Heronian tetraeder

En Heronian tetrahedron (även kallad en Heron tetrahedron eller perfekt pyramid ) är en tetrahedron vars kantlängder, ytareor och volym alla är heltal . Ansiktena måste därför alla vara heronska trianglar . Varje heronisk tetraeder kan ordnas i det euklidiska rymden så att dess vertexkoordinater också är heltal.

Exempel

Leonhard Euler känner till är en heronisk birektangulär tetraeder , en tetraeder med en bana av tre kanter parallella med de tre koordinataxlarna och med alla ytor som är räta trianglar . Längden på kanterna på banan för axelparallella kanter är 153, 104 och 672, och de andra tre kantlängderna är 185, 680 och 697, och bildar fyra rätvinkliga triangelytor som beskrivs av Pythagoras trippel (153,104,185) , ( 104,672,680), (153,680,697) och (185,672,697).

Åtta exempel på heroniska tetraedrar upptäcktes 1877 av Reinhold Hoppe .

117 är den minsta möjliga längden av den längsta kanten av en perfekt tetraeder med integrerade kantlängder. Dess andra kantlängder är 51, 52, 53, 80 och 84. 8064 är den minsta möjliga volymen (och 6384 är den minsta möjliga ytan) av en perfekt tetraeder. De integrerade kantlängderna på en heronisk tetraeder med denna volym och yta är 25, 39, 56, 120, 153 och 160.

1943 publicerade EP Starke ett annat exempel, där två ytor är likbenta trianglar med bas 896 och sidor 1073, och de andra två ytorna är också likbenta med bas 990 och samma sidor. Starke gjorde dock ett fel när han rapporterade volymen som har blivit allmänt kopierad. Den korrekta volymen är 124 185 600 , dubbelt så många som rapporterats av Starke.

Sascha Kurz har använt datorsökalgoritmer för att hitta alla heronska tetraedrar med längsta kantlängd på högst 600 000 .

Klassificering, oändliga familjer och speciella typer av tetraeder

En regelbunden tetraeder (en där alla ytor är liksidiga) kan inte vara en heronisk tetraeder eftersom, för vanliga tetraeder vars kantlängder är heltal, är ytområdena och volymen irrationella tal . Av samma anledning kan ingen heronisk tetraeder ha en liksidig triangel som ett av sina ytor.

Det finns oändligt många heroniska tetraedrar, och ännu starkare oändligt många heroniska disfenoider , tetraedrar där alla ytor är kongruenta och varje par av motsatta sidor har lika långa längder. I det här fallet behövs det bara tre kantlängder för att beskriva tetraedern, snarare än sex, och de tredubbla längderna som definierar Heronian tetrahedra kan karakteriseras med hjälp av en elliptisk kurva . Det finns också oändligt många heroniska tetraedrar med en cykel av fyra lika kantlängder, där alla ytor är likbenta trianglar .

Det finns också oändligt många heroniska birektangulära tetraedrar. En metod för att generera tetraedrar av denna typ härleder de axelparallella kantlängderna $a$ , $b$ och $c$ från två lika stora summor av fjärde potenser

$p^{4}+s^{4}=q^{4}+r^{4}$

med hjälp av formlerna

$a={\bigl |}(pq)^{2}-(rs)^{2}{\bigr |},$

$b={\bigl |}2pqrs{\bigr |},$

$c={\bigl |}(pr)^{2})-|(qs)^{2}{\bigr |}.$

Till exempel härleddes tetraedern på detta sätt från en identitet av Leonhard Euler , $59^{4}+158^{4}=133^{4}+134^ {4}$ , har $a$ , $b$ och $c$ lika med 386 678 175 , 332 273 368 , och 379 083 360 , med hypotenusan av den räta triangeln $ab$ lika med 509 828 993 , hypotenusan för rät triangel $bc$ lika med 504 093 032 , och hypotenusan för de återstående två sidorna lika med 635 318 657 . För dessa tetraedrar $a$ , $b$ , och $c$ kantlängderna av en nästan perfekt kuboid , en rektangulär kuboid där sidorna, två av de tre är vända mot diagonaler , och kroppsdiagonalen är alla heltal.

Inget exempel på en heronisk trerektangulär tetraeder hade hittats och ingen har bevisat att ingen existerar.

En fullständig klassificering av alla heroniska tetraedrar är fortfarande okänd.

Besläktade former

En alternativ definition av heroniska trianglar är att de kan bildas genom att limma ihop två heltalsräta trianglar längs en gemensam sida. Denna definition har också generaliserats till tre dimensioner, vilket leder till en annan klass av tetraedrar som också har kallats Heron-tetraedrar.

externa länkar

• Weisstein, Eric W. "Heronian tetrahedron" . MathWorld .