Hamburger moment problem

₀ Inom matematiken formuleras hamburgermomentproblemet , uppkallat efter Hans Ludwig Hamburger , enligt följande: givet en sekvens ( m , m ₁ , m _{2 ,} ... ) finns det ett positivt Borelmått μ (till exempel måttet bestäms av den kumulativa fördelningsfunktionen för en slumpvariabel ) på den reella linjen så att

$m_{n}=\int _{-\infty }^{\infty }x^{n}\,d\mu (x){\text{ ?}}$

₀ Med andra ord, ett jakande svar på problemet betyder att ( m , m ₁ , m ₂ , ...) är sekvensen av moment av något positivt Borel-mått μ .

Stieltjes -momentproblemet , Vorobyev-momentproblemet och Hausdorff-momentproblemet liknar varandra men ersätter den reella linjen med $[0,+\infty )$ (Stieltjes och Vorobyev; men Vorobyev formulerar problemet i termer av matristeori), eller ett begränsat intervall (Hausdorff).

Karakterisering

Hamburgermomentproblemet är lösbart (det vill säga ( m _n ) är en sekvens av moment ) om och bara om motsvarande Hankel-kärna på de icke-negativa heltalen

$A=\left({\begin{matrix}m_{0}&m_{1} &m_{2}&\cdots \\m_{1}&m_{2}&m_{3}&\cdots \\m_{2}&m_{3}&m_{4}&\cdots \\\vdots &\vdots &\ vdots &\ddots \end{matrix}}\right)$

är positivt definitivt , dvs.

$\sum _{j,k\geq 0}m_{j+k}c_{j}{\overline {c_{k}}}\ geq 0$

för varje godtycklig sekvens ( c _j ) _{j ≥ 0} av komplexa tal som är finitära (dvs c _j = 0 förutom ändligt många värden på j ).

För "endast om"-delen av anspråken, notera helt enkelt det

$\sum _{j,k\geq 0}m_{j+k}c_{j}{\overline {c_{k}}}=\int _{-\infty }^ {\infty }\left|\sum _{j\geq 0}c_{j}x^{j}\right|^{2}\,d\mu (x)$

vilket är icke-negativt om $\mu$ är icke-negativ.

₀ Vi skissar ett argument för det motsatta. Låt Z ⁺ vara de icke-negativa heltal och F ( Z ⁺ ) beteckna familjen av komplexa värderade sekvenser med finitärt stöd. Den positiva Hankelkärnan A inducerar en (möjligen degenererad) sesquilinjär produkt på familjen av komplext värderade sekvenser med ändligt stöd. Detta ger i sin tur en Hilbert utrymme

$({\mathcal {H}},\langle \;,\;\rangle )$

vars typiska element är en ekvivalensklass betecknad med [ f ].

₀ Låt e _n vara elementet i F ( Z ⁺ ) definierat av e _n ( m ) = δ _nm . Det märker man

$\langle [e_{n+1}],[e_{m}]\rangle =A_{m,n+1}=m_{m+n+1}=\langle [e_{n}], [e_{m+1}]\rangle .$

Därför är "skift"-operatorn T på ${\mathcal {H}}$ , med T [ e _n ] = [ e _{n + 1} ], symmetrisk .

Å andra sidan det önskade uttrycket

$m_{n}=\int _{-\infty }^{\infty }x^{n}\,d\mu (x)$

antyder att μ är det spektrala måttet för en självadjoint operator . (Mer exakt uttryckt μ det spektrala måttet för en operator ${\overline {T}}$ definierad nedan och vektorn [1], ( Reed & Simon 1975 , s. 145)). Om vi ​​kan hitta en "funktionsmodell" så att den symmetriska operatorn T multipliceras med x , så bevisar den spektrala upplösningen av en självadjoint förlängning av T påståendet.

₀ En funktionsmodell ges av den naturliga isomorfismen från F ( Z ⁺ ) till familjen av polynom , i en enda reell variabel och komplexa koefficienter: för n ≥ 0, identifiera e _n med x ⁿ . I modellen är operatorn T multiplikation med x och en tätt definierad symmetrisk operator. Det kan visas att T alltid har självanslutande förlängningar. Låt ${\overline {T}}$ vara en av dem och μ vara dess spektralmått. Så

$\langle {\overline {T}}^{n}[1],[1]\rangle =\int x^{n}d\mu (x).$

Å andra sidan,

$\langle {\overline {T}}^{n}[1],[1]\rangle =\langle T^{n}[e_{0}],[e_{0}]\rangle =m_ {n}.$

För ett alternativt bevis på existensen som bara använder Stieltjes-integraler, se också, i synnerhet sats 3.2.

Det unika med lösningarna

Lösningarna bildar en konvex uppsättning, så problemet har antingen oändligt många lösningar eller en unik lösning.

Betrakta ( n + 1) × ( n + 1) Hankel-matrisen

$\Delta _{n}=\left[{\begin{matrix}m_{0}&m_{1}&m_{2}&\cdots &m_{n}\\m_{1}&m_{2}&m_{ 3}&\cdots &m_{n+1}\\m_{2}&m_{3}&m_{4}&\cdots &m_{n+2}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\m_{n}&m_{n+1}&m_{n+2}&\cdots &m_{2n}\end{matrix}}\right].$

Positivitet för A betyder att för varje n , det(Δ _n ) ≥ 0. Om det(Δ _n ) = 0, för vissa n , så

$({\mathcal {H}},\langle \;,\;\rangle )$

är finitdimensionell och T är självadjoint. Så i det här fallet är lösningen på hamburgermomentproblemet unik och μ , som är det spektrala måttet på T , har ändligt stöd.

Mer generellt är lösningen unik om det finns konstanter C och D så att för alla n , | m _n | ≤ CD ⁿ n ! ( Reed & Simon 1975 , s. 205). Detta följer av den mer allmänna Carlemans tillstånd .

Det finns exempel där lösningen inte är unik; se t.ex

Ytterligare resultat

Man kan se att hamburgermomentproblemet är intimt relaterat till ortogonala polynom på den verkliga linjen. Gram –Schmidt -proceduren ger en bas för ortogonala polynom där operatorn: ${\overline {T}}$ har en tridiagonal Jacobi-matrisrepresentation . Detta leder i sin tur till en tridiagonal modell av positiva Hankel-kärnor.

En explicit beräkning av Cayley-transformen av T visar sambandet med vad som kallas Nevanlinna-klassen av analytiska funktioner på vänster halvplan. Om man går över till den icke-kommutativa inställningen, motiverar detta Kreins formel som parametriserar förlängningarna av partiella isometrier.

Den kumulativa fördelningsfunktionen och sannolikhetstäthetsfunktionen kan ofta hittas genom att applicera den inversa Laplace-transformen på den momentgenererande funktionen

$m(t)=\sum _{n=0}m_{n}{\frac {t^{n}}{n!}},$

förutsatt att denna funktion konvergerar.

•   Chihara, TS (1978), An Introduction to Orthogonal Polynomials , Gordon and Breach, Science Publishers, ISBN 0-677-04150-0
•   Reed, Michael; Simon, Barry (1975), Fourier Analysis, Self-Adjointness , Metoder för modern matematisk fysik, vol. 2, Academic Press, s. 145, 205, ISBN 0-12-585002-6
•   Shohat, JA; Tamarkin, JD (1943), The Problem of Moments , New York: American mathematical society, ISBN 0-8218-1501-6 .