Blandad volym

Inom matematik , mer specifikt, i konvex geometri , är den blandade volymen ett sätt att associera ett icke-negativt tal till en $r$ -tupel av konvexa kroppar i $n$ -dimensionellt utrymme. Detta antal beror på kropparnas storlek och form och på deras relativa orientering mot varandra.

Definition

Låt $​​{\displaystyle K_{1},K_{2},\dots ,K_{r}}$ vara konvexa kroppar i $\mathbb {R} ^{n}$ och överväg funktionen

$f(\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{r})=\mathrm {Vol} _{n}(\lambda _{1}K_{1}+\cdots +\lambda _{r}K_{r}),\qquad \lambda _{i} \geq 0,$

där ${\text{Vol}}_{n}$ står för den $n$ -dimensionella volymen och dess argument är Minkowskisumman av de skalade konvexa kropparna $K_{i }$ . Man kan visa att $f$ är ett homogent polynom av grad $n$ , därför kan det skrivas som

$f(\lambda _ {1},\ldots ,\lambda _{r})=\sum _{j_{1},\ldots ,j_{n}=1}^{r}V(K_{j_{1}},\ldots ,K_{j_{n}})\lambda _{j_{1}}\cdots \lambda _{j_{n}},$

där funktionerna $V$ är symmetriska. För en viss indexfunktion ${\displaystyle j\in \{1,\ldots ,r\}^{n}} ,$ koefficienten $V(K_{j_{1}},\dots ,K_{j_{n}})$ kallas den blandade volymen av $K_{j_{1} },\dots ,K_{j_{n}}$ .

Egenskaper

• Den blandade volymen bestäms unikt av följande tre egenskaper:

1. $V(K,\dots ,K)={\text{Vol}}_{n}(K)$ ;
2. $V$ är symmetrisk i sina argument;
3. $V$ är multilinjär: $V(\lambda K+\lambda 'K',K_{2},\dots ,K_{n})=\lambda V(K,K_{2},\dots ,K_ {n})+\lambda 'V(K',K_{2},\dots ,K_{n})$ för $\lambda ,\lambda '\geq 0$ .

• Den blandade volymen är icke-negativ och monotont ökande i varje variabel: ${\displaystyle V(K_{1 },K_{2},\ldots ,K_{n})\leq V(K_{1}',K_{2},\ldots,K_{n})} för K 1$ ⊆ $K_ {1}\subseteq K_{1}'}$ .
• Ojämlikheten mellan Alexandrov och Fenchel, upptäckt av Aleksandr Danilovich Aleksandrov och Werner Fenchel :

${\displaystyle V(K_{1},K_{2},K_{3},\ldots ,K_{n})\geq {\sqrt {V(K_{1},K_{1},K_{3} ,\ldots ,K_{n})V(K_{2},K_{2},K_{3},\ldots ,K_{n})}}.} Många geometriska olikheter,$

såsom Brunn–Minkowski-olikheten för konvexa kroppar och Minkowskis första ojämlikhet , är specialfall av Alexandrov–Fenchel ojämlikheten.

Quermassintegraler

Låt $K\subset \mathbb {R} ^{n}$ vara en konvex kropp och låt $B=B_{n}\subset \mathbb {R} ^{n}$ vara den euklidiska bollen med enhetsradie. Den blandade volymen

$W_{j}(K)=V({\overset {nj {\text{ gånger}}}{\overbrace {K,K,\ldots ,K} }},{\overset {j{\text{ gånger}}}{\overbrace {B,B,\ldots ,B} }})$

kallas den j -te kvermassintegralen av $K$ .

Definitionen av blandad volym ger Steiner-formeln (uppkallad efter Jakob Steiner ):

$\mathrm {Vol} _{n}(K+tB)=\summa _{j=0}^{n}{\binom {n}{j}}W_{j}(K)t^{ j}.$

Inre volymer

Den j -te inre volymen av $K$ är en annan normalisering av quermassintegralen, definierad av

$V_{j}(K)={\binom {n}{j}}{\frac {W_{nj }(K)}{\kappa _{nj}}},$ eller med andra ord $\mathrm {Vol} _{n}(K+tB)=\summa _{j=0}^{n}V_{j}(K)\,\mathrm {Vol} _{nj}(tB_ {nj}).$

där ${\displaystyle \kappa _{nj}={\text{Vol}}_{nj}(B_{nj})} är$ volymen av $(nj)$ -dimensionell enhetsboll.

Hadwigers karaktäriseringssats

Huvudartikel: Hadwigers teorem

Hadwigers teorem hävdar att varje värdering på konvexa kroppar i $\mathbb {R} ^{n}$ som är kontinuerlig och invariant under stela rörelser av $\mathbb {R} ^{n}$ är en linjär kombination av quermassintegralerna (eller, ekvivalent, av de inneboende volymerna).

externa länkar

Burago, Yu.D. (2001) [1994], "Mixed volume theory" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press