Hermites identitet

Ej att förväxla med Hermites cotangente identitet .

I matematik ger Hermites identitet , uppkallad efter Charles Hermite , värdet av en summering som involverar golvfunktionen . Den anger att för varje reellt tal x och för varje positivt heltal n gäller följande identitet :

$\sum _{k=0}^{n-1}\left\lfloor x+{\frac {k}{n}}\right\rfloor =\lfloor nx\rfloor .$

Bevis

Dela $x$ i sin heltalsdel och bråkdel , $x=\lfloor x\rfloor +\{x\}$ . Det finns exakt ett $k'\in \{1,\ldots ,n\}$ med

$\lfloor x\rfloor =\left\lfloor x+'{\frac {k -1}{n}}\höger\rgolv \leq x<\left\lgolv x+{\frac {k'}{n}}\höger\rgolv =\lgolv x\rgolv +1.$

Genom att subtrahera samma heltal $\lfloor x\rfloor$ från insidan av golvoperationerna på vänster och höger sida av denna olikhet, kan det skrivas om som

$0=\left\lfloor \{x\}+{\frac {k' -1}{n}}\höger\rgolv \leq \{x\}<\left\lgolv \{x\}+{\frac {k'}{n}}\höger\rgolv =1.$

Därför,

$1-{\frac {k'}{n}}\leq \{x\}<1-{\frac {k' -1}{n}},$

och multiplicera båda sidor med $n$ ger

$nk'\leq n\,\{x\}<nk'+1.$

Om nu summeringen från Hermites identitet delas upp i två delar vid index $k'$ , blir den

${\begin{aligned}\sum _{k=0}^{n-1}\left\lfloor x+{\frac {k}{n}}\right\rfloor &=\sum _{k= 0}^{k'-1}\lfloor x\rfloor +\sum _{k=k'}^{n-1}(\lfloor x\rfloor +1)=n\,\lfloor x\rfloor +nk '\\[8pt]&=n\,\lgolv x\rgolv +\lgolv n\,\{x\}\rgolv =\vänster\lgolv n\,\lgolv x\rgolv +n\,\{x\ }\right\rfloor =\lfloor nx\rfloor .\end{aligned}}$

Alternativt bevis

Tänk på funktionen

$f(x)=\lgolv x\rgolv +\vänster\lgolv x+ {\frac {1}{n}}\right\rfloor +\ldots +\left\lfloor x+{\frac {n-1}{n}}\right\rfloor -\lfloor nx\rfloor$

Då är identiteten helt klart ekvivalent med påståendet $f(x)=0$ för alla reella $x$ . Men så finner vi,

$f\left(x+{ \frac {1}{n}}\right)=\left\lfloor x+{\frac {1}{n}}\right\rfloor +\left\lfloor x+{\frac {2}{n}}\right \rfloor +\ldots +\left\lfloor x+1\right\rfloor -\lfloor nx+1\rfloor =f(x)$

Där vi i den sista likheten använder det faktum att $\lfloor x+p\rfloor =\lfloor x\rfloor +p$ för alla heltal $p$ . Men då $f$ period $1/n$ . Det räcker då att bevisa att $f(x)=0$ för alla $x\in [0,1/n)$ . Men i det här fallet är den integrerade delen av varje summa i $f$ lika med 0. Vi drar slutsatsen att funktionen verkligen är 0 för alla reella ingångar $x$ .