Infinity Laplacian

I matematik är infinity Laplace (eller $L^{\infty }$ -Laplace) operatorn en 2:a ordningens partiell differentialoperator , vanligen förkortad $\Delta _{\infty }$ . Den definieras växelvis av

$\Delta _{\infty }u(x)=\langle Du,D^{2}u\,Du\rangle =\sum _{i,j}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_{i}\ ,\partial x_{j}}}{\frac {\partial u}{\partial x_{i}}}{\frac {\partial u}{\partial x_{j}}}$

eller

$\Delta _{\infty }u(x)={\frac {\langle Du,D^{2}u\,Du\rangle }{|Du|^{2}}}={\frac { 1}{|Du|^{2}}}\summa _{i,j}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_{i}\,\partial x_{j}}}{ \frac {\partial u}{\partial x_{i}}}{\frac {\partial u}{\partial x_{j}}}.$

Den första versionen undviker singulariteten som uppstår när gradienten försvinner, medan den andra versionen är homogen av ordningen noll i gradienten. Verbalt är den andra versionen den andra derivatan i gradientens riktning . I fallet med infinity Laplace-ekvationen ${\displaystyle \Delta _{\infty }u=0} ,$ är de två definitionerna ekvivalenta.

Även om ekvationen involverar andraderivator, är vanligtvis (generaliserade) lösningar inte dubbelt differentierbara, vilket framgår av den välkända Aronsson-lösningen $4/3}}$ . Av denna anledning är den korrekta uppfattningen om lösningar den som ges av viskositetslösningarna .

Viskositetslösningar till ekvationen $\Delta _{\infty }u=0$ är också kända som oändliga harmoniska funktioner . Denna terminologi härrör från det faktum att infinity Laplace-operatorn först uppstod i studien av absoluta minimerare för ${\displaystyle \|Du\|_{L^{\infty }}} ,$ och den kan ses i en viss mening som gränsen för p-laplacian som $p\rightarrow \infty$ . På senare tid har viskositetslösningar till infinity Laplace-ekvationen identifierats med payoff-funktionerna från randomiserade dragkampsspel . Den spelteoretiska synvinkeln har avsevärt förbättrat förståelsen av själva den partiella differentialekvationen .

Diskret version och spelteori

En definierande egenskap för de vanliga $L^{2}$ - harmoniska funktionerna är medelvärdesegenskapen . Som har en naturlig och viktig diskret version: en verkligt värderad funktion $f$ på en finit eller oändlig graf $G(V,E)$ är diskret harmonisk på en delmängd $U\subseteq V$ if

$f(x)={\frac {1}{\deg(x)}}\summa _{y\sim x} f(y)$

för alla $x\in U$ . På liknande sätt har den försvinnande andraderivatan i gradientens riktning en naturlig diskret version:

$f(x)={\frac {\sup\{f(y): y\sim x\}+\inf\{f(y):y\sim x\}}{2}}$ .

I den här ekvationen använde vi sup och inf istället för max och min eftersom grafen $G(V,E)$ inte behöver vara lokalt ändlig (dvs för att ha ändliga grader): a nyckelexempel är när $V(G)$ är mängden punkter i en domän i $\mathbb {R} ^{d}$ , och $(x,y)\in E(G)$ om deras euklidiska avstånd är högst $\epsilon$ . Vikten av detta exempel ligger i det följande.

Betrakta en avgränsad öppen mängd $D\subseteq \mathbb {R} ^{d}$ med jämn gräns $\partial D$ , och en kontinuerlig funktion ${\ displaystyle f:\partial D\longrightarrow \mathbb {R} }$ . I ${\displaystyle L^{2}} -fallet,$ ges en approximation av den harmoniska förlängningen av f till D genom att ta ett gitter $\mathbb {Z} _{\epsilon }^{ d}$ med liten maskstorlek $\epsilon$ , låter $G_{\epsilon }(V,E)=D\cap \mathbb {Z } _{\epsilon }^{d}$ och $\partial V\subset V$ är uppsättningen av hörn med grad mindre än 2d , med en naturlig approximation ${\ displaystyle f_{\epsilon }:\partial V\longrightarrow \mathbb {R} } ,$ och sedan ta den unika diskreta harmoniska förlängningen av $f_{\epsilon }$ till V . Det är dock lätt att se med exempel att detta inte fungerar för $L^{\infty }$ -fallet. Istället bör man, som det visar sig, ta kontinuumgrafen med alla längdkanter som mest ${\displaystyle \epsilon } ,$ som nämnts ovan.

Nu, ett probabilistiskt sätt att se på $L^{2}$ -harmoniska förlängningen av $f_{\epsilon }$ från $\partial V$ till $V$ är det

$f_{\epsilon }(x)=\mathbb {E} {\big [}f_{\epsilon }(X_{\tau })\,|\,X_{0}=x{ \big ]}$ ,

där $X_{0},X_{1},\dots$ är den enkla slumpmässiga vandringen på $G_{\epsilon }(V,E)$ startade vid $X_{0}=x$ , och $\tau$ är träfftiden för $\partial V$ .

För $L^{\infty }$ -fallet behöver vi spelteori . En token startas på plats $x\in V(G)$ , och $f:\partial V\longrightarrow \mathbb {R}$ ges. Det finns två spelare, i varje tur slår de ett rättvist mynt, och vinnaren kan flytta token till vilken granne som helst på den aktuella platsen. Spelet avslutas när token når $\partial V$ någon gång $\tau$ och plats $X_{\tau }$ , då den första spelaren får beloppet $f(X_{\tau })$ från den andra spelaren. Därför vill den första spelaren maximera $f(X_{\tau })$ , medan den andra spelaren vill minimera det. Om båda spelarna spelar optimalt (vilket har en väldefinierad betydelse i spelteorin), förväntas den förväntade utdelningen $\mathbb {E} [f(X_{\tau })\,|\,X_{0}=x]$ till den första spelaren är en diskret oändlig harmonisk funktion, enligt definitionen ovan.

Det finns också en spelteoretisk syn på p-Laplacian , som interpolerar mellan enkel random walk och ovanstående slumpmässiga dragkamp.

Källor

•   Barron, Emmanuel Nicholas; Evans, Lawrence C .; Jensen, Robert (2008), "The infinity Laplacian, Aronsson's equation and their generalizations" (PDF) , Transactions of the American Mathematical Society , 360 ( 1): 77–101, doi : 10.1090/S0002-9947-087-04333333 3 , ISSN 0002-9947
•    Peres, Yuval; Schramm, Oded ; Sheffield, Scott; Wilson, David B. (2009), "Tug-of-war and the infinity Laplacian." Journal of the American Mathematical Society , 22 (1): 167–210, arXiv : math/0605002v2 , Bibcode : 2009JAMS... 22..167P , doi : 10.1090/s0894-0347-08-00606-1 , MR 2449057 , S2CID 15472459 .