Hausdorff ögonblicksproblem

Inom matematiken frågar Hausdorff momentproblemet , uppkallat efter Felix Hausdorff , nödvändiga och tillräckliga villkor för att en given sekvens $0 (m, m 1, m 2, ...)$ är sekvensen av moment

m_{n}=\int _{0}^{1}x^{n}\,d\mu (x)

av något Borelmått $μ$ stöds på det slutna enhetsintervallet $[0, 1]$ . I fallet $0 m = 1$ är detta ekvivalent med förekomsten av en slumpvariabel $X$ som stöds på $[0, 1]$ , så att $E[X n] = m n$ .

Den väsentliga skillnaden mellan detta och andra välkända momentproblem är att detta är på ett begränsat intervall , medan man i Stieltjes-momentproblemet betraktar en halvlinje $[0, \infty)$ , och i Hamburgermomentproblemet betraktar man hela linjen $(-\infty, \infty)$ . Stieltjes-momentproblemen och Hamburgermomentproblemen, om de är lösbara, kan ha oändligt många lösningar (obestämt momentproblem) medan ett Hausdorff-momentproblem alltid har en unik lösning om det är lösbart (determinate moment problem). I det obestämda momentproblemet finns det oändliga mått som motsvarar samma föreskrivna moment och de består av en konvex mängd. Mängden polynom kan eller kanske inte är tät i de associerade Hilbert-utrymmena om momentproblemet är obestämt, och det beror på om måttet är extremt eller inte. Men i det bestämda ögonblicksproblemet är uppsättningen polynom tät i det associerade Hilbert-utrymmet.

Helt monotona sekvenser

1921 visade Hausdorff att $0 (m, m 1, m 2, ...)$ är en sådan momentsekvens om och endast om sekvensen är helt monoton, det vill säga dess skillnadssekvenser uppfyller ekvationen

(-1)^{k}(\Delta ^{k}m)_{n}\geq 0

för alla $n, k \geq 0$ . Här är $Δ$ skillnadsoperatorn som ges av

(\Delta m)_{n}=m_{n+1}-m_{n}.

Nödvändigheten av detta tillstånd är lätt att se av identiteten

(-1)^{k}(\Delta ^{k}m)_{ n}=\int _{0}^{1}x^{n}(1-x)^{k}d\mu (x),

som är icke-negativ eftersom det är integralen av en icke-negativ funktion . Till exempel är det nödvändigt att ha

(\Delta ^{ 4}m)_{6}=m_{6}-4m_{7}+6m_{8}-4m_{9}+m_{10}=\int x^{6}(1-x)^{4} d\mu (x)\geq 0.

Se även

Total monotoni

Hausdorff, F. "Summationsmethoden und Momentfolgen. I." Mathematische Zeitschrift 9, 74–109, 1921.
Hausdorff, F. "Summationsmethoden und Momentfolgen. II." Mathematische Zeitschrift 9, 280–299, 1921.
Feller, W. "An Introduction to Probability Theory and Its Applications", volym II, John Wiley & Sons, 1971.
Shohat, JA .; Tamarkin, JD The Problem of Moments , American matematiska samhället, New York, 1943.