Stokes stream funktion

För tvådimensionella flöden, se Strömfunktion .

Effektiviserar runt en sfär i axisymmetriskt Stokes-flöde . Vid sluthastighet balanserar dragkraften F _d kraften F _g som driver fram föremålet .

Inom vätskedynamik används Stokes-strömfunktionen för att beskriva strömlinjerna och flödeshastigheten i ett tredimensionellt inkompressibelt flöde med axisymmetri . En yta med ett konstant värde på Stokes-strömfunktionen omsluter ett strömrör , överallt tangentiellt till flödeshastighetsvektorerna. Vidare volymflödet i detta strömrör konstant, och alla strömlinjerna i flödet är belägna på denna yta . Hastighetsfältet som är associerat med Stokes-strömfunktionen är solenoidalt - det har noll divergens . Denna stream-funktion är uppkallad efter George Gabriel Stokes .

Cylindriska koordinater

En punkt ritad med cylindriska koordinater.

Betrakta ett cylindriskt koordinatsystem ( ρ , φ , z ), med z –axeln linjen runt vilken det inkompressibla flödet är axelsymmetriskt, φ azimutvinkeln och ρ avståndet till z –axeln . Sedan kan flödeshastighetskomponenterna u _ρ och u _z uttryckas i termer av Stokes strömfunktion $\Psi$ med:

${\begin{aligned}u_{\rho }&=-{\frac {1}{\rho }}\,{\frac {\partial \Psi }{\partial z}},\\u_{ z}&=+{\frac {1}{\rho }}\,{\frac {\partial \Psi }{\partial \rho }}.\end{aligned}}$

Den azimutala hastighetskomponenten u _φ beror inte på strömningsfunktionen. På grund av axelsymmetrin beror alla tre hastighetskomponenterna ( u _ρ , u _φ , u _z ) endast av ρ och z och inte på azimuten φ .

Volymflödet, genom ytan som begränsas av ett konstant värde ψ för Stokes-strömfunktionen, är lika med 2π ψ .

Sfäriska koordinater

En punkt plottad med hjälp av det sfäriska koordinatsystemet

I sfäriska koordinater ( r , θ , φ ) är r det radiella avståndet från origo , θ är zenitvinkeln och φ är azimutvinkeln . I axisymmetriskt flöde, med θ = 0 rotationssymmetriaxeln, är de storheter som beskriver flödet återigen oberoende av azimuten φ . Flödeshastighetskomponenterna u _r och u _θ är relaterade till Stokes-strömfunktionen $\Psi$ genom:

${\begin{aligned}u_{r}&=+{\frac {1}{r^{2}\,\sin \theta }}\,{\frac {\partial \Psi }{\partial \theta }},\\u_{\theta }&=-{\frac {1}{r\,\sin \theta }}\,{\frac {\partial \Psi }{\partial r}}.\ end{aligned}}$

Återigen är den azimutala hastighetskomponenten u _φ inte en funktion av Stokes-strömfunktionen ψ . Volymflödet genom ett strömrör, begränsat av en yta med konstant ψ , är lika med 2π ψ , som tidigare.

Vorticity

Se även: Stream_function § Vorticity

Virveln definieras som :

${\boldsymbol {\omega }}=\nabla \times {\boldsymbol {u}}=\nabla \times \nabla \times {\boldsymbol {\psi } }$ , där ${\boldsymbol {\psi }}=-{\frac {\Psi }{r\sin \theta }}{\boldsymbol {\hat { \phi }}},$

med $\boldsymbol {\hat {\phi }}}}$ { enhetsvektorn i $\phi \,$ –riktningen.

Härledning av virvel ${\boldsymbol {\omega }}$ med hjälp av en Stokes-strömfunktion

Betrakta virveln som definieras av ${\boldsymbol {\omega }}=\nabla \times {\boldsymbol {u}}.$ Från definitionen av krullen i sfäriska koordinater : ${\begin{aligned}\omega _{r}&={1 \over r\sin \theta }\left({\partial \over \partial \theta}\left(u_{\phi}\sin \theta \right)-{\partial u_{\theta } \over \partial \phi}\right){\boldsymbol {\hat {r}}},\\\omega _{\theta }&={1 \ över r}\left({1 \over \sin \theta }{\partial u_{r} \over \partial \phi }-{\partial \over \partial r}\left(ru_{\phi}\right) \right){\boldsymbol {\hat {\theta }}},\\\omega _{\phi}&={1 \over r}\left({\partial \over \partial r}\left(ru_{ \theta }\right)-{\partial u_{r} \over \partial \theta }\right){\boldsymbol {\hat {\phi }}}.\end{aligned}}$ Lägg först märke till att komponenterna $r$ och $\theta$ är lika med 0. För det andra ersätter $u_{r}$ och $u_{\theta }$ med $\omega _{\phi }.$ Resultatet är: ${\begin{aligned}\omega _{r}&=0,\\\omega _{\theta }&=0,\\\omega _{\phi}&={1 \over r}\ vänster({\partial \over \partial r}\left(r\left(-{\frac {1}{r\sin \theta }}{\frac {\partial \Psi }{\partial r}}\höger )\right)-{\partial \over \partial \theta }\left({\frac {1}{r^{2}\sin \theta }}{\frac {\partial \Psi }{\partial \theta }}\right)\right).\end{aligned}}$ Därefter utförs följande algebra: ${\begin{aligned}\omega _{\phi}&={1 \over r}\left(-{\frac {1}{\sin \theta }}\left({\partial \over \ partiell r}\left({\frac {\partial \Psi }{\partial r}}\right)\right)-{\frac {1}{r^{2}}}{\partial \over \partial \ theta }\left({\frac {1}{\sin \theta }}{\frac {\partial \Psi }{\partial \theta }}\right)\right)\\&={1 \över r} \left(-{\frac {1}{\sin \theta }}\left({\frac {\partial ^{2}\Psi }{\partial r^{2}}}\right)-{\frac {\sin \theta }{r^{2}\sin \theta }}{\partial \over \partial \theta }\left({\frac {1}{\sin \theta }}{\frac {\partial \Psi }{\partial \theta }}\right)\right)\\&=-{\frac {1}{r\sin \theta }}\left({\frac {\partial ^{2}\Psi }{\partial r^{2}}}+{\frac {\sin \theta }{r^{2}}}{\partial \over \partial \theta }\left({\frac {1}{\ sin \theta }}{\frac {\partial \Psi }{\partial \theta }}\right)\right).\end{aligned}}$

Som ett resultat, från beräkningen visar sig virvelvektorn vara lika med:

${\boldsymbol {\omega }}={\begin{pmatrix}0\\[1ex]0\\[1ex]\displaystyle -{\frac {1}{r\sin \theta }}\left( {\frac {\partial ^{2}\Psi }{\partial r^{2}}}+{\frac {\sin \theta }{r^{2}}}{\partial \over \partial \theta }\left({\frac {1}{\sin \theta }}{\frac {\partial \Psi }{\partial \theta }}\right)\right)\end{pmatrix}}.$

Jämförelse med cylindrisk

De cylindriska och sfäriska koordinatsystemen är relaterade till varandra

   $z=r\,\cos \theta \,$ och $\rho =r\,\sin \theta .\,$

Alternativ definition med motsatt tecken

Som förklarats i artikeln om allmänna strömningsfunktioner används också definitioner som använder en konvention om motsatt tecken – för förhållandet mellan Stokes strömfunktion och flödeshastighet.

Noll divergens

I cylindriska koordinater blir divergensen för hastighetsfältet u :

$_ {\begin{aligned}\nabla \cdot {\boldsymbol {u}}&={\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial }{\partial \rho }}{\Bigl (}\ rho \,u_{\rho }{\Bigr )}+{\frac {\partial u_{z}}{\partial z}}\\&={\frac {1}{\rho }}{\frac { \partial }{\partial \rho }}\left(-{\frac {\partial \Psi }{\partial z}}\right)+{\frac {\partial }{\partial z}}\left({ \frac {1}{\rho }}{\frac {\partial \Psi }{\partial \rho }}\right)=0,\end{aligned}}}$

som förväntat för ett inkompressibelt flöde.

Och i sfäriska koordinater:

${\begin{aligned}\nabla \cdot {\boldsymbol {u}}&={\frac {1}{r \,\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}(u_{\theta }\,\sin \theta )+{\frac {1}{r^{2}}} {\frac {\partial }{\partial r}}{\Bigl (}r^{2}\,u_{r}{\Bigr )}\\&={\frac {1}{r\,\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\left(-{\frac {1}{r}}{\frac {\partial \Psi }{\partial r}}\right) +{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left({\frac {1}{\sin \theta }}{\frac {\partial \Psi }{\partial \theta }}\right)=0.\end{aligned}}$

Strömlinjer som kurvor för konstantströmsfunktion

Från kalkyl är det känt att gradientvektorn $\nabla \Psi$ är normal mot kurvan $\Psi =C$ (se t.ex. Level set#Level sets versus the gradient ) . Om det visas att överallt ${\boldsymbol {u}}\cdot \nabla \Psi =0,$ använder formeln för ${\boldsymbol {u}}$ i termer av $\Psi ,$ så bevisar detta att nivåkurvor för $\Psi$ är strömlinjer.

Cylindriska koordinater

I cylindriska koordinater,

$\nabla \Psi ={\partial \Psi \over \partial \rho }{\boldsymbol {e}}_{\rho }+{ \partial \Psi \over \partial z}{\boldsymbol {e}}_{z}$ .

och

${\boldsymbol {u}}=u_{\rho }{\boldsymbol {e}}_{\rho }+u_{z}{\boldsymbol {e}}_{z}=-{1 \over \rho }{\partial \Psi \over \partial z}{\boldsymbol {e}}_{\rho }+{1 \over \rho }{\partial \Psi \over \partial \rho }{\boldsymbol { e}}_{z}.$

Så att

$\nabla}{fet \Psi}=u \partial \Psi \over \partial \rho }(-{1 \over \rho }{\partial \Psi \over \partial z})+{\partial \Psi \over \partial z}{1 \over \rho }{\partial \Psi \over \partial \rho }=0.$

Sfäriska koordinater

Och i sfäriska koordinater

$\nabla \Psi ={\partial \Psi \over \partial r}{\boldsymbol {e}}_{r}+{ 1 \över r}{\partial \Psi \over \partial \theta }{\boldsymbol {e}}_{\theta }$

och

${\boldsymbol {u}}=u_{r}{\boldsymbol {e}}_{r}+u_{\theta }{\boldsymbol {e}}_{\theta }={1 \över r ^{2}\sin \theta }{\partial \Psi \over \partial \theta }{\boldsymbol {e}}_{r}-{1 \over r\sin \theta }{\partial \Psi \over \partial r}{\boldsymbol {e}}_{\theta }.$

Så att

$na \Psi \cdot {\boldsymbol {u}}={\partial \Psi \over \partial r}\cdot {1 \over r^{2}\sin \theta }{\partial \Psi \over \partial \theta }+ {1 \over r}{\partial \Psi \over \partial \theta }\cdot {\Big (}-{1 \over r\sin \theta }{\partial \Psi \over \partial r}{\Big )}=0.}$

Anteckningar

•   Batchelor, GK (1967). En introduktion till vätskedynamik . Cambridge University Press. ISBN 0-521-66396-2 .
•   Lamb, H. (1994). Hydrodynamics (6:e upplagan). Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-45868-9 . Ursprungligen publicerad 1879, den sjätte utökade upplagan kom första gången 1932.
• 
  Stokes, GG (1842). "På den stadiga rörelsen av inkompressibla vätskor". Transaktioner från Cambridge Philosophical Society . 7 : 439-453. Bibcode : 1848TCaPS...7..439S . Återtryckt i: Stokes, GG (1880). Matematiska och fysiska uppsatser, volym I. Cambridge University Press. s. 1 –16.