Hills sfäriska virvel

Hills sfäriska virvel är en exakt lösning av Eulers ekvationer som vanligtvis används för att modellera en virvelring . Lösningen används också för att modellera hastighetsfördelningen inuti en sfärisk droppe av en vätska som rör sig med en konstant hastighet genom en annan vätska med litet Reynolds-tal. Virveln är uppkallad efter Micaiah John Muller Hill som upptäckte den exakta lösningen 1894. Den tvådimensionella analogen till denna virvel är Lamb-Chaplygin-dipolen .

Lösningen beskrivs i det sfäriska polära koordinatsystemet $(r,\theta ,\phi )$ med motsvarande hastighetskomponenter $(v_{r} ,v_{\theta },0)$ . Hastighetskomponenterna identifieras från Stokes strömfunktion $\psi (r,\theta )$ enligt följande

$v_{r}={\frac {1}{r^{2}\sin \theta }}{\frac {\partial \psi }{\partial \theta }},\quad v_{\theta } =-{\frac {1}{r\sin \theta }}{\frac {\partial \psi }{\partial r}}.$

The Hill's sfäriska virvel beskrivs av

$\psi ={\begin{cases}-{\frac {3U}{4}}\left(1-{\frac {r^{2}}{a^{2}}}\right)r^{2}\ sin ^{2}\theta \quad {\text{in}}\quad r\leq a\\{\frac {U}{2}}\left(1-{\frac {a^{3}}{ r^{3}}}\right)r^{2}\sin ^{2}\theta \quad {\text{i}}\quad r\geq a\end{cases}}$

där $U$ är en konstant friströmshastighet långt bort från origo och $a$ är radien för sfären inom vilken virveln är från noll. För $r\geq a$ är virveln noll och lösningen som beskrivs ovan i det området är inget annat än det potentiella flödet förbi en sfär med radie $a$ . Den enda vorticitetskomponenten som inte är noll för $r\leq a$ är den azimutala komponenten som ges av

$\omega _{\phi }=-{\frac {15U}{2a^{2}}}r\sin \theta .$

Observera att här kan parametrarna $U$ och $a$ skalas ut genom icke-dimensionalisering.

Hills sfäriska virvel med en virvlande rörelse

The Hill's sfäriska virvel med en virvlande rörelse tillhandahålls av Keith Moffatt 1969. Tidigare diskussioner om liknande problem tillhandahålls av William Mitchinson Hicks 1899. Lösningen upptäcktes också av Kelvin H. Pendergast 1956, i samband med plasmafysik, eftersom det finns en direkt koppling mellan dessa vätskeflöden och plasmafysik (se kopplingen mellan Hicks ekvation och Grad–Shafranovs ekvation) . Rörelsen $(v_{r},v_{\theta })$ i det axiella (eller meridionala) planet beskrivs av Stokes-strömfunktionen $\psi$ som tidigare . Den azimutala rörelsen $v_{\phi }$ ges av

$v_{\phi }={\frac {\pm k\psi }{r\sin \theta }}$

var

$\psi ={\begin{cases}-{\frac {3U}{ 2}}{\frac {J_{3/2}(ka)}{J_{5/2}(ka)}}\left[\left({\frac {a}{r}}\right)^{ 3/2}{\frac {J_{3/2}(kr)}{J_{3/2}(ka)}}-1\right]r^{2}\sin ^{2}\theta \quad {\text{i}}\quad r\leq a\\{\frac {U}{2}}\left(1-{\frac {a^{3}}{r^{3}}}\right )r^{2}\sin ^{2}\theta \quad {\text{i}}\quad r\geq a\end{cases}}$

där $\displaystyle J_{3/2}}$$J_{5/2}$ och är Bessel funktionerna av det första Till skillnad från kullens sfäriska virvel utan någon virvlande rörelse, innehåller problemet här en godtycklig parameter $ka$ . En allmän klass av lösningar av Eulers ekvation som beskriver fortplantande tredimensionella virvlar utan formförändring tillhandahålls av Keith Moffatt 1986.