p -Laplacian

Inom matematiken är p . -Laplacian , eller p -Laplace-operatorn , en kvaslinjär elliptisk partiell differentialoperator av 2:a ordningen Det är en olinjär generalisering av Laplace-operatorn , där $p$ tillåts sträcka sig över $1<p<\infty$ . Det är skrivet som

$\Delta _{p}u:=\nabla \cdot (|\nabla u|^{p-2}\nabla u).$

Där $|\nabla u|^{p-2}$ definieras som

$\quad |\nabla u|^{p-2}=\left[\ textstil \left({\frac {\partial u}{\partial x_{1}}}\right)^{2}+\cdots +\left({\frac {\partial u}{\partial x_{n} }}\right)^{2}\right]^{\frac {p-2}{2}}$

I det speciella fallet när $p=2$ reduceras denna operator till den vanliga Laplacian . I allmänhet har lösningar av ekvationer som involverar p -Laplacian inte andra ordningens derivator i klassisk mening, så lösningar till dessa ekvationer måste förstås som svaga lösningar . Till exempel säger vi att en funktion u som hör till Sobolev-rummet $W^{1,p}(\Omega )$ är en svag lösning av

$\Delta _{p}u=0{\mbox{ i }}\Omega$

om vi för varje testfunktion $\varphi \in C_{0}^{\infty }(\Omega )$ har

$\int _{\Omega }|\nabla u|^{p-2}\nabla u\cdot \nabla \varphi \,dx=0$

där $\cdot$ betecknar den skalära standardprodukten .

Energiformulering

Den svaga lösningen av p -Laplace-ekvationen med Dirichlets randvillkor

${\begin{cases}-\Delta _{p}u=f&{\mbox{ in }}\Omega \\u=g&{\ mbox{ på }}\partial \Omega \end{cases}}$

i en domän $\Omega \subset \mathbb {R} ^{N}$ är minimering av energifunktionalen

$J(u)={\frac {1}{p}}\,\int _{\Omega }|\nabla u|^{p}\,dx- \int _{\Omega }f\,u\,dx$

bland alla funktioner i Sobolev-utrymmet $W^{1,p}(\Omega )$ som uppfyller gränsvillkoren i spårbemärkelse . I det speciella fallet $f=1,g=0$ och $\Omega$ är en boll med radie 1, kan den svaga lösningen av problemet ovan explicit beräknas och ges förbi

$u(x)=C\,\left(1-|x|^{\frac {p}{p-1}}\ höger)$

där $C$ är en lämplig konstant beroende på dimensionen $N$ och endast på ${\displaystyle p} .$ Observera att för $p>2$ är lösningen inte dubbelt differentierbar i klassisk mening.

Källor

•   Evans, Lawrence C. (1982). "A New Proof of Local $C^{1,\alpha }$ Regularity for Solutions of Certain Degenerate Elliptic PDE" Journal of Differential Equations . 45 : 356-373. doi : 10.1016/0022-0396(82)90033-x . MR 0672713 .
•    Lewis, John L. (1977). "Kapacitära funktioner i konvexa ringar". Arkiv för rationell mekanik och analys . 66 (3): 201–224. Bibcode : 1977ArRMA..66..201L . doi : 10.1007/bf00250671 . MR 0477094 . S2CID 120469946 .

Vidare läsning

•     Ladyženskaja, OA ; Solonnikov, VA; Ural'ceva, NN (1968), Linjära och kvasilinjära ekvationer av parabolisk typ , Translations of Mathematical Monographs, vol. 23, Providence, RI: American Mathematical Society , s. XI+648, ISBN 9780821886533 , MR 0241821 , Zbl 0174.15403 .
•   Uhlenbeck, K. (1977). "Regularitet för en klass av icke-linjära elliptiska system" . Acta Mathematica . 138 : 219–240. doi : 10.1007/bf02392316 . MR 0474389 .
• Anteckningar om p-Laplace-ekvationen av Peter Lindqvist
• Juan Manfredi, Stark jämförelse Princip för p-harmoniska funktioner