Hicks ekvation

Inom vätskedynamik är Hicks-ekvationen eller ibland även kallad Bragg-Hawthorne-ekvationen eller Squire-Long-ekvationen en partiell differentialekvation som beskriver fördelningen av strömfunktion för axisymmetrisk inviscid vätska, uppkallad efter William Mitchinson Hicks , som härledde den först 1898. Ekvationen härleddes också om av Stephen Bragg och William Hawthorne 1950 och av Robert R. Long 1953 och av Herbert Squire 1956. Hicks-ekvationen utan virvel introducerades först av George Gabriel Stokes 1842. Grad–Shafranov-ekvationen som förekommer i plasmafysik tar också samma form som Hicks ekvation.

Representerar $(r,\theta ,z)$ som koordinater i betydelsen cylindriskt koordinatsystem med motsvarande flödeshastighetskomponenter betecknade med $( v_{r},v_{\theta },v_{z})$ , streamfunktionen $\psi$ som definierar meridionalrörelsen kan definieras som

$rv_{r}=-{\frac {\partial \psi }{\partial z}},\quad rv_{z}= {\frac {\partial \psi }{\partial r}}$

som uppfyller kontinuitetsekvationen för axisymmetriska flöden automatiskt. Hicks ekvation ges sedan av

${\frac {\partial}{{2}\psi \partial r^{2}}}-{\frac {1}{r}}{\frac {\partial \psi }{\partial r}}+{\frac {\partial ^{2}\psi }{ \partial z^{2}}}=r^{2}{\frac {\mathrm {d} H}{\mathrm {d} \psi }}-\Gamma {\frac {\mathrm {d} \Gamma }{\mathrm {d} \psi }}$

var

$H(\psi )={\frac {p}{\rho }}+{\frac {1}{2}}(v_{r}^{2}+v_{\theta }^{2}+v_{z}^{2}),\quad \Gamma (\psi )=rv_{\theta }$

där $H(\psi )$ är det totala huvudet, jfr Bernoullis princip . och $2\pi \Gamma$ är cirkulationen , båda bevaras längs strömlinjer. Här $p$ trycket och $\rho$ är vätskedensiteten. Funktionerna $H(\psi )$ och $\Gamma (\psi )$ är kända funktioner, vanligtvis föreskrivna vid en av gränserna.

Härledning

Betrakta det axisymmetriska flödet i cylindriskt koordinatsystem $(r,\theta ,z)$ med hastighetskomponenter $(v_{r},v_ {\theta },v_{z})$ och virvelkomponenter $(\omega _{r},\omega _{\theta },\omega _{z})$ . Eftersom $\partial /\partial \theta =0$ i axisymmetriska flöden är virvelkomponenterna

$\omega _{r}=-{{r} \frac {\partial v_{\theta }}{\partial z}},\quad \omega _{\theta }={\frac {\partial v_{r}}{\partial z}}-{\frac { \partial v_{z}}{\partial r}},\quad \omega _{z}={\frac {1}{r}}{\frac {\partial (rv_{\theta })}{\partial r}}$ .

Kontinuitetsekvationen tillåter att definiera en strömfunktion $\psi (r,z)$ så att

$v_{r}=-{\frac {1}{r}}{\frac {\partial \psi }{\ partiell z}},\quad v_{z}={\frac {1}{r}}{\frac {\partial \psi }{\partial r}}$

(Observera att virvelkomponenterna $\omega _{r}$ och $\omega _{z}$ är relaterade till $rv_{\theta }$ på exakt samma sätt sätt som $v_{r}$ och $v_{z}$ är relaterade till $\psi$ ). Därför blir den azimutala komponenten av virvel

$\omega _{\theta }=-{\frac {1}{r}}\left({\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial r^{2}}}-{ \frac {1}{r}}{\frac {\partial \psi }{\partial r}}+{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial z^{2}}}\right ).$

De inviscid momentumekvationerna $\partial {\boldsymbol {v}}/\partial t-{\boldsymbol {v}}\times {\boldsymbol {\omega } }=-\nabla H$ , där ${\displaystyle H={\frac {1}{2}}(v_{r}^ {2}+v_{\theta }^{2}+v_{z}^{2})+{\frac {p}{\rho }}} är Bernoullis konstant, p {\displaystyle$ p $är$ vätskan tryck och $\rho$ är vätskedensiteten, när den skrivs för det axisymmetriska flödesfältet, blir

${\begin{aligned}v_{\theta }\omega _{z}-v_{z}\omega _{\theta }-{\frac {\partial v_{r }}{\partial t}}&={\frac {\partial H}{\partial r}},\\v_{z}\omega _{r}-v_{r}\omega _{z}-{ \frac {\partial v_{\theta }}{\partial t}}&=0,\\v_{r}\omega _{\theta }-v_{\theta }\omega _{r}-{\frac {\partial v_{z}}{\partial t}}&={\frac {\partial H}{\partial z}}\end{aligned}}$

där den andra ekvationen också kan skrivas som $D(rv_{\theta })/Dt=0$ , där $D/Dt$ är materialderivatet . _ Detta innebär att cirkulationen $2\pi rv_{\theta }$ runt en materialkurva i form av en cirkel centrerad på $z$ -axeln är konstant.

Om vätskerörelsen är stadig, rör sig vätskepartikeln längs en strömlinje, med andra ord, den rör sig på ytan som ges av konstanten ${\displaystyle \psi =} .$ Det följer då att $H=H(\psi )$ och $\Gamma =\Gamma (\psi )$ , där ${\ displaystyle \Gamma =rv_{\theta }}$ . Därför är den radiella och azimutala virvelkomponenten

$\omega _{r}=v_{r}{\frac {\mathrm {d} \Gamma }{\mathrm {d } \psi }},\quad \omega _{z}=v_{z}{\frac {\mathrm {d} \Gamma }{\mathrm {d} \psi }}$ .

Komponenterna i ${\boldsymbol {v}}$ och ${\boldsymbol {\omega }}$ är lokalt parallella. Ovanstående uttryck kan ersättas med antingen de radiella eller axiella momentumekvationerna (efter att tidsderivattermen tagits bort) för att lösa $\omega _{\theta }$ . Att till exempel ersätta uttrycket ovan för $\omega _{r}$ i den axiella momentumekvationen leder till

${\begin{aligned}{\frac {\omega _{\theta }}{r}}&={\frac {v_{\theta }\omega _{r}}{rv_{r}}} +{\frac {1}{rv_{r}}}{\frac {\mathrm {d} H}{\mathrm {d} \psi }}{\frac {\partial \psi }{\partial x}} \\&={\frac {\Gamma }{r^{2}}}{\frac {\mathrm {d} \Gamma }{\mathrm {d} \psi }}-{\frac {\mathrm {d } H}{\mathrm {d} \psi }}.\end{aligned}}$

Men $\omega _{\theta }$ kan uttryckas i termer av $\psi$ som visas i början av denna härledning. När $\omega _{\theta }$ uttrycks i termer av $\psi$ får vi

${\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial r^{2}}}-{\frac {1}{r}}{\frac {\partial \psi }{\partial r }}+{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial z^{2}}}=r^{2}{\frac {\mathrm {d} H}{\mathrm {d} \ psi }}-\Gamma {\frac {\mathrm {d} \Gamma }{\mathrm {d} \psi }}.$

Detta slutför den nödvändiga härledningen.

Yih ekvation

För ett inkompressibelt flöde ${\displaystyle D\rho /Dt=0} ,$ men med variabel densitet, härledde Chia-Shun Yih den nödvändiga ekvationen. Hastighetsfältet transformeras först med Yih-transformation

$(v_{r}',v_{\theta }',v_{z}')= {\sqrt {\frac {\rho }{\rho _{0}}}}(v_{r},v_{\theta },v_{z})$

där $\rho _{0}$ är någon referenstäthet, med motsvarande Stokes-strömfunktion $\psi '$ definierad så att

$rv_{r}'=-{\frac {\partial \psi '}{\partial z}},\quad rv_{z}'={\frac {\partial \psi '}{\partial r} }.$

Låt oss inkludera gravitationskraften som verkar i negativ $z$ -riktning. Yih-ekvationen ges sedan av

$_ \displaystyle {\frac {\partial ^{2}\psi '}{\partial r^{2}}}-{\frac {1}{r}}{\frac {\partial \psi '}{\partial r}}+{\frac {\partial ^{2}\psi '}{\partial z^{2}}}=r^{2}{\frac {\mathrm {d} H}{\mathrm {d } \psi '}}-r^{2}{\frac {\mathrm {d} \rho }{\mathrm {d} \psi '}}{\frac {g}{\rho _{0}}} z-\Gamma {\frac {\mathrm {d} \Gamma }{\mathrm {d} \psi '}}}$

var

$psi ')={\frac {p}{\rho _{0}}}+{\frac {\rho }{2\rho _{0}}}(v_{r}'^{2}+v_{ \theta }'^{2}+v_{z}'^{2})+{\frac {\rho }{\rho _{0}}}gz,\quad \Gamma (\psi ')=rv_{ \theta }'$