Harnacks kurvsats

Den elliptiska kurvan (släta grad 3) till vänster är en M-kurva, eftersom den har de maximala (2) komponenterna, medan kurvan till höger bara har 1 komponent.

I verklig algebraisk geometri ger Harnacks kurvsats , uppkallad efter Axel Harnack , det möjliga antalet sammankopplade komponenter som en algebraisk kurva kan ha, när det gäller graden av kurvan. För varje algebraisk kurva av grad $m$ i det reella projektiva planet begränsas antalet komponenter $c av$

{\frac {1-(-1)^{m}}{2}}\leq c \leq {\frac {(m-1)(m-2)}{2}}+1.\

Det maximala antalet är en mer än det maximala släktet för en kurva av grad $m$ , som uppnås när kurvan är icke-singular . Dessutom kan vilket antal komponenter som helst inom detta område av möjliga värden uppnås.

Trott -kurvan , som visas här med 7 av dess bitangenter , är en kvarts (grad 4) M-kurva, som uppnår de maximala (4) komponenterna för en kurva av den graden.

En kurva som uppnår det maximala antalet reella komponenter kallas en M-kurva (från "maximum") – till exempel en elliptisk kurva med två komponenter, såsom $y^{2 }=x^{3}-x,$ eller Trott-kurvan , en kvarts med fyra komponenter, är exempel på M-kurvor.

Detta teorem utgjorde bakgrunden till Hilberts sextonde problem .

I en nyligen utvecklad utveckling har en Harnack-kurva visat sig vara en kurva vars amöba har en area lika med Newtonpolygonen i polynomet $P$ , som kallas den karakteristiska kurvan för dimermodeller , och varje Harnack-kurva är spektralkurvan för någon dimermodell. ( Mikhalkin 2001 ) ( Kenyon, Okounkov & Sheffield (2006) )

Dmitrii Andreevich Gudkov , Topologin för verkliga projektiva algebraiska varianter , Uspekhi Mat. Nauk 29 (1974), 3–79 (ryska), engelsk översättning, Russian Math. Surveys 29:4 (1974), 1–79
Carl Gustav Axel Harnack , Ueber die Vieltheiligkeit der ebenen algebraischen Curven , Math. Ann. 10 (1876), 189–199
George Wilson, Hilberts sextonde problem , Topology 17 (1978), 53–74
Kenyon, Richard ; Okounkov, Andrei ; Sheffield, Scott (2006). "Dimers and Amoebae". Annals of Mathematics . 163 (3): 1019–1056. arXiv : math-ph/0311005 . doi : 10.4007/annals.2006.163.1019 . MR 2215138 . S2CID 119724053 .
Mikhalkin, Grigory (2001), Amöbor av algebraiska varianter , arXiv : math/0108225 , MR 2102998