Quillen–Suslins teorem

"Serres problem" omdirigerar här. För annan användning, se Serres gissning (disambiguation) .

Quillen–Suslins teorem

Fält	Kommutativ algebra
Förmodat av	Jean-Pierre Serre
Gissade in	1955
Första beviset av	Daniel Quillen Andrei Suslin
Första beviset in	1976

Quillen –Suslin-satsen , även känd som Serres problem eller Serres gissning , är en sats i kommutativ algebra om förhållandet mellan fria moduler och projektiva moduler över polynomringar . I den geometriska miljön är det ett uttalande om trivialiteten hos vektorbuntar på affint utrymme.

Satsen säger att varje ändligt genererad projektiv modul över en polynomring är fri .

Historia

Bakgrund

Geometriskt, ändligt genererade projektiva moduler över ringen $R[x_{1},\dots ,x_{n}]$ motsvarar vektorbuntar över affint rymd ${\ displaystyle \mathbb {A} _{R}^{n}}$ , där fria moduler motsvarar triviala vektorbuntar. Denna korrespondens (från moduler till (algebraiska) vektorbuntar) ges av 'globaliserings' eller 'twiddlification'-funktioner, som skickar $M\ till {\widetilde {M}}$ (citera Hartshorne II.5 , sid 110). Affint utrymme är topologiskt sammandragbart, så det tillåter inga icke-triviala topologiska vektorbuntar. Ett enkelt argument som använder den exponentiella exakta sekvensen och d-stapeln Poincaré-lemma visar att det inte heller tillåter några icke-triviala holomorfa vektorbuntar.

Jean-Pierre Serre , i sin uppsats Faisceaux algébriques cohérents från 1955 , påpekade att motsvarande fråga inte var känd för algebraiska vektorbuntar: "Det är inte känt om det finns projektiva A -moduler av finit typ som inte är fria." Här $A$ en polynomring över ett fält, det vill säga $A$ = $k[x_{1},\dots ,x_{ n}]$ .

Till Serres bestörtning blev detta problem snabbt känt som Serres gissningar. (Serre skrev: "Jag protesterade så ofta jag kunde [mot namnet].") Uttalandet följer inte omedelbart av de bevis som ges i det topologiska eller holomorfa fallet. Dessa fall garanterar bara att det finns en kontinuerlig eller holomorf trivialisering, inte en algebraisk trivialisering.

Serre gjorde vissa framsteg mot en lösning 1957 när han bevisade att varje ändligt genererad projektiv modul över en polynomring över ett fält var stabilt fri , vilket innebär att efter att ha format sin direkta summa med en ändligt genererad fri modul, blev den fri. Problemet förblev öppet till 1976, då Daniel Quillen och Andrei Suslin oberoende bevisade resultatet. Quillen tilldelades Fields-medaljen 1978 delvis för sitt bevis på Serre-förmodan. Leonid Vaseršteĭn gav senare ett enklare och mycket kortare bevis på satsen som kan hittas i Serge Langs Algebra .

Generalisering

En generalisering som relaterar projektiva moduler över vanliga Noetherian-ringar A och deras polynomringar är känd som Bass-Quillen-förmodan .

Observera att även om $GL_{n}$ -buntar på affint utrymme alla är triviala, är detta inte sant för G-buntar där G är en allmän reduktiv algebraisk grupp.

Anteckningar

•   Serre, Jean-Pierre (mars 1955), "Faisceaux algébriques cohérents", Annals of Mathematics , Second Series, 61 (2): 197–278, doi : 10.2307/1969915 , JSTOR 1969915 , 687 400 , 687  
•   Serre, Jean-Pierre (1958), "Modules projectifs et espaces fibrés à fiber vectorielle", Séminaire P. Dubreil, M.-L. Dubreil-Jacotin et C. Pisot, 1957/58, Fasc. 2, Exposé 23 (på franska), MR 0177011
•   Quillen, Daniel (1976), "Projektiva moduler över polynomringar", Inventiones Mathematicae , 36 (1): 167–171, doi : 10.1007/BF01390008 , MR 0427303
•   Suslin, Andrei A. (1976), Проективные модули над кольцами многочленов свободны [Projektiva moduler över polynomringar är gratis], Doklady Akademii Nauk SSSR (på ryska), 1206 , 2069, 5): 1209 . Översatt i "Projektiva moduler över polynomringar är fria", Soviet Mathematics , 17 (4): 1160–1164, 1976.
•    Lang, Serge (2002), Algebra , Graduate Texts in Mathematics , vol. 211 (Reviderad tredje upplagan), New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4 , MR 1878556

En redogörelse för detta ämne tillhandahålls av:

•    Lam, TY (2006), Serres problem om projektiva moduler , Springer Monographs in Mathematics, Berlin; New York: Springer Science+Business Media , s. 300 s., ISBN 978-3-540-23317-6 , MR 2235330