Slagtid

I studien av stokastiska processer i matematik är en träfftid (eller första träfftid ) den första tiden då en given process "träffar" en given delmängd av tillståndsrummet. Utgångstider och returtider är också exempel på träfftider.

Definitioner

Låt T vara en ordnad indexuppsättning såsom de naturliga talen , N , de icke-negativa reella talen , [0, +∞), eller en delmängd av dessa; element t ∈ T kan ses som "tider". Givet ett sannolikhetsutrymme (Ω, Σ, Pr) och ett mätbart tillståndsutrymme S , låt X : Ω × T → S vara en stokastisk process och låt A vara en mätbar delmängd av tillståndsrummet S . Då är den första träfftiden τ _A : Ω → [0, +∞] den slumpmässiga variabeln som definieras av

$\tau _{A}(\omega ):=\inf\{t\in T\mid X_{t}(\omega )\in A\}.$

Den första utgångstiden (från A ) definieras som den första träfftiden för S \ A , komplementet till A i S . Förvirrande nog betecknas detta också ofta med τ _A .

₀ Den första returtiden definieras som den första träfftiden för singelmängden { X ( ω ) }, som vanligtvis är ett givet deterministiskt element i tillståndsrummet, såsom ursprunget för koordinatsystemet.

Exempel

• Varje stopptid är en träfftid för en korrekt vald process och måluppsättning. Detta följer av motsatsen till Début-satsen (Fischer, 2013).
• Låt B beteckna Brownsk standardrörelse på den verkliga linjen R med början vid origo. Då uppfyller träfftiden τ _A mätbarhetskraven för att vara en stopptid för varje Borel mätbar uppsättning A ⊆ R .
• För B enligt ovan, låt $\tau _{r}$ ( $r>0$ ) beteckna den första utgångstiden för intervallet (− r , r ), dvs. den första träfftiden för (−∞, − r ] ∪ [ r , +∞). Då uppfyller det förväntade värdet och variansen för $\tau _{r}$

$\operatorname {E} \left[\tau _{r}\right]=r^{2},$

$\operatorname {Var} \left[\tau _{r}\right]=(2/3)r^{4}.$

• För B enligt ovan, tidpunkten för att träffa en enda punkt (annan från början punkt 0) har Lévy-fördelningen .

Debutsats

Slagtiden för ett set F är också känd som debuten för F . Debutsatsen säger att träfftiden för en mätbar mängd F , för en progressivt mätbar process , är en stopptid. Progressivt mätbara processer inkluderar i synnerhet alla höger- och vänsterkontinuerliga anpassade processer . Beviset på att debuten är mätbar är snarare involverat och involverar egenskaper hos analytiska uppsättningar . Teoremet kräver att det underliggande sannolikhetsutrymmet är komplett eller åtminstone universellt komplett.

Motsatsen till Début-satsen säger att varje stopptid definierad med avseende på en filtrering över ett realtidsindex kan representeras av en träfftid. Speciellt för i huvudsak varje sådan stopptid finns det en anpassad, icke-ökande process $\{0\}$ càdlàg (RCLL)-sökvägar som endast tar värdena 0 och 1, så att träfftiden för setet { } {\displaystyle \{ by this process is the considered stopping time. The proof is very simple.

Se även

• Stopptid