Huvudsatsen för elimineringsteorin

Inom algebraisk geometri säger elimineringsteorins huvudsats att varje projektivt schema är korrekt . En version av detta teorem går före existensen av schemateorin . Det kan anges, bevisas och tillämpas i följande mer klassiska miljö. Låt $k$ vara ett fält , beteckna med $\mathbb {P} _{k}^{n}$ det $n$ -dimensionella projektiva rymden över $k$ . Huvudsatsen för elimineringsteorin är påståendet att för varje $n$ och vilken algebraisk variant $V som helst$ definierad över $k$ , projektionskartan $V\times \mathbb {P} _{k}^{n }\to V$ skickar Zariski-stängda delmängder till Zariski-stängda delmängder.

Huvudsatsen för elimineringsteorin är en följd och en generalisering av Macaulays teori om multivariat resultant . Resultanten av $n$ homogena polynom i $n$ variabler är värdet av en polynomfunktion av koefficienterna, som tar värdet noll om och endast om polynomen har en gemensam icke-trivial nolla över något fält som innehåller koefficienterna.

Detta hör till elimineringsteorin , eftersom man beräknar de resulterande beloppen för att eliminera variabler mellan polynomekvationer. I själva verket, givet ett system av polynomekvationer , som är homogent i vissa variabler, eliminerar resultanten dessa homogena variabler genom att tillhandahålla en ekvation i de andra variablerna, som har, som lösningar, värdena för dessa andra variabler i lösningarna av originalet systemet.

Ett enkelt motiverande exempel

Det affina planet över ett fält $k$ är den direkta produkten $A_{2}=L_{x}\ gånger L_{y}$ av två kopior av $k$ . Låta

\pi \colon L_{x}\ gånger L_{y}\till L_{x}

vara projektionen

(x,y)\mapsto \pi (x,y)=x.

Denna projektion är inte stängd för Zariski-topologin (inte heller för den vanliga topologin om $k=\mathbb {R}$ eller $k=\mathbb {C}$ ), eftersom bilden av $\pi$ av hyperbeln $H$ i ekvationen $xy-1=0$ är $L_{x}\setminus \{0\},$ som inte är stängd, även om $H$ är stängd, vilket är en algebraisk variant .

Om man utökar $L_{y}$ till en projektiv linje ${\displaystyle P_{y},} blir$ ekvationen för hyperbelns projektiva fullbordande

xy_{1}-y_{0}=0,

och innehåller

{\overline {\pi }}(0,(1,0))=0,

där ${\overline {\pi }}$ är förlängningen av $\pi$ till $L_{x}\ gånger P_{y}.$

Detta uttrycks vanligtvis genom att säga att det affina planets ursprung är projektionen av hyperbelns punkt som är i oändligheten, i riktning mot y- $axeln$ .

Mer allmänt är bilden av $\pi$ av varje algebraisk mängd i $L_{x}\ gånger L_{y}$ antingen ett ändligt antal punkter, eller ${\ displaystyle L_{x}}$ med ett ändligt antal punkter borttagna, medan bilden med ${\overline {\pi }}$ av valfri algebraisk uppsättning i $L_{x}\ gånger P_{y}$ är antingen ett ändligt antal punkter eller hela linjen $L_{y}.$ Det följer att bilden med ${\overline {\pi }}$ av en algebraisk mängd är en algebraisk mängd, det vill säga att ${\overline { \pi }}$ är en stängd karta för Zariski-topologi.

Huvudsatsen för elimineringsteorin är en bred generalisering av denna egenskap.

Klassisk formulering

För att ange satsen i termer av kommutativ algebra måste man överväga en polynomring $R[\mathbf {x} ]=R[x_{1} ,\ldots ,x_{n}]$ över en kommutativ noeterisk ring $R$ , och ett homogent ideal $I$ genererat av homogena polynom $f_{1},\ldots ,f_{k}.$ (I det ursprungliga beviset av Macaulay var $k$ lika med $n$ och $R$ var en polynomring över heltalen, vars obestämda värden var alla koefficienterna för $f_{i}\mathrm {s} .$ )

Valfri ringhomomorfism $\varphi$ från $R$ till ett fält $K$ , definierar en ringhomomorfism $R[\mathbf {x} ]\till K[\mathbf {x} ]$ (även betecknad $\varphi$ ), genom att tillämpa $\varphi$ på koefficienterna för polynomen.

Satsen är: det finns en ideal ${\mathfrak {r}}$ i $R$ , unikt bestämd av $I$ , så att för varje ringhomomorfism $\varphi$ från $R$ till ett fält $K$ , homogena polynom $\varphi (f_{1}),\ldots ,\varphi (f_{k})$ har en icke-trivial gemensam nolla (i en algebraisk stängning av $K$ ) om och endast om $\varphi ({\mathfrak {r}})=\{0\}.$

Dessutom ${\mathfrak {r}}=0$ om $k < n$ , och ${\mathfrak {r}}$ är principal om $k = n$ . $f_{1},\ldots ,f_{k}.$ kallas en generator av ${\mathfrak {r}}$ resultanten av

Tips för ett bevis och relaterade resultat

Med ovanstående notation måste man först karakterisera villkoret att $\varphi (f_{1}),\ldots ,\varphi (f_{k})$ gör inte ha någon icke-trivial gemensam nolla. Detta är fallet om det maximala homogena idealet ${\mathfrak {m}}=\langle x_{1},\ldots ,x_{n}\rangle$ är endast homogena primtal som innehåller $\varphi (I)=\langle \varphi (f_{1}),\ldots ,\varphi (f_{k})\rangle .$ Hilberts Nullstellensatz hävdar att så är fallet om och endast om $\varphi (I)$ innehåller en potens av varje $x_{i},$ eller, ekvivalent, att ${\mathfrak {m}}^ {d}\subseteq \varphi (I)$ för något positivt heltal $d$ .

För denna studie introducerade Macaulay en matris som nu kallas Macaulay-matris i grad $d$ . Dess rader indexeras av monomialerna av grad $d$ i $x_{1},\ldots ,x_{n},$ och dess kolumner är vektorerna för koefficienterna på monomial basis av polynomen av formen $m\varphi (f_{i}),$ där $m$ är en monomial av graden $d-\deg(f_{i}).$ Man har ${\mathfrak {m}}^{d}\subseteq \varphi (I)$ om och endast om rangordningen för Macaulay-matrisen är lika med antalet rader.

Om $k < n$ är Macaulay-matrisens rangordning lägre än antalet rader för varje $d$ , och därför $\varphi (f_{1} ),\ldots ,\varphi (f_{k})$ har alltid en icke-trivial gemensam nolla.

Annars, låt $d_{i}$ vara graden av $\displaystyle f_{i},}$ och anta att indexen är valda så att $d_{2}\geq d_{3}\geq \cdots \geq d_{k}\geq d_{1}.$ Graden

D=d_{1}+d_{2}+\cdots +d_{ n}-n+1=1+\summa _{i=1}^{n}(d_{i}-1)

kallas Macaulays grad eller Macaulays bunden eftersom Macaulays har bevisat att $\varphi (f_{1}),\ldots ,\varphi (f_{k})$ har en icke-trivial gemensam nolla om och endast om rangordningen för Macaulay-matrisen i grad $D$ är lägre än numret på dess rader. Med andra ord kan ovanstående $d$ väljas en gång för alla som lika med $D$ .

Därför är idealet ${\mathfrak {r}},$ vars existens hävdas av elimineringsteorins huvudsats, nollidealet om $k < n$ , och annars genereras av de maximala mollerna av Macaulay-matrisen i grad $D$ .

Om $k = n$ , har Macaulay också bevisat att ${\mathfrak {r}}$ är ett huvudideal (även om Macaulay-matrisen i grad $D$ inte är en kvadratisk matris när $k > 2$ ), som genereras av resultanten av $\varphi (f_{1}),\ldots ,\varphi (f_{n}).$ Detta ideal är också generiskt ett primideal , eftersom det är primtal om $R$ är ringen av heltalspolynom med alla koefficienter av $\varphi (f_{1}),\ldots ,\varphi (f_{k})$ som obestämda.

Geometrisk tolkning

I den föregående formuleringen är polynomringen $R[\mathbf {x} ]=R[x_{1},\ldots ,x_{n}]$ definierar en morfism av scheman (som är algebraiska varianter om $R$ ändligt genereras över ett fält)

\mathbb {P} _{R}^{n-1}=\operatörsnamn {Proj} (R[\mathbf {x} ])\till \operatörsnamn {Spec} (R).

Teoremet hävdar att bilden av den Zariski-slutna mängden $V (I)$ definierad av $I$ är den slutna mängden $V (r)$ . Därmed är morfismen stängd.

Se även

Mumford, David (1999). Den röda boken av sorter och scheman . Springer. ISBN 9783540632931 .
Eisenbud, David (2013). Kommutativ algebra: med sikte på algebraisk geometri . Springer. ISBN 9781461253501 .
Milne, James S. (2014). "John Tates verk". Abelpriset 2008–2012 . Springer. ISBN 9783642394492 .