Lamm–Chaplygin dipol

Flödesstrukturen för Lamb-Chaplygin-dipolen

Lamb -Chaplygin-dipolmodellen är en matematisk beskrivning av ett visst inviscid och stadigt dipolärt virvelflöde. Det är en icke-trivial lösning på de tvådimensionella Euler-ekvationerna . Modellen är uppkallad efter Horace Lamb och Sergey Alexeyevich Chaplygin , som självständigt upptäckte denna flödesstruktur. Denna dipol är den tvådimensionella analogen av Hills sfäriska virvel .

Modellen

Ett tvådimensionellt (2D), solenoidalt vektorfält $\mathbf {u}$ kan beskrivas av en skalär strömfunktion $\psi$ , via ${\displaystyle \ mathbf {u} =-\mathbf {e_{z}} \times \mathbf {\nabla } \psi } , där e$ z $displaystyle \mathbf {e_{z}} }$ är den högerhänta enhetsvektorn vinkelrät mot 2D-planet. Per definition är strömfunktionen relaterad till virveln $\omega$ via en Poisson-ekvation : $-\nabla ^{2}\psi =\omega$ . Lamb-Chaplygin-modellen följer av att kräva följande egenskaper: ^{[ citat behövs ]}

Dipolen har en cirkulär atmosfär/separatrix med radien $R$ : $\psi \left(r=R\right)=0$ .
Dipolen fortplantar sig genom en annars irrorational vätska ( $\omega (r>R)=0)$ vid translationshastighet $U$ .
Flödet är stadigt i den samgående referensramen: $\omega (r<R)=f\left(\psi \right)$ .
Inuti atmosfären finns ett linjärt samband mellan virveln och strömfunktionen $\omega =k^{2}\psi$

Lösningen $\psi$ i cylindriska koordinater ( $r,\theta$ ), i den samgående referensramen lyder:

${\begin{aligned}\psi ={\begin{cases}{\frac {-2UJ_{1}(kr)}{kJ_{0}(kR)}}\mathrm {sin} (\theta ) ,&{\text{för }}r<R,\\U\left({\frac {R^{2}}{r}}-r\right)\mathrm {sin} (\theta ),&{ \text{för }}r\geq R,\end{cases}}\end{aligned}}$

där $J_{0}{\text{ och }}J_{1}$ är den nollte respektive första Bessel-funktionen av det första slaget. Vidare är värdet på $k$ sådant att $kR=3,8317...$ , den första icke-triviala nollan i den första Bessel-funktionen av det första slaget. ^{[ citat behövs ]}

Användning och överväganden

Sedan P. Orlandis framträdande arbete har virvelmodellen Lamb–Chaplygin varit ett populärt val för numeriska studier om interaktioner mellan virvel och miljö. Det faktum att den inte deformeras gör den till en utmärkt kandidat för konsekvent flödesinitiering. En mindre fördelaktig egenskap är att andraderivatan av flödesfältet vid dipolens kant inte är kontinuerlig. Vidare tjänar det ett ramverk för stabilitetsanalys på dipolära virvelstrukturer.