion $u(x),$ med uppskattning ${\tilde {u}}(x),$ och de kapslade delmängderna är uppsättningar av funktioner. Ett sätt att beskriva en sådan uppsättning funktioner är att kräva att värdena på u ligger nära värdena på ${\tilde {u}}$ för alla x, med hjälp av en familj av modeller med infogap på värdena .

Till exempel blir bråkfelsmodellen ovan för värden bråkfelsmodellen för funktioner genom att lägga till en parameter x till definitionen:

${\mathcal {U}}(\alpha ,{\tilde {u}})=\left\{u(x) :\ |u(x)-{\tilde {u}}(x)|\leq \alpha {\tilde {u}}(x),\ {\mbox{för alla}}\ x\in X\right \},\ \ \ \alpha \geq 0.$

Mer generellt, om $U(\alpha ,y)$ är en familj av infogap-modeller av värden, så får man en info-gap-modell av funktioner på samma sätt:

${\mathcal {U} }(\alpha ,{\tilde {u}})=\left\{u(x):\ u(x)\in U(\alpha ,{\tilde {u}}(x)),\ {\ mbox{för alla}}\ x\in X\right\},\ \ \ \alpha \geq 0.$

Motivering

Det är vanligt att man fattar beslut under osäkerhet. Vad kan göras för att fatta bra (eller åtminstone bästa möjliga) beslut under förhållanden av osäkerhet? Info-gap robusthetsanalys utvärderar varje genomförbart beslut genom att fråga: hur mycket avvikelse från en uppskattning av ett parametervärde, funktion eller uppsättning är tillåten och ändå "garanterar" acceptabel prestanda? I vardagliga termer bestäms "robustheten" i ett beslut av storleken på avvikelsen från en uppskattning som ändå leder till prestation inom kraven när man använder det beslutet. Det är ibland svårt att bedöma hur mycket robusthet som behövs eller är tillräcklig. Men enligt info-gap-teorin är rangordningen av genomförbara beslut i termer av deras robusthet oberoende av sådana bedömningar.

Info-gap-teorin föreslår också en opportunitetsfunktion som utvärderar potentialen för oväntade utfall till följd av gynnsam osäkerhet.

Exempel: resursallokering

Resursfördelning

Anta att du är projektledare och övervakar två team: orange och vit. Vissa intäkter i slutet av året kommer att uppnås. Du har en begränsad tidsskala och du siktar på att bestämma hur dessa resurser ska placeras mellan orange och vitt, så att de totala intäkterna blir stora.

Inför osäkerhet

De faktiska intäkterna kan vara annorlunda. För osäkerhetsnivå kan vi definiera ett kuvert. Lägre osäkerhet skulle motsvara ett mindre kuvert.

Dessa kuvert kallas för infogap-modeller för osäkerhet , eftersom de beskriver ens förståelse av osäkerheten kring intäktsfunktionerna.

Vi kan hitta en modell för den totala intäkten. Figur 5 visar infogap-modellen för den totala intäkten.

Robusthet

Höga intäkter skulle vanligtvis ge en projektledare ledningens respekt, men om de totala intäkterna ligger under en viss tröskel kommer det att kosta projektledarens jobb. Vi kommer att definiera en sådan tröskel som en kritisk intäkt , eftersom totala intäkter under den kritiska intäkten kommer att betraktas som ett misslyckande.

Detta visas i figur 6. Om osäkerheten ökar kommer osäkerhetsramen att bli mer omfattande, för att inkludera instanser av den totala intäktsfunktionen som, för den specifika allokeringen, ger en intäkt som är mindre än den kritiska intäkten.

Robustheten mäter immuniteten hos ett beslut mot misslyckande. En robust satisficer är en beslutsfattare som föredrar val med högre robusthet.

Om, för någon allokering $q$ , korrelationen mellan den kritiska intäkten och robustheten illustreras, blir resultatet en graf som något liknar den i figur 7. Denna graf kallas robusthetskurvan för allokering $q$ , har två viktiga egenskaper som är gemensamma för (de flesta) robusthetskurvor:

1. Kurvan är icke-ökande. Detta fångar upp föreställningen att när högre krav (högre kritiska intäkter) finns, är det mer sannolikt att misslyckas med att nå målet (lägre robusthet). Detta är avvägningen mellan kvalitet och robusthet.
2. Vid den nominella intäkten, det vill säga när den kritiska intäkten är lika med intäkten enligt den nominella modellen (uppskattningen av intäktsfunktionerna), är robustheten noll. Detta eftersom en liten avvikelse från uppskattningen kan minska den totala intäkten.

Beslutet beror på värdet av ett misslyckande.

Möjlighet

Förutom hotet att förlora ditt jobb erbjuder den högsta ledningen dig en morot: om intäkterna är högre än vissa intäkter kommer du att belönas.

Om osäkerheten minskar kommer osäkerhetsramen att bli mindre omfattande, för att utesluta alla instanser av den totala intäktsfunktionen som för den specifika allokeringen ger en intäkt som är högre än oväntad intäkt.

Om vi ​​för någon allokering $q$ illustrerar korrelationen mellan oväntad intäkt och robustheten, kommer vi att ha en graf som något liknar figur 10. Denna graf, kallad opportuneness curve of allocation $q$ , har två viktiga egenskaper som är gemensamma för (de flesta) möjligheterskurvor:

1. Kurvan är inte avtagande. Detta fångar uppfattningen att när vi har högre krav (högre oväntade intäkter) är vi mer immuna mot misslyckanden (högre möjligheter, vilket är mindre önskvärt). Det vill säga att vi behöver en mer betydande avvikelse från uppskattningen för att nå vårt ambitiösa mål. Detta är avvägningen mellan kvalitet och lämplighet.
2. Vid den nominella intäkten, det vill säga när den kritiska intäkten är lika med intäkten enligt den nominella modellen (vår uppskattning av intäktsfunktionerna), är lämpligheten noll. Detta eftersom ingen avvikelse från uppskattningen behövs för att uppnå oväntade intäkter.

Behandling av svår osäkerhet

Observera att utöver resultaten som genereras av uppskattningen, visas även två "möjliga" sanna värden för intäkten på avstånd från uppskattningen.

Som framgår av bilden, eftersom info-gap robusthetsmodell tillämpar sin Maximin-analys i en omedelbar närhet av skattningen, finns det ingen garanti för att analysen faktiskt utförs i närheten av det verkliga värdet av intäkten. Faktum är att under förhållanden av allvarlig osäkerhet är detta – metodologiskt sett – mycket osannolikt.

Detta väcker frågan: hur giltiga/användbara/meningsfulla är resultaten? Sopar vi inte osäkerhetens allvar under mattan?

Anta till exempel att en given allokering befinns vara mycket bräcklig i närheten av uppskattningen. Betyder detta att denna tilldelning är bräcklig även på andra håll i osäkerhetsregionen? Omvänt, vilken garanti finns det för att en allokering som är robust i närheten av uppskattningen också är robust på andra ställen i osäkerhetsregionen, faktiskt i närheten av det verkliga värdet av intäkten?

Mer fundamentalt, med tanke på att resultaten som genereras av infogap är baserade på en lokal intäkts-/fördelningsanalys i närheten av en uppskattning som sannolikt är väsentligt felaktig, har vi inget annat val – metodologiskt sett – än att anta att resultaten som genereras av denna analys är lika sannolikt väsentligt felaktiga. Med andra ord, i enlighet med det universella Garbage In - Garbage Out Axiom , måste vi anta att kvaliteten på resultaten som genereras av info-gaps analys bara är lika bra som kvaliteten på den uppskattning som resultaten baseras på.

Bilden talar för sig själv.

Vad som kommer fram är att teorin om informationsgap ännu inte har förklarat på vilket sätt, om något, den faktiskt försöker hantera allvaret av den osäkerhet som övervägs. Efterföljande avsnitt i den här artikeln kommer att ta upp detta allvarliga problem och dess metodologiska och praktiska konsekvenser.

En mer detaljerad analys av ett illustrativt numeriskt investeringsproblem av denna typ finns i Sniedovich (2007).

Osäkerhetsmodeller

Info-luckor kvantifieras genom info-gap-modeller av osäkerhet. En infogap-modell är en ogränsad familj av kapslade uppsättningar. Till exempel är ett ofta förekommande exempel en familj av kapslade ellipsoider som alla har samma form. Uppsättningarnas struktur i en infogap-modell härrör från informationen om osäkerheten. I allmänna termer väljs strukturen för en infogap-modell av osäkerhet för att definiera den minsta eller strängaste familjen av uppsättningar vars element överensstämmer med den tidigare informationen. Eftersom det vanligtvis inte finns något känt värsta fall, kan familjen av uppsättningar vara obegränsad.

Ett vanligt exempel på en infogap-modell är fraktionsfelsmodellen. Den bästa uppskattningen av en osäker funktion $u(x)\!\,$ är ${\tilde {u}}(x)$ , men bråkfelet för detta uppskattning är okänd. Följande ogränsade familj av kapslade uppsättningar funktioner är en informationsgapmodell med fraktionerad fel:

${\mathcal {U}}(\alpha ,{\tilde {u}})=\left\{u(x):\ |u (x)-{\tilde {u}}(x)|\leq \alpha {\tilde {u}}(x),\ {\mbox{för alla}}\ x\right\},\ \ \ \ alpha \geq 0$

Vid varje osäkerhetshorisont ${\displaystyle \alpha } innehåller$ mängden ${\mathcal {U}}(\alpha ,{\tilde {u}})$ alla funktioner $u(x)\!\,$ vars bråkdelsavvikelse från ${\tilde {u}}(x)$ inte är större än $\alpha$ . Osäkerhetshorisonten är dock okänd, så info-gap-modellen är en obegränsad familj av uppsättningar, och det finns inget värsta fall eller största avvikelse.

Det finns många andra typer av infogap-modeller av osäkerhet. Alla modeller med infogap följer två grundläggande axiom :

• Häckande. Infogap-modellen ${\mathcal {U}}(\alpha ,{\tilde {u}})$ kapslas om $\alpha <\alpha ^{\prime }$ innebär att:

${\mathcal {U}}(\alpha ,{\tilde {u}})\ \subseteq \ {\mathcal {U}}(\alpha ^{\prime },{\tilde {u}})$

• Sammandragning. Infogap-modellen $\displaystyle {\mathcal {U}}(0,{\tilde {u}})}$ är en singleton-uppsättning som innehåller dess mittpunkt:

${\mathcal {U}}(0,{\tilde {u}})=\{{\tilde {u}}\}$

Häckningsaxiomet ålägger egenskapen "klustring" som är karakteristisk för osäkerhet om infogap. Dessutom innebär häckningsaxiomet att osäkerhetsmängderna ${\mathcal {U}}(\alpha ,u)$ blir mer inkluderande när $\alpha$ växer, vilket ger ${ \displaystyle \alpha }$ med dess betydelse som en osäkerhetshorisont. Sammandragningsaxiomet antyder att, vid horisonten av osäkerhet noll, är skattningen ${\tilde {u}}$ korrekt.

Kom ihåg att det osäkra elementet $u$ kan vara en parameter, vektor, funktion eller mängd. Infogap-modellen är då en ogränsad familj av kapslade uppsättningar av parametrar, vektorer, funktioner eller uppsättningar.

Uppsättningar på undernivå

För en fast punktuppskattning ${\tilde {u}},$ är en infogap-modell ofta ekvivalent med en funktion $\phi \colon {\mathfrak {U}}\to [0,+\infty )$ definieras som:

$\phi (u):=\min\{\alpha \mid u\in {\mathcal {U}}(\ alfa ,{\tilde {u}})\}$

betyder "osäkerheten för en punkt u är den minsta osäkerheten så att u är i mängden med den osäkerheten". I det här fallet kan familjen av uppsättningar ${\mathcal {U}}(\alpha ,{\tilde {u}})$ återställas som undernivåuppsättningarna av $\phi$ :

${\mathcal {U}}(\alpha ,{\tilde {u}}):=\phi ^{-1}( [0,\alpha ])$

betyder: "den kapslade delmängden med osäkerhetshorisont $\alpha$ består av alla punkter med osäkerhet mindre än eller lika med $\alpha$ ".

Omvänt, givet en funktion ${\displaystyle \phi \colon {\mathfrak {U}}\to [0,+\infty ),} som$ uppfyller axiomet $\phi ^{-1}(0)=\{{\tilde {u}}\}$ (motsvarande $\phi (u)=0$ om och endast om $u={\tilde {u}}$ ), definierar den en infogap-modell via undernivåuppsättningarna.

Till exempel, om osäkerhetsområdet är ett metriskt utrymme , så kan osäkerhetsfunktionen helt enkelt vara avståndet, $\phi (u):=d({ \tilde {u}},u),$ så de kapslade delmängderna är helt enkelt

${\mathcal {U}}(\alpha ,{\tilde {u}})=\{u\mid d({\tilde {u}},u)\leq \alpha \}.$

Detta definierar alltid en infogap-modell, eftersom avstånd alltid är icke-negativa (axiom för icke-negativitet), och uppfyller $\phi ^{-1}(0)= \{{\tilde {u}}\}$ (info-gap axiom för kontraktion) eftersom avståndet mellan två punkter är noll om och endast om de är lika (identiteten för oskiljbara); häckning följer av konstruktion av sublevel set.

Alla infogap-modeller uppstår inte som uppsättningar av undernivåer: till exempel om $u_{1}\in {\mathcal {U}}(\alpha ,{\tilde {u }})$ för alla $\alpha >1,$ men inte för $\alpha =1$ (den har en osäkerhet "bara mer" än 1), då är minimumet ovan inte definierad; man kan ersätta det med ett infimum , men då kommer de resulterande undernivåuppsättningarna inte att överensstämma med infogap-modellen: $u_{1}\in \phi ^{-1 }([0,1]),$ men ${\displaystyle u_{1}\not \in {\mathcal {U}}(1,{\tilde {u}}).} Effekten$ av denna distinktion är dock mycket liten, eftersom den ändrar mängder mindre än att ändra osäkerhetshorisonten med valfritt positivt tal $\epsilon ,$ hur litet som helst.

Robusthet och lämplighet

Osäkerhet kan vara antingen skadlig eller gynnsam . Det vill säga, osäkra variationer kan vara antingen negativa eller gynnsamma. Motgångar medför möjligheten att misslyckas, medan förmånlighet är möjligheten till svepande framgång. Info-gap-beslutsteorin bygger på att kvantifiera dessa två aspekter av osäkerhet och att välja en handling som tar upp den ena eller den andra eller båda samtidigt. De skadliga och gynnsamma aspekterna av osäkerhet kvantifieras av två "immunitetsfunktioner": robusthetsfunktionen uttrycker immuniteten mot misslyckande, medan opportunitetsfunktionen uttrycker immuniteten mot oväntad vinst.

Robusthet och opportunitet funktioner

Robusthetsfunktionen uttrycker den största osäkerhetsnivån vid vilken fel inte kan inträffa ; opportunitetsfunktionen är den minsta osäkerhetsnivån som medför möjlighet till svepande framgång . Robusthets- och opportunitetsfunktionerna tar upp osäkerhetens skadliga respektive gynnsamma aspekter.

Låt $q$ vara en beslutsvektor av parametrar såsom designvariabler, tidpunkt för initiering, modellparametrar eller driftsalternativ. Vi kan verbalt uttrycka robusthets- och opportunitetsfunktionerna som maximum eller minimum av en uppsättning värden för osäkerhetsparametern $\alpha$ för en info-gap-modell:

${\hat {\alpha }}(q)=\max\{\alpha :\ {\mbox{minimala krav är alltid uppfyllda}} \}$	(robusthet)	(1a)
${\hat {\beta }}(q)=\min\{\alpha :\ {\mbox{sepande framgång är möjlig}}\}$	(möjlighet)	(2a)

Formellt,

${\hat {\alpha }}(q)=\max\{\alpha :\ { \mbox{minimikraven är uppfyllda för alla }}u\i {\mathcal {U}}(\alpha ,{\tilde {u}})\}$	(robusthet)	(1b)
${\hat {\beta }}(q)=\min\{\alpha :\ {\mbox{vindfall uppnås för minst en }}u\i {\mathcal {U}}(\alpha ,{\tilde {u}})\}$	(möjlighet)	(2b)

Vi kan "läsa" ekv. (1) enligt följande. Robustheten ${\hat {\alpha }}(q)$ för beslutsvektor $q$ är det största värdet av osäkerhetshorisonten $\alpha$ för vilken specificeras minimala krav är alltid uppfyllda. ${\hat {\alpha }}(q)$ uttrycker robusthet — graden av motståndskraft mot osäkerhet och immunitet mot fel — så ett stort värde på ${\hat {\alpha }}(q)$ är önskvärt. Robusthet definieras som ett värsta scenario fram till osäkerhetshorisonten: hur stor kan osäkerhetshorisonten vara och ändå, även i värsta fall, uppnå den kritiska utfallsnivån?

Ekv. (2) anger att lämpligheten ${\hat {\beta }}(q)$ är den minsta osäkerhetsnivån $\alpha$ som måste tolereras för att möjliggöra möjligheten av svepande framgång som ett resultat av beslut $q$ . ${\hat {\beta }}(q)$ är immuniteten mot oväntad belöning, så ett litet värde på ${\hat {\beta }}(q )$ är önskvärt. Ett litet värde på ${\hat {\beta }}(q)$ återspeglar den lämpliga situationen att stor belöning är möjlig även i närvaro av liten osäkerhet i omgivningen. Möjlighet definieras som ett bästa scenario fram till osäkerhetshorisonten: hur liten kan osäkerhetshorisonten vara och ändå, i bästa fall, uppnå oväntad belöning?

Immunitetsfunktionerna ${\hat {\alpha }}(q)$ och ${\hat {\beta }}(q)$ är komplementära och definieras i en antisymmetrisk känsla. Alltså "större är bättre" för ${\hat {\alpha }}(q)$ medan "big is bad" för ${\hat {\beta }} (q)$ . Immunitetsfunktionerna — robusthet och opportunitet — är de grundläggande beslutsfunktionerna i info-gap-beslutsteori.

Optimering

Robusthetsfunktionen innebär en maximering, men inte av prestandan eller resultatet av beslutet: i allmänhet kan resultatet bli godtyckligt dåligt. Det maximerar snarare nivån av osäkerhet som skulle krävas för att resultatet ska misslyckas.

Den största tolererbara osäkerheten finns vid vilket beslut $q$ tillfredsställer prestandan på en kritisk överlevnadsnivå. Man kan fastställa sina preferenser bland de tillgängliga åtgärderna $q,\,q^{\prime },\,\ldots$ enligt deras robusthet ${\displaystyle {\hat {\alpha }}(q),\,{\hat {\alpha }}(q^{\prime }),\,\ldots } , varvid större robusthet ger högre preferens$ . På detta sätt ligger robusthetsfunktionen bakom en tillfredsställande beslutsalgoritm som maximerar immuniteten mot skadlig osäkerhet.

Möjlighetsfunktionen i ekv. (2) innebär en minimering, dock inte, som man kan förvänta sig, av den skada som kan uppstå från okända negativa händelser. Den minsta osäkerhetshorisonten eftersträvas vid vilket beslut $q$ möjliggör (men garanterar inte nödvändigtvis) stor vindfallsvinst. Till skillnad från robusthetsfunktionen räcker inte opportunitetsfunktionen, den "vindfaller". Oväntade preferenser är de som föredrar åtgärder för vilka opportuneness-funktionen tar ett litet värde. När ${\hat {\beta }}(q)$ används för att välja en åtgärd $q$ , är man "oväntad" genom att optimera möjligheten från gynnsam osäkerhet i ett försök att möjliggöra mycket ambitiösa mål eller belöningar.

Givet en skalär belöningsfunktion $R(q,u)$ , beroende på beslutsvektorn $q$ och info-gap-uncertain-funktionen $u$ , den minimala krav i ekv. (1) är att belöningen $R(q,u)$ inte är mindre än ett kritiskt värde ${r_{\rm {c}}}$ . Likaså den svepande framgången i ekv. (2) är uppnåendet av en "vildaste dröm" nivå av belöning ${r_{\rm {w}}}$ som är mycket högre än ${r_{\rm {c}}}$ . Vanligtvis väljs inget av ${\displaystyle {r_{\rm {w}}}}, oåterkalleligt$ tröskelvärden, ${r_{\rm {c}}}$ och beslutsanalysen utförs. Dessa parametrar gör det snarare möjligt för beslutsfattare att utforska en rad alternativ. I alla fall är den oväntade belöningen ${r_{\rm {w}}}$ större, vanligtvis mycket större, än den kritiska belöningen ${r_{\rm {c}}}$ :

${r_{\rm {w}}}>{r_{\rm {c}}}$

Robusthets- och opportunitetsfunktionerna hos eqs. (1) och (2) kan nu uttryckas mer explicit:

${\hat {\alpha }}(q,{r_{ \rm {c}}})=\max \left\{\alpha :r_{\rm {c}}\leq \min _{u\in {\mathcal {U}}(\alpha ,{\tilde { u}})}R(q,u)\right\}$	(3)
${\hat {\beta }}(q,{r_{ \rm {w}}})=\min \left\{\alpha :r_{\rm {w}}\leq \max _{u\in {\mathcal {U}}(\alpha ,{\tilde { u}})}R(q,u)\höger\}$	(4)

${\hat {\alpha }}(q,{r_{\rm {c}}})$ är den största osäkerhetsnivån förenlig med garanterad belöning inte mindre än den kritiska belöningen ${r_{\rm {c}}}$ , medan ${\hat {\beta }}(q,{r_{\rm {w}}} )$ är den lägsta nivån av osäkerhet som måste accepteras för att underlätta (men inte garantera) oväntade fall så stor som ${r_{\rm {w}}}$ . Den komplementära eller antisymmetriska strukturen av immunitetsfunktionerna är uppenbar från ekv. (3) och (4).

Dessa definitioner kan modifieras för att hantera belöningsfunktioner med flera kriterier. Likaså gäller analoga definitioner när $R(q,u)$ är en förlust snarare än en belöning.

Beslutsregler

Utifrån dessa funktioner kan man sedan besluta om ett handlingssätt genom att optimera för osäkerhet: välj det beslut som är mest robust (tål den största osäkerheten; "tillfredsställande"), eller välj det beslut som kräver minst osäkerhet för att uppnå en vindfall.

Formellt ger optimering för robusthet eller optimering för lämplighet en preferensrelation på uppsättningen beslut, och beslutsregeln är "optimera med avseende på denna preferens".

${\mathcal {Q}}$ nedan vara uppsättningen av alla tillgängliga eller genomförbara beslutsvektorer $q$ .

Robust-tillfredsställande

Robusthetsfunktionen genererar robust-tillfredsställande preferenser för alternativen: beslut rangordnas i ökande ordning av robusthet, för en given kritisk belöning, dvs med ${\hat {\alpha }}( q,{r_{\rm {c}}})$ värde, vilket betyder $q\succ _{\rm {r}}q^{\prime }$ om ${\hat {\alpha }}(q,{r_{\rm {c}}})>{\hat {\alpha }}(q^{\prime },{r_{\rm {c} }}).$

Ett robust-tillfredsställande beslut är ett som maximerar robustheten och tillfredsställer prestandan på den kritiska nivån ${r_{\rm {c}}}$ .

Ange maximal robusthet med ${\hat {\alpha }},$ (formellt ${\hat {\alpha }}({r_{\rm {c} }}),$ för maximal robusthet för en given kritisk belöning), och motsvarande beslut (eller beslut) av ${\hat {q}}_{\rm {c}}$ (formellt, ${\displaystyle {{\hat {q}}_{\rm {c}}}({r_{\rm {c}}}),} den kritiska optimeringsåtgärden för en given$ nivå av kritisk belöning):

${\begin{aligned} {\hat {\alpha }}({r_{\rm {c}}})&=\max _{q\in {\mathcal {Q}}}{\hat {\alpha }}(q,{r_ {\rm {c}}})\\{{\hat {q}}_{\rm {c}}}({r_{\rm {c}}})&=\arg \max _{q\ i {\mathcal {Q}}}{\hat {\alpha }}(q,{r_{\rm {c}}})\end{aligned}}$

Vanligtvis, men inte alltid, den robusta tillfredsställande åtgärden ${{\hat {q}}_{\rm {c}}}({r_{\rm {c}}})$ beror på den kritiska belöningen ${r_{\rm {c}}}$ .

Lämpligt oväntat

Omvänt kan man optimera opportunitet: opportuneness-funktionen genererar opportune-oventuella preferenser för alternativen: beslut rangordnas i fallande ordningsföljd av opportuneness, för en given windfall-belöning, dvs. efter ${\ hat {\beta }}(q,{r_{\rm {c}}})$ värde, vilket betyder $q\succ _{\rm {w}}q^{\prime }$ om ${\hat {\beta }}(q,{r_{\rm {w}}})<{\hat {\beta }}(q^{\prime },{r_{\rm {w} }}).$

Det opportuna oväntade beslutet, ${{\hat {q}}_{\rm {w}}}({r_{\rm {w}}})$ , minimerar möjligheterna funktion på uppsättningen tillgängliga beslut.

Ange minsta möjliga möjligheter med ${\hat {\beta }},$ (formellt ${\hat {\beta }}({r_{\rm {w} }}),$ för minsta möjliga möjlighet för en given oväntad belöning), och motsvarande beslut (eller beslut) av ${\hat {q}}_{\rm {w}}$ (formellt, ${\displaystyle {{\hat {q}}_{\rm {w}}}({r_{\rm {w}}}),} den oväntade optimeringsåtgärden för en given$ nivå av oväntad belöning):

${\begin{aligned} {\hat {\beta }}({r_{\rm {w}}})&=\min _{q\in {\mathcal {Q}}}{\hat {\beta }}(q,{r_ {\rm {w}}})\\{{\hat {q}}_{\rm {w}}}({r_{\rm {w}}})&=\arg \min _{q\ i {\mathcal {Q}}}{\hat {\beta }}(q,{r_{\rm {w}}})\end{aligned}}$

De två preferensrankningarna, såväl som motsvarande optimala beslut ${{\hat {q}}_{\rm {c}}}({r_{\rm {c}} })$ och ${\displaystyle {{\hat {q}}_{\rm {w}}}({r_{\rm {w}}})} , kan vara olika,$ och kan variera beroende på värdena för ${r_{\rm {c}}}$ och ${r_{\rm {w}}}.$

Ansökningar

Info-gap teori har genererat mycket litteratur. Info-gap-teori har studerats eller tillämpats i en rad tillämpningar inklusive ingenjörskonst, biologiskt bevarande, teoretisk biologi, hemlandsäkerhet, ekonomi, projektledning och statistik. Grundläggande frågor relaterade till info-gap-teori har också studerats.

Resten av detta avsnitt beskriver lite mer i detalj den typ av osäkerheter som tas upp av info-gap-teorin. Även om många publicerade verk nämns nedan görs inga försök att presentera insikter från dessa artiklar. Tonvikten ligger inte på förtydligandet av begreppen info-gap teori, utan på sammanhanget där den används och målen.

Teknik

En typisk teknisk tillämpning är vibrationsanalysen av en sprucken balk, där sprickans placering, storlek, form och orientering är okänd och i hög grad påverkar vibrationsdynamiken. Mycket lite är vanligtvis känt om dessa rumsliga och geometriska osäkerheter. Infogap-analysen tillåter en att modellera dessa osäkerheter och att bestämma graden av robusthet - mot dessa osäkerheter - av egenskaper som vibrationsamplitud, naturliga frekvenser och naturliga vibrationslägen. Ett annat exempel är den strukturella utformningen av en byggnad som utsätts för osäkra belastningar som vind eller jordbävningar. Strukturens svar beror starkt på den rumsliga och tidsmässiga fördelningen av lasterna. Stormar och jordbävningar är dock högst idiosynkratiska händelser, och samspelet mellan händelsen och strukturen involverar mycket platsspecifika mekaniska egenskaper som sällan är kända. Infogap-analysen möjliggör utformningen av strukturen för att förbättra strukturell immunitet mot osäkra avvikelser från designbaserade eller uppskattade värsta tänkbara laster. En annan ingenjörsapplikation involverar designen av ett neuralt nät för att upptäcka fel i ett mekaniskt system, baserat på realtidsmätningar. En stor svårighet är att fel är mycket idiosynkratiska, så att träningsdata för det neurala nätet tenderar att skilja sig väsentligt från data som erhålls från realtidsfel efter att nätet har tränats. Strategin för robusthet med infogap gör det möjligt för en att designa det neurala nätet så att det är robust mot skillnaden mellan träningsdata och framtida verkliga händelser.

Biologi

Bevarandebiologen möter informationsluckor när det gäller att använda biologiska modeller. De använder robusthetskurvor med infogap för att välja bland hanteringsalternativ för gran-knoppmaskpopulationer i östra Kanada. Burgman använder det faktum att robusthetskurvorna för olika alternativ kan korsa varandra.

Projektledning

Projektledning är ett annat område där osäkerhet om infogap är vanligt. Projektledaren har ofta mycket begränsad information om varaktigheten och kostnaden för vissa av uppgifterna i projektet, och robusthet med infogap kan hjälpa till vid projektplanering och integration. Finansiell ekonomi är ett annat område där framtiden är fylld av överraskningar, som kan vara antingen skadliga eller gynnsamma. Analyser av robusthet och lämplighet med informationsgap kan hjälpa till med portföljdesign, kreditransonering och andra tillämpningar.

Begränsningar

Vid tillämpning av info-gap-teori måste man förbli medveten om vissa begränsningar.

För det första gör info-gap antaganden, nämligen om universum i fråga, och graden av osäkerhet – info-gap-modellen är en modell av grader av osäkerhet eller likhet mellan olika antaganden, inom ett givet universum. Info-gap gör inga sannolikhetsantaganden inom detta universum – det är icke-sannolikt – men kvantifierar ett begrepp om "avstånd från skattningen". Kort sagt, info-gap gör färre antaganden än en probabilistisk metod, men gör vissa antaganden.

Till exempel kan en enkel modell för daglig aktiemarknadsavkastning – som per definition ligger inom intervallet $[-100\%,+\infty \%)$ – innefatta extrema rörelser som t.ex. som Black Monday (1987) men kanske inte modellerar marknadens sammanbrott efter attackerna den 11 september : den betraktar de "kända okända", inte " okända okända ". Detta är en allmän kritik av mycket beslutsteori och är inte på något sätt specifik för info-gap, men info-gap är inte immun mot det.

För det andra finns det ingen naturlig skala: är osäkerheten för $\alpha =1$ liten eller stor? Olika modeller av osäkerhet ger olika skalor och kräver bedömning och förståelse av domänen och osäkerhetsmodellen. På samma sätt kräver mätning av skillnader mellan utfall bedömning och förståelse av domänen.

För det tredje, om det aktuella universum är större än en betydande osäkerhetshorisont, och utfallen för dessa avlägsna punkter skiljer sig väsentligt från punkter nära skattningen, kommer slutsatserna av robusthets- eller lämplighetsanalyser i allmänhet att vara: "man måste vara mycket säker på sin egen antaganden, annars kan utfall förväntas avvika avsevärt från prognoser” – en försiktig slutsats.

Disclaimer och sammanfattning

Robusthets- och opportunitetsfunktionerna kan informera beslut. Till exempel kan en förändring i beslut som ökar robustheten öka eller minska möjligheterna. Från ett subjektivt ställningstagande avvägs både robusthet och opportunitet mot strävan efter resultat: robusthet och opportunitet försämras i takt med att beslutsfattarens ambitioner ökar. Robustheten är noll för modellens bästa förväntade resultat. Robusthetskurvor för alternativa beslut kan korsas som en funktion av aspiration, vilket innebär att preferenser ändras.

Olika teorem identifierar förhållanden där större infogap-robusthet innebär större sannolikhet för framgång, oavsett den underliggande sannolikhetsfördelningen. Dessa villkor är dock tekniska och översätts inte till några sunt förnuftiga, verbala rekommendationer, vilket begränsar sådana tillämpningar av infogap-teori av icke-experter.

Kritik

En allmän kritik mot icke-probabilistiska beslutsregler, som diskuteras i detalj under beslutsteori: alternativ till sannolikhetsteori , är att optimala beslutsregler (formellt godtagbara beslutsregler ) alltid kan härledas med probabilistiska metoder, med en lämplig nyttofunktion och förfördelning (detta är påståendet om de kompletta klasssatserna), och därmed att icke-probabilistiska metoder som info-gap är onödiga och inte ger nya eller bättre beslutsregler.

En mer allmän kritik av beslutsfattande under osäkerhet är effekterna av överdimensionerade, oväntade händelser, sådana som inte fångas upp av modellen. Detta diskuteras särskilt i teorin om svarta svaner , och info-gap, som används isolerat, är sårbart för detta, liksom a fortiori alla beslutsteorier som använder ett fast universum av möjligheter, särskilt sannolikhetsteorier.

Sniedovich tar upp två punkter till teorin om info-gap-beslut, en materiell och en vetenskaplig:

1. info-gap osäkerhetsmodellen är felaktig och översåld

Man bör överväga utbudet av möjligheter, inte dess undergrupper. Sniedovich hävdar att info-gap-beslutsteori därför är en "voodoo-beslutsteori".

2. info-gap är maximin

Ben-Haim säger (Ben-Haim 1999, s. 271–2) att "robust tillförlitlighet är absolut inte en [min-max] worst-case-analys". Observera att Ben-Haim jämför info-gap med minimax, medan Sniedovich anser att det är ett fall av maximin.

Sniedovich har ifrågasatt giltigheten av info-gap-teorin för att fatta beslut under allvarlig osäkerhet. Sniedovich noterar att robusthetsfunktionen för infogap är "lokal" för regionen runt $\displaystyle {\tilde {u}}$ , där $\displaystyle {\tilde {u}}$ är sannolikt är väsentligt felaktigt.

Maximin

Symboliskt, max $\alpha$ under antagande av min (värsta fall) utfall, eller maximin.

Med andra ord, även om det inte är en maximinanalys av utfallet över osäkerhetens universum, är det en maximinanalys över ett korrekt tolkat beslutsutrymme.

Ben-Haim hävdar att info-gaps robusthetsmodell inte är min-max/maximin-analys eftersom det inte är värsta tänkbara analys av utfall; det är en tillfredsställande modell, inte en optimeringsmodell – en (enkel) maximinanalys skulle överväga värsta tänkbara utfall över hela utrymmet som, eftersom osäkerhet ofta är potentiellt obegränsad, skulle ge ett obegränsat dåligt värsta fall.

Stabilitetsradie

Sniedovich har visat att info-gaps robusthetsmodell är en enkel stabilitetsradiemodell , nämligen en lokal stabilitetsmodell av den generiska formen

${\hat {\rho }}({\tilde {p}} ):=\max \ \{\rho \geq 0:p\in P(s),\forall p\in B(\rho ,{\tilde {p}})\}$

där $B(\rho ,{\tilde {p}})$ anger en boll med radien $\rho$ centrerad på ${\tilde {p} }$ och $P(s)$ anger uppsättningen värden för $p$ som uppfyller förutbestämda stabilitetsvillkor.

Info-gaps robusthetsmodell är med andra ord en stabilitetsradiemodell som kännetecknas av ett stabilitetskrav av formen $r_{c}\leq R(q,p)$ . Eftersom stabilitetsradiemodeller är designade för analys av små störningar i ett givet nominellt värde av en parameter, hävdar Sniedovich att info-gaps robusthetsmodell är olämplig för behandling av allvarlig osäkerhet som kännetecknas av en dålig uppskattning och ett stort osäkerhetsutrymme.

Diskussion

Tillfredsställande och begränsad rationalitet

Det är korrekt att info-gap robusthetsfunktionen är lokal och har begränsat kvantitativt värde i vissa fall. Ett huvudsyfte med beslutsanalys är dock att ge fokus för subjektiva bedömningar. Det vill säga, oavsett den formella analysen tillhandahålls en ram för diskussion. Utan att gå in i något särskilt ramverk, eller egenskaper hos ramverk i allmänhet, följer diskussion om förslag till sådana ramverk.

Simon introducerade idén om begränsad rationalitet . Begränsningar av kunskap, förståelse och beräkningsförmåga begränsar beslutsfattarnas förmåga att identifiera optimala val. Simon förespråkade att tillfredsställa snarare än att optimera: att söka adekvata (snarare än optimala) resultat givet tillgängliga resurser. Schwartz, Conlisk och andra diskuterar omfattande bevis för fenomenet avgränsad rationalitet bland mänskliga beslutsfattare, såväl som för fördelarna med att tillfredsställa när kunskap och förståelse är bristfällig. Infogap robusthetsfunktionen ger ett sätt att implementera en tillfredsställande strategi under begränsad rationalitet. Till exempel, när han diskuterar begränsad rationalitet och tillfredsställelse i bevarande och miljöförvaltning, konstaterar Burgman att "Info-gap teori ... kan fungera förnuftigt när det finns "svåra" kunskapsluckor." Informationsgapets robusthet och opportunitetsfunktioner ger "en formell ram för att utforska de typer av spekulationer som uppstår intuitivt när man undersöker beslutsalternativ." Burgman fortsätter sedan med att utveckla en robust och tillfredsställande info-gap-strategi för att skydda den utrotningshotade apelsinbukade papegojan. På liknande sätt diskuterar Vinot, Cogan och Cipolla ingenjörsdesign och noterar att "nackdelen med en modellbaserad analys ligger i vetskapen om att modellbeteendet bara är en approximation till det verkliga systemets beteende. Därav frågan om den ärliga designern: hur känsligt är mitt mått på designframgång mot osäkerheter i min systemrepresentation? ... Det är uppenbart att om modellbaserad analys ska användas med någon nivå av tillförsikt då ... [måste man] försöka uppfylla en acceptabel suboptimal prestandanivå samtidigt som den förblir maximalt robust mot systemets osäkerheter." De fortsätter att utveckla en robust och tillfredsställande designprocedur för en flyg- och rymdapplikation.

Alternativ

Naturligtvis är beslut inför osäkerhet inget nytt, och försök att hantera det har en lång historia. Ett antal författare har noterat och diskuterat likheter och skillnader mellan info-gap robusthet och minimax eller worst-case metoder. Sniedovich har formellt visat att info-gap robusthetsfunktionen kan representeras som en maximal optimering, och är därmed relaterad till Walds minimaxteori. Sniedovich har hävdat att info-gaps robusthetsanalys utförs i närheten av en uppskattning som sannolikt är väsentligen felaktig, och drar slutsatsen att den resulterande robusthetsfunktionen lika sannolikt är väsentligen felaktig.

Å andra sidan är uppskattningen den bästa man har, så det är användbart att veta om det kan göra fel och ändå ge ett acceptabelt resultat. Denna kritiska fråga väcker tydligt frågan om huruvida robusthet (enligt definitionen av info-gap-teorin) är kvalificerad att bedöma huruvida förtroende är berättigat, och hur det kan jämföras med metoder som används för att informera beslut under osäkerhet med hänsyn som inte är begränsade till närområdet till en dålig första gissning. Svaren på dessa frågor varierar med det specifika problemet som är aktuellt. Några allmänna kommentarer följer.

Känslighetsanalys

Huvudartikel: Känslighetsanalys

Känslighetsanalys – hur känsliga slutsatser är för ingångsantaganden – kan utföras oberoende av en osäkerhetsmodell: enklast kan man ta två olika antagna värden för en input och jämföra slutsatserna. Ur detta perspektiv kan info-gap ses som en teknik för känslighetsanalys, men inte på något sätt den enda.

Robust optimering

Huvudartikel: Robust optimering

Den robusta optimeringslitteraturen tillhandahåller metoder och tekniker som tar en global strategi för robusthetsanalys. Dessa metoder tar direkt hand om beslut under svår osäkerhet och har använts för detta ändamål i mer än trettio år nu. Walds Maximin- modell är det huvudsakliga instrumentet som används av dessa metoder.

Den huvudsakliga skillnaden mellan Maximin- modellen som används av info-gap och de olika Maximin- modellerna som används av robusta optimeringsmetoder är det sätt på vilket den totala osäkerhetsregionen är inkorporerad i robusthetsmodellen. Info-gap tar ett lokalt tillvägagångssätt som koncentrerar sig på den omedelbara närheten av uppskattningen. I skarp kontrast har robusta optimeringsmetoder som mål att i analysen inkludera hela osäkerhetsområdet, eller åtminstone en adekvat representation därav. Faktum är att vissa av dessa metoder inte ens använder en uppskattning.

Jämförande analys

Klassisk beslutsteori, erbjuder två tillvägagångssätt för beslutsfattande under svår osäkerhet, nämligen maximin och Laplaces princip om otillräckligt skäl (anta att alla utfall är lika sannolika); dessa kan betraktas som alternativa lösningar på problemet med informationsluckor.

Vidare, som diskuterats i beslutsteori: alternativ till sannolikhetsteori , argumenterar sannolikhetsteori , särskilt Bayesianska sannolikhetsregler, att optimala beslutsregler (formellt tillåtna beslutsregler ) alltid kan härledas med sannolikhetsmetoder (detta är uttalandet av de fullständiga klasssatserna ), och därmed att icke-probabilistiska metoder som info-gap är onödiga och inte ger nya eller bättre beslutsregler.

Maximin

Som framgår av den rika litteraturen om robust optimering tillhandahåller maximin ett brett utbud av metoder för beslutsfattande inför svår osäkerhet.

Faktum är att, som diskuterats i kritiken av info-gap-beslutsteorin , kan info-gaps robusthetsmodell tolkas som ett exempel på den allmänna maximin-modellen.

Bayesiansk analys

När det gäller Laplaces princip om otillräckligt förnuft är det i detta sammanhang lämpligt att se den som ett exempel på Bayesiansk analys .

Kärnan i den Bayesianska analysen är att tillämpa sannolikheter för olika möjliga realiseringar av de osäkra parametrarna. I fallet med riddarisk (icke-sannolikhet) osäkerhet representerar dessa sannolikheter beslutsfattarens "grad av tro" på en specifik insikt.

Anta i vårt exempel att det bara finns fem möjliga realiseringar av funktionen för osäkra inkomster till allokering. Beslutsfattaren anser att den uppskattade funktionen är den mest sannolika, och att sannolikheten minskar när skillnaden från skattningen ökar. Figur 11 exemplifierar en sådan sannolikhetsfördelning.

Figur 11 – Sannolikhetsfördelning av intäktsfunktionens realiseringar

Nu, för varje allokering, kan man konstruera en sannolikhetsfördelning av intäkterna, baserat på hans tidigare övertygelser. Beslutsfattaren kan då välja den avsättning som har högst förväntad intäkt, med lägst sannolikhet för en oacceptabel intäkt osv.

Det mest problematiska steget i denna analys är valet av realisationssannolikheter. När det finns en omfattande och relevant tidigare erfarenhet kan en expert använda denna erfarenhet för att konstruera en sannolikhetsfördelning. Men även med omfattande tidigare erfarenhet, när vissa parametrar ändras, kanske experten bara kan uppskatta att $A$ är mer sannolikt än ${\displaystyle B} ,$ men kommer inte att kunna kvantifiera denna skillnad på ett tillförlitligt sätt. Dessutom, när förhållandena förändras drastiskt, eller när det inte finns någon tidigare erfarenhet alls, kan det visa sig vara svårt att ens uppskatta om $A$ är mer sannolikt än $B$ .

Icke desto mindre, metodologiskt sett, är denna svårighet inte lika problematisk som att basera analysen av ett problem som är föremål för stor osäkerhet på en enda punktuppskattning och dess omedelbara grannskap, som gjorts av info-gap. Och vad mer är, i motsats till informationsgap är detta tillvägagångssätt globalt snarare än lokalt.

Ändå måste det betonas att Bayesiansk analys inte uttryckligen sysslar med frågan om robusthet.

Bayesiansk analys tar upp frågan om att lära av erfarenheter och att anpassa sannolikheter därefter. Med andra ord är beslut inte en enda process, utan drar nytta av en sekvens av beslut och observationer.

Klassiskt beslutsteoretiskt perspektiv

Sniedovich tar upp två punkter till informationsgap, ur klassisk beslutsteoris synvinkel, en materiell, en vetenskaplig:

info-gap osäkerhetsmodellen är bristfällig och översåld

Under svår osäkerhet bör man använda global beslutsteori, inte lokal beslutsteori.

info-gap är maximin

Ben-Haim (2006, s.xii) hävdar att info-gap är "radikalt annorlunda än alla nuvarande teorier om beslut under osäkerhet". Ben-Haim konstaterar (Ben-Haim 1999, s. 271–2) att "robust tillförlitlighet är absolut inte en [min-max] worst-case-analys".

Sniedovich har ifrågasatt giltigheten av info-gap-teorin för att fatta beslut under allvarlig osäkerhet.

Inom ramen för klassisk beslutsteori kan info-gaps robusthetsmodell tolkas som en instans av Walds Maximin -modell och dess opportunitetsmodell är en instans av den klassiska Minimin-modellen . Båda verkar i närheten av en uppskattning av parametern av intresse vars verkliga värde är föremål för stor osäkerhet och därför sannolikt kommer att vara väsentligt fel . Dessutom har de överväganden som tas till beslutsprocessen i sig också sitt ursprung i platsen för denna opålitliga uppskattning, och kan därför eller kanske inte reflektera hela skalan av beslut och osäkerheter.

Bakgrund, arbetsförutsättningar och en blick framåt

Nu, som skildras i info-gap-litteraturen, utformades Info-Gap uttryckligen som en metod för att lösa beslutsproblem som är föremål för stor osäkerhet. Och vad mer är, dess syfte är att söka lösningar som är robusta .

För att ha en tydlig bild av info-gaps modus operandi och dess roll och plats i beslutsteori och robust optimering är det därför absolut nödvändigt att undersöka det i detta sammanhang. Med andra ord är det nödvändigt att etablera info-gaps relation till klassisk beslutsteori och robust optimering. För detta ändamål måste följande frågor lösas:

• Vad kännetecknar beslutsproblem som är föremål för stor osäkerhet?
• Vilka svårigheter uppstår vid modellering och lösning av sådana problem?
• Vilken typ av robusthet eftersträvas?
• Hur hanterar info-gap-teori dessa frågor?
• På vilket sätt är info-gap-beslutsteori lik och/eller annorlunda från andra teorier för beslut under osäkerhet?

Två viktiga punkter måste belysas i detta avseende inledningsvis:

• Med tanke på allvaret av den osäkerhet som infogap var utformad för att hantera, är det viktigt att klargöra de svårigheter som den allvarliga osäkerheten utgör.
• Eftersom info-gap är en icke-probabilistisk metod som strävar efter att maximera robustheten mot osäkerhet, är det absolut nödvändigt att jämföra den med den enskilt viktigaste "icke-probabilistiska" modellen i klassisk beslutsteori, nämligen Walds Maximin -paradigm (Wald 1945, 1950). . När allt kommer omkring har detta paradigm dominerat scenen inom klassisk beslutsteori i långt över sextio år nu.

Så låt oss först klargöra de antaganden som antyds av allvarlig osäkerhet.

Arbetsförutsättningar

Info-gap-beslutsteori använder tre enkla konstruktioner för att fånga den osäkerhet som är förknippad med beslutsproblem:

1. En parameter $\displaystyle u$ vars verkliga värde är föremål för stor osäkerhet.
2. Ett område av osäkerhet $\displaystyle {\mathfrak {U}}\$ där det sanna värdet av $\displaystyle u\$ ligger.
3. En uppskattning $\ \displaystyle {\tilde {u}}\$ av det sanna värdet av $\displaystyle u\$ .

Det bör dock påpekas att dessa konstruktioner som sådana är generiska, vilket innebär att de kan användas för att modellera situationer där osäkerheten inte är allvarlig utan mild, faktiskt mycket mild. Så det är viktigt att vara tydlig att för att ge ett lämpligt uttryck för svårighetsgrad , i Info-Gap-ramverket ges dessa tre konstruktioner specifik betydelse.

Arbetsantaganden

1. 
   Osäkerhetsområdet $\displaystyle {\mathfrak {U}}\$ är relativt stort. Faktum är att Ben-Haim (2006, s. 210) indikerar att inom ramen för info-gap-beslutsteori är de flesta av de vanligaste osäkerhetsregionerna obegränsade .
2. 
   Uppskattningen $\displaystyle {\tilde {u}}\$ är en dålig approximation av det sanna värdet av $\displaystyle \ u\$ . Det vill säga att uppskattningen är en dålig indikation på det sanna värdet av $\displaystyle \ u\$ (Ben-Haim, 2006, s. 280) och sannolikt är väsentligt fel (Ben-Haim, 2006, s. 281).

I bilden representerar $\displaystyle u^{\circ }\$ det sanna (okända) värdet för $\ \displaystyle u\$ .

Poängen att notera här är att förhållanden med allvarlig osäkerhet innebär att uppskattningen $\displaystyle {\tilde {u}}\$ relativt sett kan vara mycket avlägsen från det sanna värdet $\displaystyle u^{\circ }\$ . Detta är särskilt relevant för metoder, som info-gap, som söker robusthet mot osäkerhet. Att anta annat skulle faktiskt – metodologiskt sett – vara detsamma som att ägna sig åt önsketänkande.

Walds Maximin-paradigm

Grundidén bakom detta berömda paradigm kan uttryckas i klartext på följande sätt:

Maximin regel

Vi ska anta alternativet vars sämsta resultat är överlägset det sämsta resultatet av de andra.

Rawls (1971, s. 152)

Sålunda, enligt detta paradigm, inom ramen för beslutsfattande under svår osäkerhet, är robustheten hos ett alternativ ett mått på hur väl detta alternativ kan klara av det värsta osäkra utfallet som det kan generera. Naturligtvis leder denna inställning till allvarlig osäkerhet ofta till valet av mycket konservativa alternativ. Detta är just anledningen till att detta paradigm inte alltid är en tillfredsställande metodik för beslutsfattande under svår osäkerhet (Tintner 1952).

Som framgår av översikten är info-gaps robusthetsmodell en Maximin-modell i förklädnad. Mer specifikt är det en enkel instans av Walds Maximin-modell där:

1. Den osäkerhetsregion som är förknippad med ett alternativt beslut är en omedelbar grannskap av skattningen $\displaystyle {\tilde {u}}\$ .
2. De osäkra utfallen av ett alternativ bestäms av en karakteristisk funktion av det aktuella prestationskravet.

Bortsett från konservatismfrågan måste alltså en mycket allvarligare fråga tas upp. Detta är giltighetsfrågan som härrör från den lokala karaktären hos info-gaps robusthetsanalys.

Lokal vs global robusthet

Giltigheten av resultaten som genereras av info-gaps robusthetsanalys är beroende av kvaliteten på skattningen $\displaystyle {\tilde {u}}\$ . Enligt info-gaps egna arbetsantaganden är denna uppskattning dålig och sannolikt väsentligen felaktig (Ben-Haim, 2006, s. 280-281).

Problemet med denna funktion i info-gaps robusthetsmodell framhävs mer kraftfullt av bilden. Den vita cirkeln representerar den omedelbara närheten av skattningen $\ \displaystyle {\tilde {u}}\$ på vilken Maximin-analysen utförs. Eftersom osäkerhetsområdet är stort och kvaliteten på skattningen är dålig, är det mycket troligt att det sanna värdet av $\ \displaystyle u\$ ligger långt från den punkt där Maximin-analysen utförs.

Så med tanke på hur allvarlig osäkerheten är, hur giltig/användbar kan egentligen denna typ av Maximin-analys vara?

I vilken utsträckning en lokal robusthetsanalys a la Maximin i omedelbar närhet av en dålig uppskattning lämpligen kan representera ett stort område av osäkerhet.

Robusta optimeringsmetoder har alltid en mycket mer global syn på robusthet. Så mycket att scenarioplanering och scenariegenerering är centrala frågor inom detta område. Detta återspeglar ett starkt engagemang för en adekvat representation av hela osäkerhetsregionen i definitionen av robusthet och i själva robusthetsanalysen.

Detta har att göra med skildringen av info-gaps bidrag till det senaste inom beslutsteorin, och dess roll och plats gentemot andra metoder.

Roll och plats i beslutsteorin

Info-gap är eftertryckligt när det gäller dess utveckling av det senaste inom beslutsteori (färg används här för betoning):

Info-gap-beslutsteori skiljer sig radikalt från alla nuvarande teorier om beslut under osäkerhet. Skillnaden har sitt ursprung i modelleringen av osäkerhet som ett informationsgap snarare än som en sannolikhet .

Ben-Haim (2006, s.xii)

I den här boken koncentrerar vi oss på det ganska nya begreppet informationsgap osäkerhet, vars skillnader från mer klassiska synsätt på osäkerhet är verkliga och djupa . Trots kraften i klassiska beslutsteorier har det inom många områden som teknik, ekonomi, management, medicin och offentlig politik uppstått ett behov av ett annat format för beslut som bygger på starkt osäkra bevis.

Ben-Haim (2006, s. 11)

Dessa starka påståenden måste styrkas. I synnerhet måste ett entydigt och entydigt svar ges på följande fråga: på vilket sätt är info-gaps generiska robusthetsmodell annorlunda, ja radikalt annorlunda, från worst -case-analys a la Maximin ?

Efterföljande avsnitt av den här artikeln beskriver olika aspekter av info-gap-beslutsteori och dess tillämpningar, hur den föreslår att hantera de arbetsantaganden som beskrivs ovan, den lokala karaktären hos info-gaps robusthetsanalys och dess intima samband med Walds klassiska Maximin-paradigm och det värsta. -fallsanalys.

Invariansegenskap

Den viktigaste punkten att tänka på här är att info-gaps existensberättigande är att tillhandahålla en metod för beslut under allvarlig osäkerhet. Detta innebär att dess primära test skulle vara i effektiviteten av dess hantering av och hantera allvarlig osäkerhet. För detta ändamål måste det först fastställas hur Info-Gaps robusthets-/möjlighetsmodeller beter sig, eftersom osäkerhetens svårighetsgrad ökar/minskar.

För det andra måste det fastställas om info-gaps robusthet/möjlighetsmodeller ger ett adekvat uttryck för den potentiella variabiliteten hos prestationsfunktionen över hela osäkerhetsområdet. Detta är särskilt viktigt eftersom Info—Gap vanligtvis handlar om relativt stora, faktiskt obegränsade, osäkerhetsområden.

Så låt $\ \displaystyle {\mathfrak {U}}\$ beteckna den totala regionen av osäkerhet och överväga dessa nyckelfrågor:

• Hur reagerar robusthets-/möjlighetsanalysen på en ökning/minskning av storleken på $\ \displaystyle {\mathfrak {U}}\$ ?
• Hur påverkar en ökning/minskning av storleken på $\ \displaystyle {\mathfrak {U}}\$ ett besluts robusthet eller lämplighet?
• Hur representativa är resultaten som genereras av info-gaps robusthets-/möjlighetsanalys av vad som sker i den relativt stora totala osäkerhetsregionen $\ \displaystyle {\mathfrak {U}}\$ ?

Antag då att robustheten $\ \displaystyle {\hat {\alpha }}(q,r_{c})\$ har beräknats för ett beslut $\ \displaystyle q\in {\mathcal {Q}}\$ och det observeras att $\ \displaystyle \ {\mathcal {U}}(\alpha ^{*} ,{\tilde {u}})\subseteq {\mathfrak {U}}\$ där $\ \displaystyle \alpha ^{*}={\hat {\alpha }}(q,r_{c})+\varepsilon \$ för vissa $\ \displaystyle \varepsilon >0\$ .

Frågan är då: hur skulle robustheten hos $\ \displaystyle q\$ , nämligen $\ \displaystyle {\hat {\alpha }}(q,r_{c) })\$ , påverkas om osäkerhetsområdet skulle vara dubbelt så stort som ${\displaystyle \ \displaystyle {\mathfrak {U}}\ } ,$ eller kanske till och med 10 gånger så stort som $\ \displaystyle {\mathfrak {U}}\$ ?

Betrakta då följande resultat som är en direkt konsekvens av den lokala karaktären av info-gaps robusthets-/möjlighetsanalys och kapslingsegenskapen för info-gaps osäkerhetsregioner (Sniedovich 2007):

Invarianssats

Robustheten i beslutet $\ \displaystyle q\$ är invariant med storleken på den totala osäkerhetsregionen $\ \displaystyle {\mathfrak {U}}\$ för alla $\ \displaystyle {\mathfrak {U}}\$ så att

(7)	${\mathcal {U}}({\hat {\alpha }}(q,r_{c})+\varepsilon ,{ \tilde {u}})\subseteq {\mathfrak {U}}\$ för vissa $\ \displaystyle \varepsilon >0\ .$$\Box$

Med andra ord, för ett givet beslut, ger info-gaps analys samma resultat för alla totala osäkerhetsområden som innehåller $\ \displaystyle \ {\mathcal {U}}(\alpha ^{*},{\tilde {u}})\$ . Det gäller både robusthets- och opportunitetsmodellerna.

Detta illustreras i bilden: robustheten hos ett givet beslut ändras inte trots en ökning av osäkerhetsområdet från $\ \displaystyle {\mathfrak {U}}\$ till $\ \displaystyle {\mathfrak {U}}'''\$ .

Kort sagt, genom att uteslutande fokusera på den omedelbara närheten av skattningen är $\ \displaystyle {\tilde {u}}\$ info-gaps robusthets-/möjlighetsmodeller i sig lokala . Av denna anledning är de -- i princip -- oförmögna att inkorporera i analysen av $\ \displaystyle {\hat {\alpha }}(q,r_{c})\$ och $\ \displaystyle {\hat {\beta }}(q,r_{c})\$ osäkerhetsområden som ligger utanför kvarteren ${\mathcal {U}}({\hat {\alpha }}(q,r_{c}),{\tilde {u}})\$ och ${\displaystyle {\mathcal {U}}({\hat {\beta }}(q,r_{c}),{\tilde {u}})\ } av$ uppskattningen ${\displaystyle \ \displaystyle {\tilde {u}}\ } ,$ respektive.

För att illustrera, överväg ett enkelt numeriskt exempel där den totala regionen av osäkerhet är ${\mathfrak {U}}=(-\infty ,\infty ),\$ uppskattningen är $\ \displaystyle {\tilde {u}}=0\$ och för vissa beslut $\ \displaystyle {\hat {q}}\$ får vi ${\mathcal {U}}({\hat {\alpha }}({\hat {q}},r_{c}),{\ tilde {u}})=(-2,2)$ . Bilden är denna:

där termen "ingenmansland" syftar på den del av den totala osäkerhetsregionen som ligger utanför regionen $\ \displaystyle {\mathcal {U }}({\hat {\alpha }}(q,r_{c})+\varepsilon ,{\tilde {u}})\$ .

Observera att i det här fallet är robustheten i beslutet $\ \displaystyle {\hat {q}}\$ baserad på dess (värsta tänkbara) prestanda över inte mer än en minimal del av den totala osäkerhetsregionen som är en omedelbar grannskap av skattningen $\ \displaystyle {\tilde {u}}\$ . Eftersom info-gaps totala osäkerhetsområde vanligtvis är obegränsat, representerar denna illustration ett vanligt fall snarare än ett undantag.

Info-gaps robusthet/möjlighet är per definition lokala egenskaper. Som sådana kan de inte bedöma hur beslut genomförs över hela osäkerhetsområdet. Av denna anledning är det inte klart hur Info-Gaps Robustness/Opportuneness-modeller kan ge en meningsfull/sund/användbar grund för beslut under allvarlig osäkerhet där uppskattningen är dålig och sannolikt är väsentligen felaktig.

Denna avgörande fråga behandlas i efterföljande avsnitt av den här artikeln.

Maximin/Minimin: spela robusthet/möjlighetsspel med naturen

I mer än sextio år nu har Walds Maximin -modell figurerat inom klassisk beslutsteori och relaterade områden – såsom robust optimering – som det främsta icke-probabilistiska paradigmet för modellering och behandling av allvarlig osäkerhet .

Info-gap framhålls (t.ex. Ben-Haim 2001, 2006) som en ny icke-probabilistisk teori som skiljer sig radikalt från alla nuvarande beslutsteorier för beslut under osäkerhet. Så det är absolut nödvändigt att undersöka i denna diskussion på vilket sätt, om något, är info-gaps robusthetsmodell radikalt annorlunda än Maximin . För det första finns det en väletablerad bedömning av användbarheten av Maximin . Till exempel föreslår Berger (kapitel 5) att även i situationer där ingen tidigare information är tillgänglig (ett bästa fall för Maximin ), kan Maximin leda till dåliga beslutsregler och vara svåra att implementera. Han rekommenderar Bayesiansk metodik . Och som nämnts ovan,

Det bör också påpekas att minimaxprincipen även om den är tillämplig leder till en extremt konservativ politik.

Tintner (1952, s. 25)

Men helt bortsett från de konsekvenser som att fastställa denna punkt kan ha för användbarheten av info-gaps robusthetsmodell, är anledningen till att det ankommer på oss att klargöra förhållandet mellan info-gap och Maximin den senares centrala betydelse i beslutsteorin . Detta är trots allt en stor klassisk beslutsmetodik. Så varje teori som påstår sig tillhandahålla en ny icke-probabilistisk metod för beslut under allvarlig osäkerhet skulle förväntas jämföras med denna ståndaktiga beslutsteorin. Och ändå, inte bara en jämförelse av info-gaps robusthetsmodell med Maximin saknas i de tre böckerna som förklarar info-gap (Ben-Haim 1996, 2001, 2006), Maximin nämns inte ens i dem som den viktigaste beslutsteoretiska metodiken för stor osäkerhet om att det är så.

På andra håll i info-gap-litteraturen kan man finna diskussioner som handlar om likheter och skillnader mellan dessa två paradigm, samt diskussioner om sambandet mellan info-gap och worst-case-analys. Det allmänna intrycket är dock att det intima sambandet mellan dessa två paradigm har inte identifierats. I själva verket hävdas motsatsen. Till exempel, Ben-Haim (2005) hävdar att info-gaps robusthetsmodell liknar Maximin men inte är en Maximin- modell.

Följande citat uttrycker vältaligt Ben-Haims bedömning av info-gaps relation till Maximin och det ger riklig motivering för analysen som följer.

Vi noterar att robust tillförlitlighet absolut inte är en värsta tänkbar analys. I klassisk värsta min-max-analys minimerar designern effekten av det maximalt skadliga fallet. Men en infogap-modell för osäkerhet är en ogränsad familj av kapslade uppsättningar: $\ \displaystyle {\mathcal {U}}(\alpha ,{\tilde {u}})\$ , för alla $\ \displaystyle \alpha \geq 0\$ . Följaktligen finns det inget värsta fall: alla negativa händelser är mindre skadliga än någon annan mer extrem händelse som inträffar vid ett högre värde på $\ \displaystyle \alpha \$ . Vad ekv. (1) uttrycker är den största nivån av osäkerhet som är förenlig med ingen misslyckande. När designern väljer q för att maximera $\ \displaystyle {\hat {\alpha }}(q,r_{c})\$ maximerar han sin immunitet mot en obegränsad omgivande osäkerhet. Det närmaste detta kommer "min-maxing" är att designen väljs så att "dåliga" händelser (som orsakar belöning $\ \displaystyle R\$ mindre än $\ \displaystyle r_{c}\$ ) förekommer så "långt bort" som möjligt (bortom ett maximerat värde på ${\displaystyle \ \displaystyle {\hat {\alpha }}\ } )$ .

Ben-Haim, 1999, s. 271–2

Poängen att notera här är att detta uttalande missar det faktum att osäkerhetshorisonten $\ \displaystyle \alpha \$ ovan (implicit) avgränsas av prestationskravet

$r_{c}\leq R(q,u),\forall u\in {\mathcal {U}}(\ alfa ,{\tilde {u}})$

$\displaystyle \ {\mathcal {U}}(\alpha ,{\tilde {u}}),\alpha \geq 0\$ värsta tänkbara analys - en analys i taget för en given $\ \displaystyle \alpha \geq 0\$ - inom var och en av osäkerhetsregionerna .

Kort sagt, givet diskussionerna i info-gap-litteraturen i denna fråga, är det uppenbart att släktskapet mellan info-gaps robusthetsmodell och Walds Maximin -modell, liksom info-gaps släktskap med andra modeller av klassisk beslutsteori måste tas fram. att tända. Så målet i detta avsnitt är att placera info-gaps robusthets- och opportunitetsmodeller i sitt rätta sammanhang, nämligen inom de bredare ramarna för klassisk beslutsteori och robust optimering .

Diskussionen utgår från det klassiska beslutsteoretiska perspektivet som skisserats av Sniedovich (2007) och på standardtexter inom detta område (t.ex. Resnik 1987, French 1988).

Vissa delar av expositionen som följer har en matematisk inriktning. Detta är oundvikligt eftersom info-gaps modeller är matematiska.

Generiska modeller

Det grundläggande konceptuella ramverket som klassisk beslutsteori tillhandahåller för att hantera osäkerhet är ett spel för två spelare. De två aktörerna är beslutsfattaren (DM) och Nature, där Nature representerar osäkerhet. Mer specifikt representerar Nature DM:s inställning till osäkerhet och risk.

Observera att det görs en tydlig skillnad i detta avseende mellan en pessimistisk beslutsfattare och en optimistisk beslutsfattare, nämligen mellan en värsta tänkbar attityd och en attityd i bästa fall . En pessimistisk beslutsfattare antar att naturen spelar mot honom medan en optimistisk beslutsfattare antar att naturen spelar med honom.

För att uttrycka dessa intuitiva föreställningar matematiskt använder klassisk beslutsteori en enkel modell som består av följande tre konstruktioner:

• En uppsättning $\ \displaystyle D$ representerar det beslutsutrymme som är tillgängligt för DM.
• En uppsättning uppsättningar $\ \displaystyle \{S(d):d\in D\}\$ som representerar tillståndsutrymmen associerade med besluten i $\ \displaystyle D$ .
• En funktion $\ \displaystyle g=g(d,s)$ som anger de utfall som genereras av beslutstillståndsparen $\ \displaystyle (d,s) )\$ .

Funktionen $\ \displaystyle g\$ kallas objektivfunktion, payoff-funktion, returfunktion, kostnadsfunktion etc.

Beslutsprocessen (spelet) som definieras av dessa objekt består av tre steg:

• Steg 1: DM väljer ett beslut $d\in D$ .
• Steg 2: Som svar, givet $d$ , väljer naturen ett tillstånd $\ \displaystyle s\in S(d)\$ .
• Steg 3: Resultatet $g(d,s)$ tilldelas DM.

Observera att i motsats till spel som anses i klassisk spelteori , här flyttar den första spelaren (DM) först så att den andra spelaren (Naturen) vet vilket beslut som valdes av den första spelaren innan han valde sitt beslut. Sålunda är de konceptuella och tekniska komplikationerna angående existensen av Nash-jämviktspunkten inte relevanta här. Naturen är inte en oberoende aktör, det är en konceptuell enhet som beskriver DM:s inställning till osäkerhet och risk.

Vid första anblicken kan enkelheten i detta ramverk slå en som naiv. Ändå, vilket vittnas av mångfalden av specifika fall som den omfattar, är den rik på möjligheter, flexibel och mångsidig. För denna diskussions syften räcker det att överväga följande klassiska generiska uppsättning:

$z^{*}={\underset {d\in D}{\overset {\text{DM}} {\operatörsnamn {Opt} }}}\ {\underset {s\in S(d)}{\overset {\text{Nature}}{\operatörsnamn {opt} }}}g(d,s)$

där $\ \displaystyle \mathop {Opt} \$ och $\displaystyle \mathop {opt} \$ representerar DM:s respektive Naturens optimalitetskriterier, det vill säga var och en är lika med antingen $\ \displaystyle \max \$ eller $\ \displaystyle \min \$ .

Om $\ \displaystyle \mathop {Opt} =\mathop {opt} \$ så är spelet samarbetsvilligt, och om $\ \displaystyle \mathop {Opt} \neq \mathop {opt} \$ då är spelet icke-samarbetsvilligt. Det här formatet representerar alltså fyra fall: två icke-samarbetsspel (Maximin och Minimax) och två kooperativa spel (Minimin och Maximax). De respektive formuleringarna är följande:

${\begin{array}{cc||cc}{\text{Värsta -case pessimism}}&&{\text{Best-case optimism}}\\\hline {\text{Maximin}}&{\text{Minimax}}&{\text{Minimin}}&{\text{Maximax} }\\\displaystyle \max _{d\in D}\,\min _{s\in S(d)}\,g(d,s)&\displaystyle \min _{d\in D}\, \max _{s\in S(d)}\,g(d,s)&\displaystyle \min _{d\in D}\,\min _{s\in S(d)}\,g( d,s)&\displaystyle \max _{d\in D}\,\max _{s\in S(d)}\,g(d,s)\end{array}}$

Varje fall specificeras av ett par optimalitetskriterier som används av DM och Nature. Maximin skildrar till exempel en situation där DM strävar efter att maximera resultatet och Nature strävar efter att minimera det. På samma sätt representerar Minimin-paradigmet situationer där både DM och Nature strävar efter att minimera resultatet.

Av särskilt intresse för denna diskussion är Maximin- och Minimin-paradigmen eftersom de subsumerar info-gaps robusthets- respektive opportunitetsmodeller. Så här är de:

Maximin spel:

$\ \displaystyle \max _{d\in D}\,\min _{s\in S(d)}\,g( d,s)$

• Steg 1: DM väljer ett beslut $\ \displaystyle d\in D\$ i syfte att maximera resultatet $\ \displaystyle g(d,s)\$ .
• Steg 2: Som svar, givet $\ \displaystyle d\$ , väljer naturen ett tillstånd i $\ \displaystyle S(d)\$ som minimerar $\ \displaystyle g(d,s)\$ över $\ \displaystyle S(d)\$ .
• Steg 3: Resultatet $\ \displaystyle g(d,s)$ tilldelas DM.

Minimin spel:

$\ \displaystyle \min _{d\in D}\,\min _{s\in S(d)}\,g( d,s)$

• Steg 1: DM väljer ett beslut $\ \displaystyle d\in D\$ i syfte att minimera resultatet $\ \displaystyle g(d,s)\$ .
• Steg 2: Som svar, givet $\ \displaystyle d\$ , väljer naturen ett tillstånd i $\ \displaystyle S(d)\$ som minimerar $\ \displaystyle g(d,s)\$ över $\ \displaystyle S(d)\$ .
• Steg 3: Resultatet $\ \displaystyle g(d,s)$ tilldelas DM.

Med detta i åtanke, överväg nu info-gaps robusthets- och opportunitetsmodeller.

Info-gaps robusthetsmodell

Ur en klassisk beslutsteoretisk synvinkel är info-gaps robusthetsmodell ett spel mellan DM och Nature, där DM väljer värdet på $\ \displaystyle \alpha \$ (strävar efter största möjliga) medan Nature väljer det sämsta värdet på $\ \displaystyle u\$ i $\ \displaystyle {\mathcal {U}}(\alpha ,{\tilde {u}})\$ . I detta sammanhang är det sämsta värdet på $\ \displaystyle u\$ för ett givet $\ \displaystyle (q,\alpha )\$ -par ett ${\displaystyle \ \displaystyle u\in {\mathcal {U}}(\alpha ,{\tilde {u}})\ } som bryter mot prestandakravet r c$ ≤ $\ \displaystyle r_{c}\leq R(q,u)\ }$ . Detta uppnås genom att minimera $\ \displaystyle R(q,u)\$ över $\ \displaystyle {\mathcal {U}}(\alpha , {\tilde {u}})\$ .

Det finns olika sätt att införliva DM:s mål och naturens antagonistiska svar i ett enda resultat. Till exempel kan man använda följande karakteristiska funktion för detta ändamål:

$\varphi (q,\alpha ,u):={\begin{cases}\quad \alpha &,\ \ r_{c}\leq R(q,u)\\-\infty &,\ \ r_{c}>R(q,u)\end{fall}}\ ,\ q\in {\mathcal {Q}},\alpha \geq 0,u\in {\mathcal {U}}(\ alfa ,{\tilde {u}})$

Observera att, om så önskas, för varje triplett $\ \ (q,\alpha ,u)\$ av intresse vi har

$r_{c}\leq R(q,u)\ \ \ \longleftrightarrow \ \ \ \alpha \leq \varphi ( q,\alpha ,u)$

ur DM:s synvinkel är att tillfredsställa prestandabegränsningen därför ekvivalent med att maximera $\ \displaystyle \varphi (q,\alpha ,u)\$ .

Kortfattat,

Info-gaps Maximin Robustness Game för beslut $\ \displaystyle q\$ :

$\ \displaystyle {\hat {\alpha }}(q,r_{ c}):=\max _{\alpha \geq 0}\,\min _{u\in {\mathcal {U}}(\alpha ,{\tilde {u}})}\,\varphi (q ,\alpha ,u)$

• Steg 1: DM väljer en osäkerhetshorisont $\ \displaystyle \alpha \geq 0\$ i syfte att maximera resultatet $\ \displaystyle \varphi (q ,\alpha ,u)\$ .
• Steg 2: Som svar, givet $\ \displaystyle \alpha \$ , väljer naturen a $\ \displaystyle u\in {\mathcal {U}}(\alpha ,{\tilde {u}})\$ som minimerar $\ \displaystyle \varphi (q,\alpha ,u)\$ över $\ \displaystyle {\mathcal {U}}(\alpha ,{\tilde {u}})\$ .
• Steg 3: Utfallet $\ \displaystyle \varphi (q,\alpha ,u)$ tilldelas DM.

Tydligen är DM:s optimala alternativ att välja det största värdet av $\ \displaystyle \alpha \$ så att den sämsta $\ \displaystyle u\in {\mathcal { U}}(\alpha ,{\tilde {u}})\$ uppfyller prestandakravet.

Maximins teorem

Som visas i Sniedovich (2007) är Info-gaps robusthetsmodell en enkel instans av Walds maximin-modell . Specifikt,

${\hat {\alpha }}(q,{r_{c}})=\max \left\{\alpha :\ {r_{\rm {c}}}\leq \min _{u\in {\mathcal {U}}(\alpha ,{\tilde {u}})}R(q,u)\right\}=\max _{\alpha \geq 0}\min _{u\in {\mathcal {U}}(\alpha ,{\tilde {u}})}\varphi (q,\alpha ,u)\quad \quad \Box$

Info-gaps opportunitetsmodell

På samma sätt är info-gaps opportunitetsmodell en enkel instans av den generiska Minimin-modellen. Det är,

${\hat {\beta }}(q,{r_{c}})=\min \left\{\alpha :\ {r_{c}}\leq \max _{u \in {\mathcal {U}}(\alpha ,{\tilde {u}})}R(q,u)\right\}=\min _{\alpha \geq 0}\min _{u\in {\mathcal {U}}(\alpha ,{\tilde {u}})}\psi (q,\alpha ,u)$

var

$\psi (q,\alpha ,u)=\left\{{\begin{matrix}\alpha &,&{r_{c}}\leq R(q,u)\\\infty &,&{r_{c} }>R(q,u)\end{matris}}\right.\ ,\ \alpha \geq 0,u\in {\mathcal {U}}(\alpha ,{\tilde {u}})$

observera att, som önskat, för varje triplett $\ \ (q,\alpha ,u)\$ av intresse vi har

$r_{w}\leq R(q,u)\ \ \ \longleftrightarrow \ \ \ \alpha \geq \psi ( q,\alpha ,u)$

därför, för ett givet par $\ \displaystyle (q,\alpha )\$ , skulle DM uppfylla prestandakravet genom att minimera resultatet $\ \ displaystyle \psi (q,\alpha ,u)\$ över $\ \displaystyle {\mathcal {U}}(\alpha ,{\tilde {u}})\$ . Naturens beteende är en återspegling av hennes sympatiska ställning här.

Anmärkning: Denna inställning till risk och osäkerhet som förutsätter att naturen kommer att leka med oss, är ganska naiv. Som noterats av Resnik (1987, s. 32) "... Men den regeln skulle säkert ha få anslutning...". Ändå används den ofta i kombination med Maximin- regeln i formuleringen av Hurwiczs optimism -pessimism- regel (Resnik 1987, French 1988) i syfte att mildra Maximins extrema konservatism .

Matematiska programmeringsformuleringar

För att mer kraftfullt framhålla att info-gaps robusthetsmodell är en instans av den generiska Maximin- modellen, och info-gaps opportunitetsmodell en instans av den generiska Minimin-modellen, är det lärorikt att undersöka motsvarande så kallade Mathematical Programming (MP)-format av dessa generiska modeller (Ecker och Kupferschmid, 1988, s. 24–25; Thie 1988 s. 314–317; Kouvelis och Yu, 1997, s. 27):

${ \displaystyle {\begin{array}{c|c|c}{\textit {Model}}&{\textit {Classical\ Format}}&{\textit {MP\ Format}}\\\hline {\textit { Maximin:}}&\displaystyle \max _{d\in D}\ \min _{s\in S(d)}\ g(d,s)&\displaystyle \max _{d\in D,\alpha \in \mathbb {R} }\{\alpha :\alpha \leq \min _{s\in S(d)}g(d,s)\}\\{\textit {Minimin:}}&\displaystyle \min _{d\in D}\ \min _{s\in S(d)}\ g(d,s)&\displaystyle \min _{d\in D,\alpha \in \mathbb {R} }\{\alpha :\alpha \geq \min _{s\in S(d)}g(d,s)\}\end{array}}}$

Således, i fallet med info-gap vi har

${\begin{array}{c|c|c|c}{\textit {Model}}&{\textit {Info-Gap\ Format}}&{\textit {MP\ Format} }&{\textit {Classical\ Format}}\\\hline {\textit {Robustness}}&\displaystyle \max\{\alpha :r_{c}\leq \min _{u\in {\mathcal {U }}(\alpha ,{\tilde {u}})}R(q,u)\}&\displaystyle \displaystyle \max\{\alpha :\alpha \leq \min _{u\in {\mathcal { U}}(\alpha ,{\tilde {u}})}\varphi (q,\alpha ,u)\}&\displaystyle \max _{\alpha \geq 0}\ \min _{u\in { \mathcal {U}}(\alpha ,{\tilde {u}})}\ \varphi (q,\alpha ,u)\\{\textit {Opportuneness}}&\displaystyle \min\{\alpha :r_ {c}\leq \max _{u\in {\mathcal {U}}(\alpha ,{\tilde {u}})}R(q,u)\}&\displaystyle \displaystyle \min\{\ alpha :\alpha \geq \min _{u\in {\mathcal {U}}(\alpha ,{\tilde {u}})}\psi (q,\alpha ,u)\}&\displaystyle \min _{\alpha \geq 0}\ \min _{u\in {\mathcal {U}}(\alpha ,{\tilde {u}})}\ \psi (q,\alpha ,u)\end{ array}}$

För att verifiera ekvivalensen mellan info-gaps format och respektive beslutsteoretiska format, kom ihåg att, genom konstruktion, för varje triplett ( $\displaystyle \ \displaystyle (q,\alpha ,u)\ }$ av intresse vi har

$\alpha \leq \varphi (q,\alpha ,u)\ \ \ \longleftrightarrow \ \ \ r_{c}\ leq R(q,u)$

$\alpha \geq \psi (q,\alpha ,u)\ \ \ \longleftrightarrow \ \ \ r_{w}\ leq R(q,u)$

Detta innebär att i fallet med robusthet/ Maximin kommer en antagonistisk Natur (effektivt) att minimera $\ \displaystyle R(q,u)\$ genom att minimera ${ \displaystyle \ \displaystyle \varphi (q,\alpha ,u)\ }$ medan i fallet med opportunitet/Minimin kommer en sympatisk Natur (effektivt) att maximera $\ \displaystyle R(q,u) )\$ genom att minimera $\ \displaystyle \psi (q,\alpha ,u)\$ .

Sammanfattning

Info-gaps robusthetsanalys stipulerar att givet ett par $\ \displaystyle (q,\alpha )\$ , det sämsta elementet i $\ \displaystyle {\mathcal {U}}(\alpha ,{\tilde {u}})\$ realiseras. Detta är naturligtvis en typisk Maximin- analys. I klassisk beslutsteoris språkbruk :

Beslutets robusthet $\ \displaystyle q\$ är den största osäkerhetshorisonten, ${\displaystyle \ \displaystyle \alpha \ } ,$ så att det sämsta värdet av $\ \displaystyle u\$ i ${\displaystyle \ \displaystyle {\mathcal {U}}(\alpha ,{\tilde {u}})\ } uppfyller prestandakravet$ r $\displaystyle \ \displaystyle r_{c}\leq R(q,u)\ }$ .

På liknande sätt stipulerar info-gaps opportunitetsanalys att givet ett par $\ \displaystyle (q,\alpha )\$ , det bästa elementet i $\ \displaystyle { \mathcal {U}}(\alpha ,{\tilde {u}})\$ realiseras. Detta är naturligtvis en typisk Minimin-analys. beslutsteoris språkbruk :

Beslutsmöjligheten q {\displaystyle \ \ $\ \displaystyle \alpha \$$q\ }$ är den minsta osäkerhetshorisonten, , så att det bästa värdet av $\ \displaystyle u\$ i ${\displaystyle \ \displaystyle {\mathcal {U}}(\alpha ,{\tilde {u}})\ } uppfyller prestandakravet$ r $\displaystyle \ \displaystyle r_{w}\leq R(q,u)\ }$ .

De matematiska translitterationerna av dessa begrepp är enkla, vilket resulterar i typiska Maximin/Minimin-modeller.

Långt ifrån att vara restriktiv är de generiska Maximin/Minimin-modellernas slimmade struktur en välsignelse i förklädd. Huvudpoängen här är att den abstrakta karaktären hos de tre grundläggande konstruktionerna av de generiska modellerna

• Beslut
• stat
• Resultat

möjliggör i själva verket stor flexibilitet vid modellering.

En mer detaljerad analys krävs därför för att få fram den fulla kraften i sambandet mellan infogap och generiska klassiska beslutsteoretiska modeller. Se #Anteckningar om konsten att modellera matematik .

Skattjakt

Följande är en bildlig sammanfattning av Sniedovichs (2007) diskussion om lokal kontra global robusthet. I illustrativt syfte gjuts den här som en skattjakt. Den visar hur elementen i info-gaps robusthetsmodell förhåller sig till varandra och hur den svåra osäkerheten behandlas i modellen.

	(1) Du är ansvarig för en skattjakt på en liten kontinent någonstans i Asien/Stillahavsområdet. Du konsulterar en portfölj av sökstrategier. Du måste bestämma vilken strategi som skulle vara bäst för just den här expeditionen.		(2) Svårigheten är att skattens exakta plats på kontinenten är okänd. Det finns ett stort gap mellan vad du behöver veta – skattens sanna plats – och vad du faktiskt vet – en dålig uppskattning av den sanna platsen.		(3) På något sätt beräknar du en uppskattning av den verkliga platsen för skatten. Eftersom vi här har att göra med allvarlig osäkerhet, antar vi – metodologiskt sett – att denna uppskattning är en dålig indikation på den verkliga platsen och sannolikt är väsentligen felaktig.
	(4) För att bestämma robustheten hos en given strategi genomför du en lokal värsta tänkbar analys i omedelbar närhet av den dåliga uppskattningen. Specifikt beräknar du den största säkra avvikelsen från den dåliga uppskattningen som inte bryter mot prestandakravet.		(5) Du beräknar robustheten för varje sökstrategi i din portfölj och du väljer den vars robusthet är störst.	(6) För att påminna dig själv och expeditionens finansiärer om att denna analys är föremål för stor osäkerhet när det gäller skattens verkliga plats, är det viktigt – metodologiskt sett – att visa den verkliga platsen på kartan. Naturligtvis vet du inte den verkliga platsen. Men med tanke på hur allvarlig osäkerheten är, placerar du den på ett visst avstånd från den dåliga uppskattningen. Ju större osäkerheten är, desto större bör avståndet (gapet) mellan den verkliga platsen och uppskattningen vara.
	Epilog: Enligt Sniedovich (2007) är detta en viktig påminnelse om den centrala frågan i beslutsfattande under svår osäkerhet. Uppskattningen vi har är en dålig indikation på det verkliga värdet av parametern av intresse och kommer sannolikt att vara väsentligt felaktig. Därför är det i fallet med info-gap viktigt att visa gapet på kartan genom att visa det sanna värdet av $\ \displaystyle u\$ någonstans i osäkerhetsområdet. Den lilla röda $\ \clubsuit \$ representerar den sanna (okända) platsen för skatten.

Sammanfattningsvis:

Info-gaps robusthetsmodell är en matematisk representation av en lokal worst-case-analys i närheten av en given uppskattning av det verkliga värdet av parametern av intresse. Under allvarlig osäkerhet antas uppskattningen vara en dålig indikation på parameterns verkliga värde och sannolikt vara väsentligt felaktig.

Den grundläggande frågan är därför: Med tanke på

• Osäkerhetens svårighetsgrad
• Analysens lokala karaktär
• Dålig kvalitet på uppskattningen

hur meningsfulla och användbara är resultaten som genereras av analysen, och hur bra är metodiken som helhet?

Mer om denna kritik kan hittas på Sniedovichs webbplats.

Anteckningar om konsten att modellera matematik

Tillfredsställande av begränsningar kontra utbetalningsoptimering

Alla tillfredsställande problem kan formuleras som ett optimeringsproblem. För att se att det är så, låt den objektiva funktionen för optimeringsproblemet vara indikatorfunktionen för de begränsningar som hänför sig till det tillfredsställande problemet. Således, om vår oro är att identifiera ett värsta scenario som hänför sig till en restriktion, kan detta göras via en lämplig Maximin/Minimax worst-case-analys av restriktionens indikatorfunktion.

Detta innebär att de generiska beslutsteoretiska modellerna kan hantera utfall som induceras av krav som uppfyller krav snarare än av säg utbetalningsmaximering.

Observera i synnerhet likvärdigheten

$r\leq f(x)\ \ \longleftrightarrow \ \ 1\leq I(x)$

var

$I(x):={\begin{cases}1&,\ \ r\leq f( x)\\0&,\ \ r>f(x)\end{cases}}\ ,\ x\in X$

och därför

$x\in X,r\leq f(x)\ \ \ \longleftrightarrow \ \ \ x=\arg \ ,\max _{x\in X}I(x)$

Rent praktiskt betyder detta att en antagonistisk natur kommer att sträva efter att välja ett tillstånd som kommer att bryta mot begränsningen medan en sympatisk natur kommer att sträva efter att välja ett tillstånd som kommer att uppfylla begränsningen. När det gäller resultatet är påföljden för att överträda begränsningen sådan att beslutsfattaren kommer att avstå från att välja ett beslut som gör det möjligt för Naturen att bryta mot begränsningen inom det statliga utrymmet som hör till det valda beslutet.

Rollen som "min" och "max"

Det bör betonas att funktionen enligt info-gaps robusthetsmodell, dess typiska Maximin- karaktär inte är närvaron av både $\ \displaystyle \min \$ och $\ \displaystyle \max \$ i formuleringen av infogap-modellen. Anledningen till detta är snarare en djupare. Det går till hjärtat av det konceptuella ramverket som Maximin -modellen fångar: Naturen spelar mot DM. Det är det här som är avgörande.

För att se att det är så, låt oss generalisera info-gaps robusthetsmodell och överväga följande modifierade modell istället:

$z(q):=\max\{\alpha :R(q, u)\in C,\forall u\in {\mathcal {U}}(\alpha ,{\tilde {u}})\}$

$\ \displaystyle C\$ i detta sammanhang är någon uppsättning och $\ R\$ är någon funktion på $\ \displaystyle {\mathcal {Q}}\times {\ mathfrak {U}}$ . Observera att det inte antas att $\ \displaystyle R\$ är en verkligt värderad funktion. Observera också att "min" saknas i denna modell.

Allt vi behöver göra för att införliva en min i denna modell är att uttrycka begränsningen

$R(q,u)\in C\ ,\ \forall u\in {\mathcal {U}}(\alpha , {\tilde {u}})$

som ett värsta tänkbart krav. Detta är en enkel uppgift, att observera att för varje triplett $\ \displaystyle (q,\alpha .u)\$ av intresse vi har

$R(q,u)\in C\ \ \ \longleftrightarrow \ \ \ \alpha \leq I(q,\alpha , u)$

var

$I (q,\alpha ,u):={\begin{cases}\quad \alpha &,\ \ R(q,u)\i C\\-\infty &,\ \ R(q,u)\notin C\end{cases}}\ ,\ q\in {\mathcal {Q}},u\in {\mathcal {U}}(\alpha ,{\tilde {u}})$

därav,

${\begin{array}{ccl}\max\{\alpha :R(q, u)\in C,\forall u\in {\mathcal {U}}(\alpha ,{\tilde {u}})\}&=&\max\{\alpha :\alpha \leq I(q, \alpha ,u),\forall u\in {\mathcal {U}}(\alpha ,{\tilde {u}})\}\\&=&\max\{\alpha :\alpha \leq \displaystyle \min _{u\in {\mathcal {U}}(\alpha ,{\tilde {u}})}I(q,\alpha ,u)\}\end{array}}$

som naturligtvis är en Maximin -modell a la matematisk programmering.

Kortfattat,

$\max\{\alpha :R(q,u)\in C,\forall u\in {\mathcal {U}}(\alpha ,{\tilde {u}})\}=\max _{\alpha \geq 0}\ \min _{u\in {\mathcal {U}}(\alpha ,{\tilde {u}})}I(q,\alpha ,u)\}$

Observera att även om modellen till vänster inte innehåller ett uttryckligt "min", är det ändå en typisk Maximin-modell. Funktionen som gör den till en Maximin- modell är $\ \displaystyle \forall \$ -kravet som lämpar sig för en intuitiv formulering och tolkning i värsta fall.

Faktum är att närvaron av ett dubbelt "max" i en robusthetsmodell med infogap inte nödvändigtvis förändrar det faktum att denna modell är en Maximin- modell. Tänk till exempel på robusthetsmodellen

$\max\{\alpha :r_{c}\geq \max _{u\in {\mathcal {U}}(\alpha ,{\tilde {u}})}R(q,u)\}$

Detta är en instans av följande Maximin- modell

$\max _{\alpha \geq 0}\min _{u\in {\mathcal {U}}(\ alfa ,{\tilde {u}})}\vartheta (q,\alpha ,u)$

var

$\vartheta (q,\alpha ,u):={ \begin{cases}\quad \alpha &,\ \ r_{c}\geq R(q,\alpha )\\-\infty &,\ \ r_{c}<R(q,\alpha )\end{ fall}}$

Det "inre min" indikerar att Nature spelar mot DM - "max" spelaren - och därför är modellen en robusthetsmodell.

Typen av info-gap/maximin/minimin-anslutningen

Denna modelleringsfråga diskuteras här eftersom påståenden har gjorts att även om det finns ett nära samband mellan info-gaps robusthets- och opportunitetsmodeller och de generiska maximin- respektive Minimin-modellerna, är beskrivningen av info-gap som en instans av dessa modeller för stark. Argumentet som framförs är att även om det är sant att info-gaps robusthetsmodell kan uttryckas som en maximin- modell, är den förra inte en instans av den senare.

Denna invändning härrör tydligen från det faktum att alla optimeringsproblem kan formuleras som en maximinmodell genom en enkel användning av dummyvariabler . Det vill säga helt klart

$\min _{x\in X}f(x)=\max _{y\in Y}\ min _{x\in X}g(y,x)$

var

$g(y,x)=f(x)\ ,\ \forall x\in X,y\in Y$

för varje godtycklig icke-tom uppsättning $Y$ .

Poängen med denna invändning verkar vara att vi riskerar att urvattna innebörden av begreppet instans om vi på så sätt hävdar att eventuella minimeringsproblem är en instans av maximinmodellen .

Det måste därför påpekas att denna oro är helt obefogad när det gäller relationen info-gap/maximin/minimin. Överensstämmelsen mellan info-gaps robusthetsmodell och den generiska maximinmodellen är varken konstruerad eller formulerad med hjälp av dummyobjekt. Korrespondensen är omedelbar, intuitiv och övertygande och beskrivs därför träffande med termen instans av .

Specifikt, som visas ovan, är info-gaps robusthetsmodell en instans av den generiska maximin-modellen som specificeras av följande konstruktioner:

${\begin{aligned}{\text {Decision space}}&&D&=(0,\infty )\\{\text{Status spaces}}&&S(d)&={\mathcal {U}}(d,{\tilde {u}})\\{ \text{Utfall}}&&g(d,s)&=\varphi (q,d,s)\end{aligned}}$

Dessutom bör de som protesterar mot användningen av termen instans av notera att Maximin-modellen som formulerats ovan har en likvärdig så kallad Mathematical Programming (MP)-formulering som härrör från det faktum att

${\begin{array}{rcl}{\text{Classical maximin format}}&&{\text{MP maximin format}}\\\displaystyle \max _{d\in D}\ \min _{ s\in S(d)}\ g(d,s)&=&\displaystyle \max _{d\in D,\alpha \in \mathbb {R} }\{\alpha :\alpha \leq \min _{s\in S(d)}g(d,s)\}\end{array}}$

där $\ \mathbb {R} \$ anger den verkliga linjen.

Så här är sida vid sida info-gaps robusthetsmodell och de två likvärdiga formuleringarna av det generiska maximinparadigmet :

${\begin{array}{l}{\text{Robusthetsmodell }}\\{\begin{array}{c|c|c}{\text{Info-gap format}}&{\text{MP maximin format}}&{\text{Klassiskt maximin format}}\\\ hline \\[-0.18in]\displaystyle \max\{\alpha :r_{c}\leq \min _{u\in {\mathcal {U}}(\alpha ,{\tilde {u}})} R(q,u)\}&\displaystyle \max\{\alpha :\alpha \leq \min _{u\in {\mathcal {U}}(\alpha ,{\tilde {u}})}\ \varphi (q,\alpha ,u)\}&\displaystyle \max _{\alpha \geq 0}\ \min _{u\in {\mathcal {U}}(\alpha ,{\tilde {u} })}\varphi (q,\alpha ,u)\end{array}}\end{array}}$

Observera att likvärdigheten mellan dessa tre representationer av samma beslutsfattande situation inte använder dummyvariabler. Det är baserat på likvärdigheten

$r_{c}\leq R(q,u)\longleftrightarrow \alpha \leq \varphi (q,\alpha ,u )$

härledd direkt från definitionen av den karakteristiska funktionen $\varphi$ .

Uppenbarligen är info-gaps robusthetsmodell en instans av den generiska maximin- modellen.

På samma sätt har vi för info-gaps opportunitetsmodell

${\begin{array}{l}{\text{Möjlighetsmodell }}\\{\begin{array}{c|c|c}{\text{Info-gap Format}}&{\text{MP miniminformat}}&{\text{Klassiskt miniminformat}}\\\ hline \\[-0.18in]\displaystyle \min\{\alpha :r_{w}\leq \max _{u\in {\mathcal {U}}(\alpha ,{\tilde {u}})} R(q,u)\}&\displaystyle \min\{\alpha :\alpha \geq \min _{u\in {\mathcal {U}}(\alpha ,{\tilde {u}})}\ \psi (q,\alpha ,u)\}&\displaystyle \min _{\alpha \geq 0}\ \min _{u\in {\mathcal {U}}(\alpha ,{\tilde {u} })}\psi (q,\alpha ,u)\end{array}}\end{array}}$

Återigen bör det betonas att likvärdigheten mellan dessa tre representationer av samma beslutsfattande situation inte använder dummyvariabler. Det är baserat på likvärdigheten

$r_{c}\leq R(q,u)\longleftrightarrow \alpha \geq \psi (q,\alpha ,u )$

härledd direkt från definitionen av den karakteristiska funktionen $\psi$ .

För att "hjälpa" DM:en att minimera $\alpha$ , kommer en sympatisk natur att välja a $u\in {\mathcal {U}}(\alpha ,{ \tilde {u}})\$ som minimerar $\ \psi (q,\alpha ,u)\$ över $\ \displaystyle { \mathcal {U}}(\alpha ,{\tilde {u}})\$ .

Uppenbarligen är info-gaps opportunitetsmodell ett exempel på den generiska miniminmodellen.

Andra formuleringar

Det finns naturligtvis andra giltiga representationer av robusthet/möjlighetsmodellerna. Till exempel, i fallet med robusthetsmodellen, kan resultaten definieras enligt följande (Sniedovich 2007):

$g(\alpha ,u):=\alpha \cdot \left(r_{c}\preceq R(q, du har rätt)$

där den binära operationen $\ \ \preceq \ \$ definieras enligt följande:

$a\preceq b:={\begin{cases}1&,\ \ a\leq b\\0&,\ \ a>b\end{ fall}}$

Motsvarande MP-format för Maximin -modellen skulle då vara följande:

$\max\{\alpha :\alpha \leq \min _{u\in {\mathcal {U}}(\alpha ,{\tilde {u}})} \alpha \cdot \left(r_{c}\preceq R(q,u)\right)\}=\max\{\alpha :1\leq \min _{u\in {\mathcal {U}}( \alpha ,{\tilde {u}})}\left(r_{c}\preceq R(q,u)\right)\}$

Med ord, för att maximera robustheten, väljer DM det största värdet av $\ \alpha \$ så att prestandarestriktionen $\ r_{c}\leq R( q,u)\$ är uppfylld av alla $\ u\in {\mathcal {U}}(\alpha ,{\tilde {u}})\$ . I klartext: DM väljer det största värdet av $\ \displaystyle \alpha \$ vars sämsta resultat i området för osäkerhet av storlek $\ \displaystyle \alpha \$ uppfyller prestandakravet.

Förenklingar

Som regel är de klassiska Maximin- formuleringarna inte särskilt användbara när det gäller att lösa de problem de representerar, eftersom ingen Maximin -lösare för "allmänt syfte" är tillgänglig (Rustem och Howe 2002).

Det är därför vanlig praxis att förenkla den klassiska formuleringen i syfte att erhålla en formulering som skulle vara lätt mottaglig för lösning. Detta är en problemspecifik uppgift som innebär att man utnyttjar ett problems specifika egenskaper. Det matematiska programmeringsformatet för Maximin är ofta mer användarvänligt i detta avseende.

Det bästa exemplet är förstås den klassiska Maximin -modellen av 2-personers nollsummespel som efter effektivisering reduceras till en vanlig linjär programmeringsmodell (Thie 1988, s. 314–317) som lätt löses av linjära programmeringsalgoritmer .

För att upprepa, den här linjära programmeringsmodellen är en instans av den generiska Maximin- modellen som erhålls genom förenkling av den klassiska Maximin- formuleringen av 2-personers nollsummespel .

Ett annat exempel är dynamisk programmering där Maximin-paradigmet är inkorporerat i den dynamiska programmeringsfunktionekvationen som representerar sekventiella beslutsprocesser som är föremål för stor osäkerhet (t.ex. Sniedovich 2003).

Sammanfattning

Kom ihåg att i klartext upprätthåller Maximin -paradigmet följande:

Maximin regel

Maximin-regeln säger åt oss att rangordna alternativ efter deras sämsta möjliga resultat: vi ska anta alternativet vars sämsta resultat är överlägset det sämsta resultatet av de andra.

Rawls (1971, s. 152)

Info-gaps robusthetsmodell är ett enkelt exempel på detta paradigm som kännetecknas av ett specifikt beslutsutrymme, tillståndsrum och objektiv funktion, som diskuterats ovan.

Mycket kan vinnas genom att se info-gaps teori i detta ljus.

Se även

• Bayesiansk uppskattning
• Bayesiansk slutledning
• Bayesiansk sannolikhet
• Beslutsanalys
• Beslutsteori
• Hierarkisk Bayes modell
• Lista över publikationer i statistik
• Markov-kedjan Monte Carlo
• Robust beslutsfattande
• Robust optimering
• Robust statistik
• Känslighetsanalys
• Stabilitetsradie

externa länkar

• Info-Gap-teori och dess tillämpningar , ytterligare information om info-gap-teori

  Vad är Info-Gap-teori? informell introduktion

  Att fatta ansvarsfulla beslut (när det verkar som att du inte kan): Ingenjörsdesign och strategisk planering under allvarlig osäkerhet

  Hur började teorin om infogap? Hur växer det?

  Vanliga frågor om info-gap teori

• Info-Gap Campaign , ytterligare analys och kritik av info-gap

  Vanliga frågor om Info-Gap Decision Theory ( PDF )