Uppsättning associerad med ett polynom med komplext värde
Amöban för
P ( z , w ) = w − 2 z − 1.
{\displaystyle P(z,w)=w-2z-1.}
Amöban för
P ( z , w ) = 3
z
2
+ 5 z w +
w
3
+ 1.
{\displaystyle P(z,w)=3z^{2}+5zw+w^{3}+1.}
Lägg märke till "
vakuolen " i mitten av amöban.
Amöban för
P ( z , w ) = 1 + z +
z
2
+
z
3
+
z
2
w
3
+ 10 z w + 12
z
2
w + 10
z
2
w
2
.
{\displaystyle P(z,w)=1+z+z^{2}+z^{3}+z^{2}w^{3}+10zw+12z^{2}w+10z^{2 }w^{2}.}
Amöban för
P ( z , w ) = 50
z
3
+ 83
z
2
w + 24 z
w
2
+
w
3
+ 392
z
2
+ 414 z w + 50
w
2
− 28 z + 59 w − 100.
{\displaystyle P(z,w)=50z^{3}+83z^{2}w+24zw^{2}+w^{3}+392z^{2}+414zw+50w^{2}-28z+59w- 100.}
Punkter i amöban för
P ( x , y , z ) = x + y + z − 1.
{\displaystyle P(x,y,z)=x+y+z-1.}
Observera att amöban faktiskt är 3 -dimensionell, och inte en yta (detta framgår inte helt av bilden).
Inom komplex analys , en gren av matematiken , är en amöba en mängd associerad med ett polynom i en eller flera komplexa variabler . Amöbor har tillämpningar inom algebraisk geometri , speciellt tropisk geometri .
Definition
Tänk på funktionen
0
Logg :
(
C
∖ { }
)
n
→
R
n
{\displaystyle \operatorname {Logg} :{\big (}{\mathbb {C} }\setminus \{0\}{\big )}^{n}\ till \mathbb {R} ^{n}}
definieras på uppsättningen av alla n - tupler
z = (
z
1
,
z
2
, … ,
z
n
)
{\displaystyle z=(z_{1},z_{2},\dots ,z_{n})}
komplexa tal med värden i det euklidiska rummet
R
n
,
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}
Log (
z
1
,
z
2
, … ,
z
n
) =
(
log
|
z
1
|
, log
|
z
2
|
, … , log
|
z
n
|
)
.
{\displaystyle \operatorname {Log} (z_{1},z_{2},\dots,z_{n})={\big (}\log |z_{1}|,\log |z_{2}| ,\dots ,\log |z_{n}|{\big )}.}
Här betecknar log den naturliga logaritmen . Om p ( z ) är ett polynom i
n
{\displaystyle n}
amöba
A
p
{\displaystyle {\mathcal {A}}_{p}} som
bilden av mängden nollor av p under Logga, alltså
Ap
)
=
{
0
Log ( z ) : z∈
(
C
∖ { }
. _ _
n
)
,
p ( z =
0
}
_
{\displaystyle {\mathcal {A}}_{p}=\left\{\operatörsnamn {Log} (z):z\in {\big (}\mathbb {C} \setminus \{0\}{\ stor )}^{n},p(z)=0\right\}.}
Amöbor introducerades 1994 i en bok av Gelfand , Kapranov och Zelevinsky .
Egenskaper
Varje amöba är en sluten uppsättning .
Varje ansluten komponent av komplementet
R
n
∖
A
p
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\setminus {\mathcal {A}}_{p}}
konvex .
Arean av en amöba av ett polynom som inte är identiskt noll i två komplexa variabler är ändligt.
En tvådimensionell amöba har ett antal "tentakler", som är oändligt långa och exponentiellt smala mot oändligheten.
Ronkin funktion
Ett användbart verktyg för att studera amöbor är Ronkin-funktionen . För p ( z ), ett polynom i n komplexa variabler, definierar man Ronkin-funktionen
N
p
:
R
n
→
R
{\displaystyle N_{p}:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }
genom formeln
N
p
( x ) =
1
( 2 π i
)
n
∫
Log
− 1
( x )
log
|
p ( z )
|
d
z
1
z
1
∧
d
z
2
z
2
∧ ⋯ ∧
d
z
n
z
n
,
{\displaystyle N_{p}(x)={\frac {1}{(2\pi i)^{n}}} \int _{\operatörsnamn {Logg} ^{-1}(x)}\log |p(z)|\,{\frac {dz_{1}}{z_{1}}}\wedge {\frac { dz_{2}}{z_{2}}}\wedge \cdots \wedge {\frac {dz_{n}}{z_{n}}},}
där
x
{\displaystyle x}
x = (
x
1
,
x
2
, … ,
x
n
) .
{\displaystyle x=(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}).}
N
p
{\displaystyle N_{p}}
N
p
( x ) =
1
( 2 π
)
n
∫
0
[ , 2 π
]
n
log
|
p ( z )
|
d
θ
1
d
θ
2
⋯ d
θ
n
,
{\displaystyle N_{p}(x)={\frac {1}{(2\pi )^{n}}}\int _{[0,2\pi ]^{n}}\log |p(z)|\,d\theta _{1}\,d\theta _{2}\cdots d\theta _{n},}
var
z =
(
e
x
1
+ i
θ
1
,
e
x
2
+ i
θ
2
, … ,
e
x
n
+ i
θ
n
)
.
{\displaystyle z=\left(e^{x_{1}+i\theta _{1}},e^{x_{2}+i\theta _{2}},\dots ,e^{x_{ n}+i\theta _{n}}\höger).}
Ronkin-funktionen är konvex och affin på varje ansluten komponent av komplementet till amöban av
p ( z )
{\displaystyle p(z)}
Som ett exempel, Ronkin-funktionen hos en monomial
p ( z ) = a
z
1
k
1
z
2
k
2
…
z
n
k
n
{\displaystyle p(z)=az_{1}^{k_{1}}z_{2}^{k_{2}}\ prickar z_{n}^{k_{n}}}
med
en ≠
0
{\displaystyle a\neq 0}
Np
_
( x ) = log
|
en
|
+
k
1
x
1
+
k
2
x
2
+ ⋯ +
k
n
x
n
.
{\displaystyle N_{p}(x)=\log |a|+k_{1}x_{1}+k_{2}x_{2}+\cdots +k_{n}x_{n}.}
^
Gelfand, IM ; Kapranov, MM; Zelevinsky, AV (1994). Diskriminanter, resultanter och flerdimensionella determinanter . Matematik: Teori & tillämpningar. Boston, MA: Birkhäuser. ISBN 0-8176-3660-9 Zbl 0827.14036 .
^ Itenberg et al (2007) sid. 3.
^ Gross, Mark (2004). "Amöbor av komplexa kurvor och tropiska kurvor". I Guest, Martin (red.). UK-Japan vinterskola 2004—Geometri och analys mot kvantteori. Föreläsningsanteckningar från skolan, University of Durham, Durham, Storbritannien, 6–9 januari 2004 . Seminarium om matematiska vetenskaper. Vol. 30. Yokohama: Keio University, Matematiska institutionen. s. 24–36. Zbl 1083.14061 .
Itenberg, Ilia; Mikhalkin, Grigory; Shustin, Eugenii (2007). Tropisk algebraisk geometri . Oberwolfach-seminarier. Vol. 35. Basel: Birkhäuser. ISBN 978-3-7643-8309-1 Zbl 1162.14300 .
Viro, Oleg (2002), "Vad är ... en amöba?" (PDF) , Notices of the American Mathematical Society , 49 (8): 916–917 .
Vidare läsning
externa länkar
![{\displaystyle N_{p}(x)={\frac {1}{(2\pi )^{n}}}\int _{[0,2\pi ]^{n}}\log |p(z)|\,d\theta _{1}\,d\theta _{2}\cdots d\theta _{n},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/907b8ad5fef02069b4d36cc3379b402080d5143b)
